高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時(shí)集訓(xùn):21 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) Word版含解析

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1、 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) 建議用時(shí):45分鐘 一、選擇題 1.角-870°的終邊所在的象限是(  ) A.第一象限       B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C [由-870°=-1 080°+210°,知-870°角和210°角的終邊相同,在第三象限.] 2.已知角α的始邊與x軸的正半軸重合,頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),角α終邊上的一點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為,若α=,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(  ) A.(1,) B.(,1) C.(,) D.(1,1) D [設(shè)P(x,y),則sin α==sin ,∴y=1. 又cos α==cos ,∴x=1,∴P

2、(1,1).] 3.已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,m),且sin θ=,則m等于(  ) A.-3 B.3 C. D.±3 B [sin θ==,且m>0,解得m=3.] 4.已知扇形的面積為2,扇形圓心角的弧度數(shù)是4,則扇形的周長為(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 C [設(shè)扇形的半徑為R,則×4×R2=2, ∴R=1,弧度l=4,∴扇形的周長為l+2R=6.] 5.sin 2·cos 3·tan 4的值(  ) A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 A [∵sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0, ∴sin 2·co

3、s 3·tan 4<0.] 二、填空題 6.若α=1 560°,角θ與α終邊相同,且-360°<θ<360°,則θ=________. 120°或-240° [因?yàn)棣粒? 560°=4×360°+120°, 所以與α終邊相同的角為360°×k+120°,k∈Z, 令k=-1或k=0可得θ=-240°或θ=120°.] 7.已知扇形的圓心角為,面積為,則扇形的弧長等于________.  [設(shè)扇形半徑為r,弧長為l, 則解得] 8.函數(shù)y=的定義域?yàn)開_______. ,k∈Z [利用三角函數(shù)線(如圖), 由sin x≥,可知 2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.] 三、

4、解答題 9.若角θ的終邊過點(diǎn)P(-4a,3a)(a≠0). (1)求sin θ+cos θ的值; (2)試判斷cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號. [解] (1)因?yàn)榻铅鹊慕K邊過點(diǎn)P(-4a,3a)(a≠0), 所以x=-4a,y=3a,r=5|a|, 當(dāng)a>0時(shí),r=5a,sin θ+cos θ=-. 當(dāng)a<0時(shí),r=-5a,sin θ+cos θ=. (2)當(dāng)a>0時(shí),sin θ=∈, cos θ=-∈, 則cos(sin θ)·sin(cos θ)=cos ·sin<0; 當(dāng)a<0時(shí),sin θ=-∈, cos θ=∈, 則cos(sin θ)·

5、sin(cos θ)=cos·sin >0. 綜上,當(dāng)a>0時(shí),cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號為負(fù);當(dāng)a<0時(shí),cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號為正. 10.已知sin α<0,tan α>0. (1)求角α的集合; (2)求終邊所在的象限; (3)試判斷tan sin cos 的符號. [解] (1)因?yàn)閟in α<0且tan α>0,所以α是第三象限角,故角α的集合為. (2)由(1)知2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z, 故kπ+<<kπ+,k∈Z, 當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),2nπ+<<2nπ+,n∈Z,即是第二象限角. 當(dāng)k=2n+1

6、(n∈Z)時(shí),2nπ+<<2nπ+π,n∈Z,即是第四象限角, 綜上,的終邊在第二或第四象限. (3)當(dāng)是第二象限角時(shí), tan <0,sin >0,cos <0, 故tan sin cos >0, 當(dāng)是第四象限角時(shí),tan <0,sin <0,cos >0, 故tan sin cos >0, 綜上,tan sin cos 取正號. 1.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),射線OP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2 010°后與圓x2+y2=4相交于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(  ) A.(-,) B.(-,1) C.(-1,) D.(1,-) B [由題意可知Q(2cos(-2 010°),2si

7、n(-2 010°)), 因?yàn)椋? 010°=-360°×6+150°, 所以cos(-2 010°)=cos 150°=-, sin(-2 010°)=sin 150°=. 所以Q(-,1),故選B.] 2.(2019·四川樂山、峨眉山二模)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積=(弦×矢+矢2),弧田由圓弧和其所對弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”指半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為,半徑長為4的弧田(如圖所示),按照上述公式計(jì)算出弧田的面積為________. 4+2 [由題意可得∠AOB=,OA=

8、4.在Rt△AOD中,易得∠AOD=,∠DAO=,OD=OA=×4=2,可得矢=4-2=2.由AD=AOsin =4×=2,可得弦=2AD=4.所以弧田面積=(弦×矢+矢2)=×(4×2+22)=4+2.] 3.(亮點(diǎn)題)已知圓O與直線l相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P,Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),P沿著直線l向右,Q沿著圓周按逆時(shí)針以相同的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng),連接OQ,OP(如圖),則陰影部分面積S1,S2的大小關(guān)系是________. S1=S2 [設(shè)運(yùn)動(dòng)速度為m,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,圓O的半徑為r,則=AP=tm,根據(jù)切線的性質(zhì)知OA⊥AP, ∴S1=tm·r-S扇形AOB, S2=tm

9、·r-S扇形AOB, ∴S1=S2恒成立.] 4.已知=-,且lg(cos α)有意義. (1)試判斷角α所在的象限; (2)若角α的終邊上一點(diǎn)M,且|OM|=1(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求m的值及sin α的值. [解] (1)由=-,得sin α<0, 由lg(cos α)有意義,可知cos α>0, 所以α是第四象限角. (2)因?yàn)閨OM|=1,所以2+m2=1,解得m=±. 又α為第四象限角,故m<0, ∴m=-,sin α===-. 1.已知sin α>sin β,那么下列命題成立的是(  ) A.若α,β是第一象限的角,則cos α>cos β B.若α,β是

10、第二象限的角,則tan α>tan β C.若α,β是第三象限的角,則cos α>cos β D.若α,β是第四象限的角,則tan α>tan β D [如圖,當(dāng)α在第四象限時(shí),作出α,β的正弦線M1P1,M2P2和正切線AT1,AT2, 觀察知當(dāng)sin α>sin β時(shí),tan α>tan β. ] 2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相交于A點(diǎn),它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點(diǎn)B,始邊不動(dòng),終邊在運(yùn)動(dòng). (1)若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-,求tan α的值; (2)若△AOB為等邊三角形,寫出與角α終邊相同的角β的集合; (3)若α∈,請寫出弓形AB的面積S與α的函數(shù)關(guān)系式. [解] (1)由題意可得B, 根據(jù)三角函數(shù)的定義得tan α==-. (2)若△AOB為等邊三角形, 則∠AOB=, 故與角α終邊相同的角β的集合為 . (3)若α∈,則S扇形=αr2=α, 而S△AOB=×1×1×sin α=sin α, 故弓形AB的面積 S=S扇形-S△AOB=α-sin α,α∈.

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