高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第9章 第1節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 Word版含解析

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1、 全國(guó)卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制1～2道小題，1道解答題，分值占20～24分． 2.考查內(nèi)容 (1)對(duì)直線方程、圓及圓錐曲線的概念和性質(zhì)的考查一般以選擇題或填空題為主，重在考查學(xué)生的雙基． (2)對(duì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，常以定點(diǎn)問題、最值問題及探索性問題為載體，重在考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、方程思想及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力． 3.備考策略 從2019年高考試題可以看出，高考對(duì)圓錐曲線的考查在注重基礎(chǔ)、突出轉(zhuǎn)化能力的同時(shí)運(yùn)算量有所減小. 第一節(jié)　直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [最新考綱]　1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定

2、直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的三種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系． 1．直線的傾斜角 (1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸交的直線l，把x軸(正方向)按逆時(shí)針方向繞著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角，叫做直線l的傾斜角，當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，它的傾斜角為0. (2)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)． 2．斜率公式 (1)直線l的傾斜角為α≠90°，則斜率k＝tan_α.當(dāng)α＝90°時(shí)，直線斜率不存在． (2)P1(x1，y1)，P2(

3、x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝. 3．直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直線x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線 兩點(diǎn)式 ＝ 不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 平面內(nèi)所有直線都適用 1．直線的斜率k和傾斜角α之間的函數(shù)關(guān)系 如圖，當(dāng)α∈時(shí)，斜率k∈[0，＋∞)；當(dāng)α＝時(shí)，斜率不存在；當(dāng)α∈時(shí)，斜率k∈(－∞，0)． 2．求直線方程時(shí)要注意判斷

4、直線斜率是否存在；每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率． 3．截距為一個(gè)實(shí)數(shù)，既可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)，還可以為0，這是解題時(shí)容易忽略的一點(diǎn)． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)直線的斜率為tan α，則其傾斜角為α.(　　) (2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大．(　　) (3)過定點(diǎn)P0(x0，y0)的直線都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　) (4)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(

5、3)×　(4)√ 二、教材改編 1．已知兩點(diǎn)A(－3，)，B(，－1)，則直線AB的斜率是(　　) A.　　　　　　　　 B．－ C. D．－ D　[kAB＝＝－，故選D.] 2．過點(diǎn)(－1,2)且傾斜角為30°的直線方程為(　　) A.x－3y＋6＋＝0 B.x－3y－6＋＝0 C.x＋3y＋6＋＝0 D.x＋3y－6＋＝0 A　[直線的斜率k＝tan 30°＝. 由點(diǎn)斜式方程得y－2＝(x＋1)，即x－3y＋6＋＝0，故選A.] 3．如果AC＜0且BC＜0，那么直線Ax＋By＋C＝0不通過(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四

6、象限 C　[法一：由Ax＋By＋C＝0得y＝－x－. 又AC＜0，BC＜0，故AB＞0，從而－＜0，－＞0， 故直線不通過第三象限．故選C. 法二：取A＝B＝1，C＝－1，則直線x＋y－1＝0，其不過第三象限，故選C.] 4．過點(diǎn)M(3，－4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為________． 4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0　[若直線過原點(diǎn)，則k＝－，所以y＝－x，即4x＋3y＝0. 若直線不過原點(diǎn)，設(shè)＋＝1，即x＋y＝a，則a＝3＋(－4)＝－1， 所以直線方程為x＋y＋1＝0.] 考點(diǎn)1　直線的傾斜角與斜率 　求傾斜角的取值范圍的一般步驟 (1)求出斜

7、率k＝tan α的取值范圍． (2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖像，確定傾斜角α的取值范圍． 提醒：求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在． 　(1)直線2xcos α－y－3＝0的傾斜角的取值范圍是(　　) A.　　　　　　 B. C. D. (2)直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為________． (1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)　[(1)直線2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1，]．設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tan θ∈[1，]．由于θ

8、∈[0，π)，所以θ∈，即傾斜角的取值范圍是. (2)如圖，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－， 要使過點(diǎn)P的直線l與線段AB有公共點(diǎn)， 只需k≥1或k≤－，即直線l斜率的取值范圍為(－∞，－]∪[1，＋∞)．] [母題探究] 1．若將本例(2)中P(1,0)改為P(－1,0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍． [解]　∵P(－1,0)，A(2,1)， B(0，)， ∴kAP＝＝，kBP＝＝. 如圖可知，直線l斜率的取值范圍為. 2．若將本例(2)中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為B(2，－1)，其他條件不變，求直線l傾斜角的范圍． [解]　如圖，直線PA的傾斜角為45°，直線PB

9、的傾斜角為135°， 由圖像知l的傾斜角的范圍為[0°，45°]∪[135°，180°)． 　(1)解決直線的傾斜角與斜率問題，常采用數(shù)形結(jié)合思想； (2)根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分與兩種情況討論． 　1.若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a等于(　　) A.1±或0 B.或0 C. D.或0 A　[∵平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線， ∴kAB＝kAC， 即＝，即a(a2－2a－1)＝0， 解得a＝0或a＝1±.故選A.] 2．直線l經(jīng)過A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)兩點(diǎn)，則直線l的傾

10、斜角α的取值范圍是________． 　[直線l的斜率k＝＝1＋m2≥1， 所以k＝tan α≥1. 又y＝tan α在上是增函數(shù)，因此≤α<.] 考點(diǎn)2　直線方程的求法 　求直線方程的2種方法 (1)直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程，選擇時(shí)，應(yīng)注意各種形式的方程的適用范圍，必要時(shí)要分類討論． (2)待定系數(shù)法：即設(shè)定含有參數(shù)的直線方程，由條件列出方程(組)，再求出參數(shù)，最后將其代入直線方程． 　求適合下列條件的直線方程： (1)經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等； (2)過點(diǎn)A(－1，－3)，斜率是直線y＝3x的斜率的－； (3

11、)過點(diǎn)A(1，－1)與已知直線l1：2x＋y－6＝0相交于B點(diǎn)且|AB|＝5. [解]　(1)法一：設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)， ∴l(xiāng)的方程為y＝x，即2x－3y＝0. 若a≠0，則設(shè)l的方程為＋＝1， ∵l過點(diǎn)(3,2)，∴＋＝1， ∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0， 綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0. 法二：由題意，所求直線的斜率k存在且k≠0， 設(shè)直線方程為y－2＝k(x－3)， 令y＝0，得x＝3－， 令x＝0，得y＝2－3k， 由已知3－＝2－3k， 解得k＝－1或k＝， ∴直線l的方

12、程為y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)， 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0. (2)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意 k＝－×3＝－. 又直線經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)， 因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0. (3)過點(diǎn)A(1，－1)與y軸平行的直線為x＝1. 解方程組 求得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，此時(shí)|AB|＝5，即x＝1為所求． 設(shè)過A(1，－1)且與y軸不平行的直線為y＋1＝k(x－1)， 解方程組得兩直線交點(diǎn)為 (k≠－2，否則與已知直線平行)． 則B點(diǎn)坐標(biāo)為. 由已知2＋2＝52， 解得k＝－， ∴y＋1＝－(x－1)， 即

13、3x＋4y＋1＝0. 綜上可知，所求直線的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0. 　求直線方程應(yīng)注意2點(diǎn) (1)對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零)． (2)截距可正、可負(fù)、可為0，因此在解與截距有關(guān)的問題時(shí)，一定要注意“截距為0”的情況，以防漏解． [教師備選例題] 求適合下列條件的直線的方程： (1)在y軸上的截距為－5，傾斜角的正弦值是； (2)經(jīng)過點(diǎn)(－，3)，且傾斜角為直線x＋y＋1＝0的傾斜角的一半； (3)直線過點(diǎn)(5,10)，且到原點(diǎn)的距離為5. [解]　(1)設(shè)直線的傾

14、斜角為α，則sin α＝. ∴cos α＝±，直線的斜率k＝tan α＝±. 又直線在y軸上的截距是－5， 由斜截式得直線方程為y＝±x－5. 即3x－4y－20＝0或3x＋4y＋20＝0. (2)由x＋y＋1＝0得此直線的斜率為－，所以傾斜角為120°，從而所求直線的傾斜角為60°，故所求直線的斜率為. 又過點(diǎn)(－，3)，所以所求直線方程為y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0. (3)由題意知，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)符合題意，此時(shí)直線方程為x－5＝0. 當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋(10－5k)＝0. 由點(diǎn)到直線的距離公式，得＝5，解得k

15、＝. 此時(shí)直線方程為3x－4y＋25＝0. 綜上知，所求直線方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 　已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求： (1)BC邊所在直線的方程； (2)BC邊上中線AD所在直線的方程； (3)BC邊的垂直平分線DE的方程． [解]　(1)因?yàn)橹本€BC經(jīng)過B(2,1)和C(－2,3)兩點(diǎn)，得BC的方程為＝，即x＋2y－4＝0. (2)設(shè)BC邊的中點(diǎn)D(x，y)，則x＝＝0，y＝＝2. BC邊的中線AD過A(－3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)，所在直線方程為＋＝1，即2x－3y＋6＝0. (3)由(1)知，直線BC

16、的斜率k1＝－，則直線BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2.由(2)知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)． 所求直線方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0. 考點(diǎn)3　直線方程的綜合應(yīng)用 　處理直線方程綜合應(yīng)用的2大策略 (1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先求出斜率或設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值． (2)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時(shí)要能夠整理成過定點(diǎn)的直線系，即能夠看出“動(dòng)中有定”． 　(1)已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當(dāng)0

17、_____. (2)過點(diǎn)P(4,1)作直線l分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． ①當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程； ②當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，求直線l的方程． (1)　[由題意知直線l1，l2恒過定點(diǎn)(2,2)，直線l1的縱截距為2－a，直線l2的橫截距為a2＋2，所以四邊形的面積S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，又0

18、所以當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)，△AOB的面積最小， 此時(shí)直線l的方程為＋＝1，即x＋4y－8＝0. ②因?yàn)椋?，a＞0，b＞0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b) ＝5＋＋≥5＋2 ＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝6，b＝3時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，直線l的方程為＋＝1，即x＋2y－6＝0. 　本例(2)借助直線方程間接給出等量關(guān)系“＋＝1”，在求最值中基本不等式起了“穿針引線”的作用． 　1.設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________． 5　[由動(dòng)直線x＋my＝0求

19、得定點(diǎn)A(0,0)，動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0，即y－3＝m(x－1)，所以得定點(diǎn)B(1,3)．當(dāng)m＝0時(shí)，兩條動(dòng)直線垂直，當(dāng)m≠0時(shí)，因?yàn)椤＝－1，所以兩條動(dòng)直線也垂直，因?yàn)镻為直線x＋my＝0與mx－y－m＋3＝0的交點(diǎn)，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝時(shí)，等號(hào)成立)，所以|PA|·|PB|的最大值是5.] 2．已知直線l過點(diǎn)M(2,1)，且與x軸、y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)||·||取得最小值時(shí)直線l的方程為________． x＋y－3＝0　[設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則a>0，b>0， 直線l的方程為＋＝1，所以＋＝1. ||·||＝－· ＝－(a－2，－1)·(－2，b－1) ＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5 ＝(2a＋b)－5＝＋≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為x＋y－3＝0.]