2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-文科 第四章 三角函數(shù)第2節(jié)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

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1、 第四章 三角函數(shù) 第2節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 題型51 已知解析式確定函數(shù)性質(zhì) 1.（2013浙江文6）函數(shù)的最小正周期和振幅分別是 A. B. C. D. 1.分析 把函數(shù)的解析式化簡為只含一個三角函數(shù)名的三角函數(shù)式，再求周期和振幅. 解析 ，所以最小正周期為，振幅.故選A. 2.（2013江蘇1）函數(shù)的最小正周期為 . 2.分析 利用函數(shù)的周期公式求解. 解析 函數(shù)的最小正周期. 3.（2014陜西文2）函數(shù)的最小正周期是（ ）. A. B. C. D. 4.（2

2、014新課標(biāo)Ⅰ文7）在函數(shù)①，②，③， ④中，最小正周期為的所有函數(shù)為（ ） A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 5.（2014天津文8）已知函數(shù)在曲線與直線的交點中，若相鄰交點距離的最小值為，則的最小正周期為（ ）. A. B. C. D. 6. （2014山東文12）函數(shù)的最小正周期為　 　. 7.（2014福建文18）（本小題滿分12分） 已知函數(shù). （1）求的值； （2）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 8.（2015四川文5）下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是（ ）. A

3、. B. C. D. 8.解析 由，可知選項A，B，C的周期都是，選項D的周期為. 通過化簡可得，選項A：，為偶函數(shù)； 選項B為：，為奇函數(shù)； 選項C為：，為非奇非偶函數(shù).故選B. 9.（2015全國1文8）函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）. A. B. C. D. 9.解析 由圖可知，得，. 畫出圖中的一條對稱軸，如圖所示. 由圖可知，則， 可得， 則， 得. 由， 得.故選D. 4.（2015湖南文）已知，在函數(shù)與的圖像的交點中，距離最短的兩個交點的距離為，則

4、 . 4.解析 令，解得和，. ，， 所以交點的坐標(biāo)為，.. 距離最短的兩個交點一定在同一個周期內(nèi)， 所以，解得. 5.（2015浙江文）函數(shù)的最小正周期是 ，最小值是 ． 5.解析 ， 所以，. 6.（2015天津文）已知函數(shù) 若函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的值為 ． 6.解析 由在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且的圖像關(guān)于直線對稱， 可得 ，即，且， 所以 7.（2015安徽文）已知函數(shù) （1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值. 7.解析 （1）因為 ，所以的最

5、小正周期. （2）因為，所以，則， 所以，. 8.（2015北京文）已知函數(shù) （1）求的最小正周期； （2）求在區(qū)間上的最小值. 8. 解析 （1） ，函數(shù)的最小正周期. （2）當(dāng)（1）知，當(dāng)，，，， 函數(shù)在區(qū)間上的最小值為. 9.（2016浙江文3）函數(shù)的圖像是（ ）. A. B. C. D. 9. D解析 易知為偶函數(shù)，所以它的圖像關(guān)于軸對稱，排除A，C選項； 當(dāng)，即時，，排除B選項.故選D. 10.（2016上海文8

6、）方程在區(qū)間上的解為 . 10.， 解析 ，即， 所以，故.由于，故，. 11.（2016江蘇9）定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像與的圖像的交點個數(shù)是 . 11.解析 解法一（圖像法）：畫出函數(shù)圖像草圖，如圖所示.共個交點. 解法二（解方程）：即解方程，即. 所以或，由. 當(dāng)時，；當(dāng)時，. 共個根，即共個交點. 12.（2016山東文17）設(shè). （1）求的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）把的圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)的圖像，求的值. 12.解析 （1）由， 由，得， 所

7、以的單調(diào)遞增區(qū)間是，（或?qū)憺椋? （2）由（1）知， 把的圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）， 得到的圖像， 再把得到的圖像向左平移個單位，得到的圖像， 即所以 13.（2017全國2文3）函數(shù)的最小正周期為（ ）. A. B. C. D. 13.解析 由題意，.故選C. 14.（2017山東文7）函數(shù)的最小正周期為（ ）. A. B. C. D. 14.解析 由題意，得，其最小正周期.故選C. 15.（201

8、7浙江18）已知函數(shù). （1）求的值； （2）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 15.解析 （1）由，，得. （2）由，，得，所以的最小正周期是. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)得，解得. 所以的單調(diào)遞增區(qū)間是. 題型52 函數(shù)的值域(最值) 1. (2013天津文6）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是( ). A. B. C. D. 1.分析：確定出的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出最小值. 解析 因為所以所以當(dāng)時，有最小值故選B. 2.（2013江西文13）設(shè)，若對任意實數(shù)都有，則實數(shù) 的取值范圍是 . 2. 解析 由于，則，要使恒成立，則.

9、答案. 3. (2013陜西文14）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長為 . 3.解析 設(shè)矩形花園的寬為m，則，即,矩形花園的面積，當(dāng)m時，面積最大． 4. （2013江蘇18）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點處下山至處有兩種路徑.一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到.現(xiàn)有甲.乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為.在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為，山路長為，經(jīng)測量，，. C B A （1）求索道的長； （2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在

10、纜車上與甲的距離最短？ （3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ 4. 分析 （1）由，的值可求得的值，然后在 中利用正弦定理可得的長度；（2）利用余弦定理將乙與甲之間的距離表示為出發(fā)時間的 函數(shù)，然后求得函數(shù)的最小值，即得最短距離.（3）利用正弦定理求出的長，再根據(jù)題 意列不等式求解. 解析 （1）在中，因為，，所以.從而. 由正弦定理，得. 所以索道的長為. （2）假設(shè)乙出發(fā)后，甲、乙兩游客距離為，此時，甲行走了，乙距離處，所以由余弦定理得 由于，即

11、，故當(dāng)時，甲、乙兩游客距離最短. （3）由正弦定理，得. 乙從出發(fā)時，甲已走了，還需走才能到達(dá). 設(shè)乙步行的速度為，由題意得，解得， 所以為使兩游客在處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應(yīng)控制在范圍內(nèi). 5.（2013山東文18）設(shè)函數(shù)，且 圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為． （1） 求的值； （2）求在區(qū)間上的最大值和最小值． 5.分析 （1）先利用倍角公式，兩角和、差的三角公式把函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡整理， 再利用對稱中心到最近的對稱軸的距離為求出；（2）先根據(jù)的取值范圍求出 的取值范圍，然后利用三角函數(shù)的圖象，并結(jié)合其單調(diào)性求出的最值.

12、解析 （1） . 因為圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為，又，所以.因此. （2）由（1）知. 當(dāng)時，. 所以.因此. 故在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，. 6. (2013安徽文16）設(shè)函數(shù). （1）求的最小值，并求使 取得最小值的集合； （2）不畫圖，說明函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣變化得到. 6. 分析 （1）先逆用兩角和正弦公式把化成關(guān)于一個角的三角函數(shù)，再利用正弦函 數(shù)性質(zhì)計算；（2）利用三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律求解. 解析 （1）因為. 所以當(dāng)，即時，取得最小值. 此時的取值集合為. （2）先將的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍（橫坐標(biāo)不變）

13、，得的圖象；再將的圖象上所有的點向左平移個單位，得的圖象. 7. (2013陜西文16）已知向量，設(shè)函數(shù). （1）求的最小正周期； （2）求在上的最大值和最小值. 7.分析 利用向量數(shù)量積運算及輔助角公式將化為一個角的一種三角函數(shù)，利用公式 確定周期；利用正弦函數(shù)的性質(zhì)確定最值． 解析 . （1）的最小正周期為，即函數(shù)的最小正周期為. （2）因為，所以.由正弦函數(shù)的性質(zhì)，得 當(dāng)，即時，取得最大值；當(dāng)，即時，； 當(dāng)，即時，，所以的最小值為. 因此，在上的最大值是，最小值是． 8. (2013重慶文18）在中，內(nèi)角的對邊分別是，且. （1）求； （2）設(shè)為的

14、面積，求的最大值，并指出此時的值. 8.分析 利用正、余弦定理及差角三角函數(shù)直接運算解答. 解析 （1）由余弦定理得. 又因為，所以. （2）由（1）得.又由正弦定理及得 ， 因此，. 所以，當(dāng)，即時，取最大值. 9.（2013遼寧文17） 設(shè)向量. （1）若，求的值； （2）設(shè)函數(shù)，求的最大值. 9.分析 分別表示兩向量的模，利用相等求解的值；利用數(shù)量積運算及輔助角公式化為一 個角的一種函數(shù)求解. 解析 （1）由，，及，得. 又，從而，所以. （2）， 當(dāng)時，取最大值． 所以的最大值為． 10.（2014新課標(biāo)Ⅱ文14）函數(shù)的最大值為

15、 . 11.（2014江蘇14）若的內(nèi)角滿足，則的最小值是 ． 12.（2014北京文16）（本小題滿分13分）函數(shù)的部分圖像如圖所示. （1）寫出的最小正周期及圖中，的值； （2）求在區(qū)間上的最大值和最小值. 12. 解析 （I）的最小正周期為.. （II）因為，所以.于是，當(dāng)，即時，取得最大值；當(dāng)，即時，取得最小值. 評注 本題主要考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的圖像是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題. 13．（2014湖北文18）（本小題滿分12分） 某實驗室一天的溫度（單位：）隨時間（單位：）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系： ，. （Ⅰ）求實

16、驗室這一天上午時的溫度； （Ⅱ）求實驗室這一天的最大溫差. 14.（2016全國甲文11）函數(shù)的最大值為（ ）. A. B. C. D. 14. B 解析 ， 所以當(dāng)時，取得最大值.故選B. 15.（2016江蘇14）在銳角三角形中，若，則的最小值是 . 15.分析 求解多元最值問題，首要的關(guān)鍵是考慮如何消參. 解析 解法一：由 （*） 由三角形為銳角三角形，則， 同時除以得. 又，所以. 故， 不妨設(shè)，故， 所以當(dāng)，即時，. 此時，， 解得（或互換）， 此

17、時均為銳角，滿足條件. 解法二：由解法一部分可知， 在銳角三角形中，， 而，即， 從而（這個公式課本中作為例題出現(xiàn)要求證明）. 故， 整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，， 解得（或互換）， 此時均為銳角，滿足條件. 評注 從表面此題看似等價，但構(gòu)造等腰三角形求解出的最值卻不正確，因此等價的思想也需慎用.如果注意到此題的結(jié)構(gòu)，我們優(yōu)先考慮切化弦，且優(yōu)先考慮搭配， 則有：解法三： （因為）.最后檢驗一下是否存在即可. 16.（2017全國2文13）函數(shù)的最大值為 . 16.解析 因為，所以. 17.（2017全國3文6）函數(shù)的最大值為（ ）. A．

18、 B．1 C． D． 17.解析 .故選A. 評注 本題屬于中檔題，基礎(chǔ)差一點的學(xué)生在解題思路方面可能會存在一定問題，三角恒等變換中公式的選擇對于學(xué)生來說是一個難點，對于老師教學(xué)來說是一個重點，選擇合適的公式能起到事半功倍的效果！ 18.（2017江蘇16）已知向量，，． （1）若，求的值； （2）記，求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值． 18.解析 （1）因為，，，所以， 若，則，與矛盾，因此． 所以，由，所以． （2）． 因為，所以，所以． 所以當(dāng)，即時，的最大值為； 當(dāng)，即時，的最小值為．

19、 題型53 根據(jù)條件確定解析式 1. （2013四川文6）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（ ）. A. B. C. D. 1.分析 借助三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解. 解析 因為所以. 又，所以，所以. 由五點作圖法可知當(dāng)時，，即，所以. 故選A. 2.（2014江蘇5）已知函數(shù)與，它們的圖像有一個橫坐標(biāo)為的交點，則的值是 ． 3.（2014大綱文16）直線和是圓的兩條切線，若與的交點為（1，3），則與的夾角的正切值等于 . 4.（2016全國甲文3）函

20、數(shù)的部分圖像如圖所示，則（ ）. A. B. C. D. 4.A 解析 解法一：當(dāng)時，，排除C，D.當(dāng)時，，代入A滿足.故選A. 5.（2016上海文17）設(shè)，.若對任意實數(shù)都有，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)對的對數(shù)為（ ）. A. B. C. D. 5.解析 ①當(dāng)時，則；②當(dāng)時，則.共組.故選B. 評注 事實上確定了，則能唯一確定，因此共組. 6.（2016天津文8）已知函數(shù)，.若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是（ ）. A.

21、 B. C. D. 6. D解析 由題意. 由，即，得. 又，因此， 所以.故選D. 7.（2016全國乙文12）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 7. C解析 問題轉(zhuǎn)化為對恒成立， 故，即恒成立. 令，得對恒成立. 解法一：構(gòu)造，開口向下的二次函數(shù)的最小值的可能值為端點值，故只需保證，解得.故選C. 解法二：①當(dāng)時，不等式恒成立； ②當(dāng)時，恒成立，由在上單調(diào)遞增， 所以，故； ③當(dāng)時，恒成立.由在上單調(diào)遞增， ，所以.

22、 綜上可得，.故選C. 評注 曾經(jīng)談到必要條件的問題，如取，則轉(zhuǎn)化為，因此直接選擇C選項.這緣于運氣好，若不然取，則式子恒成立；取，則，此時只能排除A選項.此外，可在未解題之前取，此時，則，但此時，不具備在上單調(diào)遞增，直接排除A，B，D.故選C. 8. （2016浙江文11）已知，則________，________. 8. ； 解析 ，所以，. 9.（2016上海文5）若函數(shù)的最大值為，則常數(shù) . 9.解析 由輔助角公式可知函數(shù)的最大值為，故. 10.（2016北京文16）已知函數(shù)的最小正周期為. （1）求的值； （2）求的單調(diào)遞增區(qū)間. 10

23、.解析 （1）因為， 所以的最小正周期.依題意，解得. （2）由（1）知，.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 由，得. 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為. 11.（2017天津文7）設(shè)函數(shù)，其中.若，，且的最小正周期大于，則（ ）. A. B. C. D. 11.解析 解法一：由題意，得，其中，所以.又，所以，所以，，由，得.故選A． 解法二：由，，知，所以.又的最小正周期，故，，，所以將代入，得，，，解得. 題型54 三角函數(shù)圖像變換 1. （2013湖北文6）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值是（ ）. A． B．

24、 C． D． 1.分析 先將函數(shù)解析式化簡，再寫出平移后的解析式，然后根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)求得的值. 解析 由于，向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，由于該圖象關(guān)于軸對稱，所以，于是，又，故當(dāng)時，取最小值.故選B. 2．(2013福建文9）將函數(shù) 個單位長度后得到函數(shù)的圖像，若的圖像都經(jīng)過點則的值可以是（ ）. A． B． C． D． 2.分析 先求出解析式中的字母的聚取值，再利用代入法確定答案. 解析 因為在的圖象上，所以. 因為，所以，所以， 所以. 因為，所以.驗證，時

25、， 成立.故選B. 3.（2014四川文3）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有的點（ ）. A.向左平行移動個單位長度 B.向右平行移動個單位長度 C.向左平行移動個單位長度 D.向右平行移動個單位長度 4.（2014福建文7）將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是（ ）. A.是奇函數(shù) B. 的周期是 C. 的圖像關(guān)于直線對稱 D. 的圖像關(guān)于點對稱 5. （2014安徽文7）若將函數(shù)的圖像向右平移個單位，所得圖像關(guān)于軸對稱，則的最小正值是（ ） A. B. C.

26、 D. 5. 解析 由知圖像的對稱軸方程為，因此在軸左側(cè)且離軸最近的對稱軸方程為.依題意結(jié)合圖像知，的最小正值為，故選C. 評注 本題考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì). 6. （2014遼寧文11）將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)（ ）. A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增 C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增 7.（2014浙江文4）為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（ ）. A．向右平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向左平移個單位

27、 8.（2014重慶文13）將函數(shù)圖像上每一點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位長度得到的圖像，則______. 9.（2015山東文）要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（ ）. A. 向左平移個單位 B. 向右平移個單位 C. 向左平移個單位 D. 向右平移個單位 9.解析 因為，所以要得到的圖像， 只需要將函數(shù)的圖像向右平移個單位.故選B. 10.（2015陜西文）如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（ ）． A．5 B．6

28、 C．8 D．10 10.解析 由圖像得，當(dāng)時，即的最小值 為，求得，所以，. 11.（2015重慶文）已知函數(shù). （1）求的最小周期和最小值； （2）將函數(shù)的圖像上每一點的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像.當(dāng)時，求的值域. 11.解析 （1） ． 因此的最小正周期為，最小值為． （2）由條件可知： 當(dāng)時有，，從而的值域為， 那么的值域為， 故在區(qū)間上的值域是. 12.（2015福建文）已知函數(shù). （1）求函數(shù)的最小正周期； （2）將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再向下平移（）個單位長度后得到函數(shù)的圖像

29、，且函數(shù)的最大值為2． （?。┣蠛瘮?shù)的解析式； （ⅱ）求證：存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得． 12.分析 （1）先利用二倍角公式和余弦降冪公式將化為， 然后利用求最小正周期；（2由函數(shù)的解析式中給減，再將所得解析式整體減去得的解析式為，當(dāng)取1時，取得最大值 ，列方程求得，從而的解析式可求；欲證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得，可解不等式，只需解集的長度大于1，此時解集中一定含有整數(shù)，由周期性可得，必存在無窮多個互不相同的正整數(shù)． 解析 （1因為 . 所以函數(shù)的最小正周期． （2（i）將的圖像向右平移個單位長度后得到的圖像，再向下平移個單位長度后得到的圖像． 又函數(shù)的

30、最大值為2，所以，解得． 所以． （ii）要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得，就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得，即． 由知，存在，使得． 由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，均有． 因為的周期為， 所以當(dāng)時，均有． 因為對任意的整數(shù)，， 所以對任意的正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得．即存在無窮多個互不相同的正整數(shù)，使得． 13.（2015湖北文）某同學(xué)將“五點法”畫函數(shù)在某一個時期內(nèi)的圖像時，列表并填入部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表所示： 2 （1）請將上述數(shù)據(jù)補充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)的解析

31、式； （2）將圖像上所有點向左平移個單位長度，得到圖像，求的圖像離原點最近的對稱中心. 13.解析 (1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得. 數(shù)據(jù)補全如表所示： 且函數(shù)表達(dá)式為. (2由(1)知，因此 . 因為的對稱中心為，. 令，解得，，即圖像的對稱中心為，， 其中離原點最近的對稱中心為. 14.（2016四川文4） 為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有的點（ ）. A. 向左平行移動個單位長度

32、 B. 向右平行移動個單位長度 C. 向上平行移動個單位長度 D. 向下平行移動個單位長度 14.A解析 由題意，為得到函數(shù)，只需把函數(shù)的圖像上所有的點向左移個單位.故選A. 15.（2016全國乙文6）若將函數(shù)的圖像向右平移個周期后，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為（ ）. A. B. C. D. 15. D 解析 將函數(shù)的圖像向右平移個周期，即向右平移個單位， 故所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為.故選D. 16.（2014全國丙文14）函數(shù)圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移______個單位長度得到. 16.解析 由，得，所以可由函數(shù)至少向右平移才能得到.