2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-文科 第七章 不等式 第2節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題

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1、 第2節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 題型82 二元一次不等式組表示的平面區(qū)域 1. （2014安徽文13）不等式組，表示的平面區(qū)域的面積為 . 1. 解析 不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分.由得. 所以，，.直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為.因此.故答案為4. 2.（2016浙江文4）若平面區(qū)域 夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是（ ）. A. B. C. D. 2.B 解析 畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示，由，得，由，得.由題

2、意可知當(dāng)斜率為1的兩條直線分別過點(diǎn)和點(diǎn)時(shí)，陰影部分夾在這兩條直線之間，且與這兩條直線有公共點(diǎn)，所以這兩直線為滿足條件的距離最小的一對直線，即.故選B. 題型83 求解目標(biāo)函數(shù)的取值范圍（或最值） 1. (2013天津文2）設(shè)變量，滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為( ). A. B. C. D. 1.分析 作出可行域，平移直線，得出的最小值. 解析 作出可行域如圖所示，平移直線，當(dāng)直線過可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，有最小值，故選A. 2．(2013福建文6）若變量滿足約束條件的最大值和最小值分別為（ ）. A． B． C．

3、 D． 2.分析 作出可行域，通過目標(biāo)函數(shù)線的平移尋求最優(yōu)解. 解析 作出可行域如圖陰影部分.作直線，并向右上平移，過點(diǎn)時(shí)取最小值，過點(diǎn)時(shí)取最大值，可求得，所以，.故選B. 3. （2013四川文8）若變量滿足約束條件，且的 最大值為，最小值為，則的值是（ ）. A. B. C. D. 3．分析 先將不等式轉(zhuǎn)化為，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，并 找出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，進(jìn)而求得的值． 解析 因?yàn)樗? 由線性約束條件得可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，由，得． 由圖知目標(biāo)函數(shù)，過點(diǎn)時(shí)，，即． 目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，，

4、即. 所以，故選C. 4. (2013陜西文7）若點(diǎn)位于曲線與所圍成的封閉區(qū)域，則的最小值是（ ）. A. B. C. D. 4.解析 曲線與所圍成的封閉區(qū)域如圖陰影部分所示， 當(dāng)直線：向左平移時(shí)，的值在逐漸變小，當(dāng)通過點(diǎn)時(shí)，．故選A. 5.（(2013安徽文12）若非負(fù)數(shù)變量滿足約束條件，則的最大值為 . 5.分析 先畫出可行域，再畫出目標(biāo)函數(shù)線過原點(diǎn)時(shí)的直線，向上平移， 尋找滿足條件的最優(yōu)解，代入即可得所求. 解析 根據(jù)題目中的約束條件畫出可行域，注意到，非負(fù)，得可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部

5、分（包括邊界），作直線并向上平移，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線過點(diǎn)，時(shí)，取得最大值，最大值為. 6. (2013山東文14）在平面直角坐標(biāo)系中，為不等式組，所表示 的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則 的最小值時(shí) ． 6.分析 畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合求最值. 解析 如圖所示，為圖中陰影部分區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由于點(diǎn)到直線的距離最短，所以的最小值. 7.（2013廣東文13）已知變量，滿足約束條件則的最大值是 ． 7.分析 畫出線性的約束條件表示的平面區(qū)域，用圖解法求最值. 解析 畫出平面區(qū)域如圖陰影部分所示，由，得，表示直線在軸上的截距，

6、由圖知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，為. 8.（2014天津文2）設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）. A. B. C. D. 9.（2014廣東文4）若變量滿足約束條件，則的最大值等于（ ）. A. B. C. D. 10.（2014湖北文4）若變量滿足約束條件 則的最大值是（ ）. A． B． C． D． 11.（2014新課標(biāo)Ⅱ文9）設(shè)滿足約束條件，則的最大值為（ ） A. B.

7、 C. D. 12.（2014四川文6）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的的最大值為（ ）. A. B. C. D. 13.（2014北京文13）若，滿足，則的最小為 . 13. 解析 約束條件，表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，作出基本直線，經(jīng)平移可得在點(diǎn)處取得最小值，其最小值為1. 14.（2014大綱文15）設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為 . 15.（2014遼寧文14）已知，滿足約束條件，則目標(biāo)函

8、數(shù)的最大值為 . 16.（2014浙江文12）若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是___________. 17.（2014湖南文13）若變量滿足約束條件，則的最大值為 . 18.（2014陜西文18）（本小題滿分12分） 在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，且. （1）若，求； （2）用表示，并求的最大值. 19.（2015全國2文14）若、滿足約束條件，則的最大值 為 . 19.解析 三個(gè)頂點(diǎn)為，及 ，代入得， 當(dāng)，時(shí)，. 20.（2015全國1文15）若滿足約束條件，則的最大值 為

9、． 20.解析 畫出滿足不等式組的可行域，如圖中陰影部分所示. 聯(lián)立，得. 由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)， 取得最大值.. 21.（2015湖南文4）若變量、滿足約束條件 ，則的最小值為（ ）. A. B. 0 C. 1 D. 2 21.解析 由約束條件作出可行域如圖所示， 由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，縱截距最大，即此時(shí)有最小值. 聯(lián)立，解得，即， 所以.故選A. 22.（2015廣東文4）若變量，滿足約束條件，則的最大 值為（ ）. A． B．

10、 C． D． 22.解析 畫出滿足不等式組的可行域， 如圖中陰影部分所示. 聯(lián)立，解得.由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，所以.故選B． 23.（2015安徽文5）已知滿足約束條件，則的最大值是（ ）. A． B． C． D．1 23.解析 根據(jù)題意作出滿足不等式組的可行域， 如圖中陰影部分所示. 聯(lián)立，解得，可得. 目標(biāo)函數(shù)變形為，由圖可知， 當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值..故選A. 24.（2015山東文12）若，滿足約束條件則的最大值為

11、 . 24.解析 畫出滿足不等式組的可行域，如圖中所示的陰影部分. 由，可知， 聯(lián)立，可得. 由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，截距最大.此時(shí).故應(yīng)填. 25.（2015湖北文12）設(shè)變量，滿足約束條件，則的最大值為 . 25.解析 首先根據(jù)題意所給的約束條件畫出其表示 的平面區(qū)域如下圖所示，然后根據(jù)圖像可得， 目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)取得最大值， 即. 26.（2015北京文13）如圖，及其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為，為中任 意一點(diǎn)，則的最大值為 . 26.解析 依題意，在點(diǎn)處取得最大值7. 27.（2015四川文9）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值

12、為（ ）. A. B. C. D. 27.解析 畫出滿足不等式組的可行域，如圖中所示的陰影部分. 易得：.由圖可知，若取得最大值，則動(dòng)點(diǎn)一定在線段 或的第一象限部分. 若點(diǎn)在上，則， 當(dāng)時(shí)有最大值，此時(shí)， 即點(diǎn)在上.若點(diǎn)在上，則在是關(guān)于的增函數(shù)， 當(dāng)取到最大值.所以當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)對應(yīng)點(diǎn)落在線段上，取到最大值.故選A. 28.（2015天津文2）設(shè)變量，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的 最大值為（ ）. A.7 B. 8 C. 9

13、 D.14 28.解析 變量，滿足約束條件所對應(yīng)的區(qū)域如圖所示.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值.故選C. 29.（2016北京文7）已知，.若點(diǎn)在線段上，則的最大值為（ ）. A. B. C. D. 29. C 解析 解法一：先求得線段的方程是. 因?yàn)辄c(diǎn)在線段上， 所以， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.故選C. 解法二：依題意求得線段的方程是.在平面直角坐標(biāo)系中畫出線段如圖所示，當(dāng)直線平移通過點(diǎn)時(shí)，有最大值，所以.故選C. 評注 本題的解法二是用線性規(guī)劃知識(shí)求解的. 30.（2016

14、上海文7）若滿足，則的最大值為 . 30. 解析 作出滿足條件的規(guī)劃區(qū)域，如圖所示.設(shè)，則當(dāng)動(dòng)直線過點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的最大值為.故填. 31.（2016全國甲文14）若滿足約束條件則的最小值為_________. 31. 解析 解法一：由題意得可行域如圖所示，在處取得最小值. 解法二：由得，點(diǎn)；由得，點(diǎn)； 由得，點(diǎn).分別將，，代入得：，，，所以的最小值為. 32.（2016全國丙文13）設(shè)，滿足約束條件，則的最小值為______. 32. 解析 如圖所示，可行域?yàn)榧捌鋬?nèi)部，其中，直線過點(diǎn)時(shí)取最小值. 33.（2016山東文4）變量滿足，則的最大值是（

15、 ）. A.4 B.9 C.10 D.12 33.C 解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，由是點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，故只需求出三條直線的交點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，然后再進(jìn)行比較.經(jīng)計(jì)算，是最優(yōu)解，的最大值是.故選C. 34.（2016江蘇文12）已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是 . 34. 解析 在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域如圖所示. 的含義為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方.可以看出圖中點(diǎn)距離原點(diǎn)最近， 此時(shí)為原點(diǎn)到直線的距離，則； 圖中點(diǎn)距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)，點(diǎn)為與交點(diǎn)，即， 則. 3

16、5. （2016上海文12）如圖所示，已知，，，是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是 . 35. 解析 由題意設(shè)，故，由線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)知.故填. 評注 也可以設(shè)，，則，.利用三角有關(guān)知識(shí)求解. 36.（2017全國1文7）設(shè)，滿足約束條件，則的最大值為（ ）. A．0 B．1 C．2 D．3 36.解析 如圖所示，目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過時(shí)最大，故.故選D. 37.（2017全國2文7）設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是（ ）. A． B． C． D． 3

17、7.解析 如圖所示，繪制不等式組表示的可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值.故選A. 38.（2017全國3文5）設(shè)x，y滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）. A． B． C． D． 38.解析 根據(jù)現(xiàn)行約束條件，畫出可行域，如圖所示.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，.故的取值范圍是.故選B. 評注 本題屬于基本的線性規(guī)劃類問題，一般會(huì)比較簡單. 39.（2017北京文4）若，滿足，則的最大值為（ ）. A.1 B. 3 C.5

18、 D.9 39.解析 令，則，其表示與平行的一組直線，當(dāng)在經(jīng)過可行域平移時(shí)，截距越大，的值越大，所以當(dāng)平移到過點(diǎn)時(shí)，截距有最大值，即.故選D. 40.（2017北京文11）已知，，且，則的取值范圍是__________． 40.解析 解法一：代入消元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題. ，所以當(dāng)或1時(shí)，取得最大值1；當(dāng)時(shí)，取得最小值.因此的取值范圍為. 解法二：利用數(shù)形結(jié)合.如圖所示，表示線段上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由圖易知有，故有. 41.（2017山東文3）已知，滿足約束條件，則的最大值是（ ）. A. B. C.

19、 D. 41.解析 解法一：.故選D. 解法二：由畫出可行域及直線如圖所示，平移發(fā)現(xiàn)， 當(dāng)其經(jīng)過直線與的交點(diǎn)時(shí)， 最大值為.故選D. 42.（2017浙江4）若，滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）. A. B. C. D. 42.解析 如圖所示，在點(diǎn)取到的最小值為，沒有最大值， 故．故選D． 題型84 求解目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍（或最值） 1.（2014福建文11）已知圓，平面區(qū)域，若圓心，且圓與軸相切，則的最大值為（ ） A. B. C.

20、 D. 2. （2014山東文10）已知滿足約束條件當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在該約束條件下取到最小值時(shí)，的最小值為（ ）. A. B. C. D. 3.（2014新課標(biāo)Ⅰ文11）設(shè)滿足約束條件，且的最小值為，則（ ） A. B. C. 或 D. 或 題型85 簡單線性規(guī)劃問題的實(shí)際運(yùn)用 1．（2013湖北文9）某旅行社租用、兩種型號的客車安排名客人旅行，、 兩種車輛的載客量分別為人和人，租金分別為元/輛和元/輛，旅行社要 求租車總數(shù)不超過輛，且型車不多于型車輛．則租金最少為（ ）. A．元 B

21、．元 C．元 D．元 1.分析 先根據(jù)題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，通過平移目標(biāo)函數(shù)加以解決. 解析 設(shè)租用型車輛，型車輛，目標(biāo)函數(shù)為，則約束條件為 作出可行域，如圖中陰影部分所示，可知目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，最小值（元）.故選C. 2.（2014四川文10）已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是（ ）. A. B. C. D. 3.（2014浙江文10）如圖所示，某人在垂直于水平地面的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練. 已

22、知點(diǎn)到墻面的距離為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面上的射線移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計(jì)算由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角的大小（仰角為直線AP與平面ABC所成角）.若，則的最大值是（ ）. A． B． C． D． 4．（2014湖北文16）某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量（單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過測量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）與車流速度（假設(shè)車輛以相同速度行駛，單位：米/秒）、平均車長（單位：米）的值有關(guān)，其公式為. （Ⅰ）如果不限定車型，，則最大車流量為 輛/小時(shí)； （Ⅱ）如果限定車型，， 則最大車流量比（Ⅰ）中的最大車流量增加 輛

23、/小時(shí). 5.（2015重慶文10）若不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積 等于，則的值為（ ）. A. B. C. D. 5.解析 因?yàn)槠矫鎱^(qū)域?yàn)槿切吻颐娣e為可知，可得如圖所示圖形， 又因?yàn)橹本€與垂直， 設(shè)直線交點(diǎn)如圖為，，，則，，，所以，，所以， 所以．故選B． 6.（2015福建文10）變量滿足約束條件，若的最大值為2， 則實(shí)數(shù)等于（ ）. A． B． C． D． 6.解析 畫出滿足不等式

24、組的可行域，如圖中陰影部分所示. 將目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)取最大值2時(shí)， 則直線縱截距最小為. 當(dāng)時(shí)，直線縱截距最小為0，不滿足題意； 當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，得． 由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值. 把代入，得，解得.故選C． 7.（2016北京文14）某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出種商品，第二天售出種商品，第三天售出種商品；前兩天都售出的商品有種，后兩天都售出的商品有種，則該網(wǎng)店（1）第一天售出但第二天未售出的商品有______種； （2）這三天售出的商品最少有_______種. 7. 解析 如圖所示，區(qū)域分別表示只在第一天、第二天、第三天售出的商品；區(qū)域分別表

25、示只在第一天與第二天、第二天與第三天、第一天與第三天售出的商品；區(qū)域表示在三天都售出的商品. 又設(shè)區(qū)域的商品數(shù)量分別為，由題設(shè)可得， ① ② ③

26、 ④ ⑤ 第（1）問：由①④，可得， 即第一天售出但第二天未售出的商品有種. 第（2）問：可得這三天售出的商品總數(shù)為 由③⑤可得，，所以這三天售出的商品總數(shù). 進(jìn)而還可得，當(dāng)且僅當(dāng) ,或, 時(shí)，這三天售出的商品總數(shù)取到最小值. 評注 本題第（2）問的背景是容斥原理. 8.（2016天津文16）某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料.生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸

27、數(shù)如表所示. 原料 肥料 甲 4 8 3 乙 5 5 10 現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料.已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元.分別用表示計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù). (1) 用列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域； (2) 問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤. 8.分析 （1）根據(jù)生產(chǎn)原料不能超過種原料200噸，種原料噸，種原料噸，列不等關(guān)系式，即可行域，再根據(jù)直線及區(qū)域畫出可行域；（2）目標(biāo)函數(shù)為利潤根據(jù)直線平移及截距變化規(guī)律確定最大利潤. 解析 （1）由已知得滿足的不等式組為，該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示. （2）設(shè)利潤為萬元，則目標(biāo)函數(shù)，這是斜率為，隨變化的一族平行直線.為直線在軸上的截距，當(dāng)取最大值時(shí)，的值最大.又因?yàn)闈M足約束條件，所以由如圖所示的圖形可知.當(dāng)直線經(jīng)過可行域中的點(diǎn)時(shí)，截距的值最大，即的值最大. 解方程組，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以 所以生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時(shí)利潤最大，且最大利潤為112萬元. 題型 平面區(qū)域的面積——暫無