高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)練習(xí)：5_4 平面向量的綜合應(yīng)用

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1、 1．向量在平面幾何中的應(yīng)用 (1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧： 問題類型 所用知識 公式表示 線平行、點共線等問題 共線向量定理 a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 垂直問題 數(shù)量積的運算性質(zhì) a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b為非零向量 夾角問題 數(shù)量積的定義 cos θ＝(θ為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量 長度問題 數(shù)量積的定義 |a|＝＝， 其中a＝(x，y)，a為非零向量 (2)用向量方法解

2、決平面幾何問題的步驟： 平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題． 2．平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決． (2)物理學(xué)中的功是一個標(biāo)量，是力F與位移s的數(shù)量積，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ為F與s的夾角)． 3．向量與相關(guān)知識的交匯 平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))，解析幾何結(jié)合，常通過向量的線性運算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問題． 【知識拓展】 1．若G是△ABC的重心，則＋＋＝0. 2．若直線l的方程為：Ax＋By＋C＝0，則向量(A，B)

3、與直線l垂直，向量(－B，A)與直線l平行． 【思考辨析】 判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)若∥，則A，B，C三點共線．(　√　) (2)向量b在向量a方向上的投影是向量．(　×　) (3)若a·b＞0，則a和b的夾角為銳角；若a·b＜0，則a和b的夾角為鈍角．(　×　) (4)在△ABC中，若·<0，則△ABC為鈍角三角形．(　×　) (5)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個定點A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若動點P滿足：＝＋t(＋)，t∈R，則點P的軌跡方程是x－y＋1＝0.(　√　) 1．(教材改編)已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別

4、為A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，則該三角形為(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形 答案　B 解析?。?2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)， ∴||＝＝2，||＝＝4， ||＝＝6， ∴||2＋||2＝||2， ∴△ABC為直角三角形． 2．已知在△ABC中，||＝10，·＝－16，D為邊BC的中點，則||等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　D 解析　在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝BC2，又·＝||·||·cos A＝－16，所以

5、AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D為邊BC的中點，所以＋＝2，兩邊平方得4||2＝68－32＝36，解得||＝3，故選D. 3．(2017·武漢質(zhì)檢)平面直角坐標(biāo)系xOy中，若定點A(1,2)與動點P(x，y)滿足·＝4，則點P的軌跡方程是____________． 答案　x＋2y－4＝0 解析　由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4， 即x＋2y＝4. 4．(2016·銀川模擬)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，則|2a－b|的最大值為________． 答案　4 解析　設(shè)a與b夾角為α， ∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2

6、 ＝8－4|a||b|cos α＝8－8cos α， ∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1,1]， ∴8－8cos α∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]， ∴|2a－b|∈[0,4]． ∴|2a－b|的最大值為4. 5．已知一個物體在大小為6 N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100 m，且F與s的夾角為60°，則力F所做的功W＝________ J. 答案　300 解析　W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J). 題型一　向量在平面幾何中的應(yīng)用 例1　(1)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為

7、CD的中點．若·＝1，則AB＝________. (2)已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的(　　) A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心 答案　(1)　(2)C 解析　(1)在平行四邊形ABCD中，取AB的中點F，則＝，∴＝＝－， 又∵＝＋， ∴·＝(＋)·(－) ＝2－·＋·－2 ＝||2＋||||cos 60°－||2 ＝1＋×||－||2＝1. ∴||＝0，又||≠0，∴||＝. (2)由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根據(jù)平行四邊形

8、法則，知＋是△ABC的中線AD(D為BC的中點)所對應(yīng)向量的2倍，所以點P的軌跡必過△ABC的重心． 引申探究 本例(2)中，若動點P滿足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的________． 答案　內(nèi)心 解析　由條件，得－＝λ，即＝λ，而和分別表示平行于，的單位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以點P的軌跡必過△ABC的內(nèi)心． 思維升華　向量與平面幾何綜合問題的解法 (1)坐標(biāo)法 把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決． (2)基向量法 適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間

9、的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進行求解． 　(1)在△ABC中，已知向量與滿足(＋)·＝0，且·＝，則△ABC為(　　) A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形 (2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，則|＋3|的最小值為________． 答案　(1)A　(2)5 解析　(1)，分別為平行于，的單位向量，由平行四邊形法則可知＋為∠BAC的平分線．因為(＋)·＝0，所以∠BAC的平分線垂直于BC，所以AB＝AC. 又·＝··cos∠BAC＝，所以cos∠BAC＝，

10、又0<∠BAC<π，故∠BAC＝，所以△ABC為等邊三角形． (2)以D為原點，分別以DA，DC所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝a，DP＝y(tǒng). 則D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)， P(0，y)， ＝(2，－y)，＝(1，a－y)， 則＋3＝(5,3a－4y)， 即|＋3|2＝25＋(3a－4y)2， 由點P是腰DC上的動點，知0≤y≤a. 因此當(dāng)y＝a時，|＋3|2的最小值為25. 故|＋3|的最小值為5. 題型二　向量在解析幾何中的應(yīng)用 例2　(1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A、B、C三

11、點共線，當(dāng)k<0時，若k為直線的斜率，則過點(2，－1)的直線方程為________________． (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，C為圓(x－2)2＋y2＝3的圓心，且圓上有一點M(x，y)滿足·＝0，則＝________________________________________________________________________. 答案　(1)2x＋y－3＝0　(2)± 解析　(1)∵＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(6，k－5)，且∥， ∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0， 解得k＝－2或k＝11. 由k<0可知k＝－2，則過點(2，－1)且斜率為－2的直線方程

12、為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0. (2)∵·＝0，∴OM⊥CM， ∴OM是圓的切線，設(shè)OM的方程為y＝kx， 由＝，得k＝±，即＝±. 思維升華　向量在解析幾何中的“兩個”作用 (1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題． (2)工具作用：利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡捷的方法．

13、 　(2016·合肥模擬)如圖所示，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則(＋)·的最小值為________． 答案?。? 解析　∵圓心O是直徑AB的中點， ∴＋＝2，∴(＋)·＝2·， ∵與共線且方向相反， ∴當(dāng)大小相等時，乘積最?。蓷l件知，當(dāng)PO＝PC＝時，最小值為－2××＝－. 題型三　向量的其他應(yīng)用 命題點1　向量在不等式中的應(yīng)用 例3　已知x，y滿足若＝(x,1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，則實數(shù)a的值是________． 答案　 解析　因為＝(x,1)，＝(2，y)，所以·＝2x＋y，令z＝

14、2x＋y，依題意，不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示(含邊界)，觀察圖象可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點C(1,1)時，zmax＝2×1＋1＝3，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點F(a，a)時，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝. 命題點2　向量在解三角形中的應(yīng)用 例4　(2016·合肥模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，則△ABC最小角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵20a＋15b＋12c＝0， ∴20a(－)＋15b＋12c＝0， ∴(20a－15b)＋(12c－2

15、0a)＝0， ∵與不共線， ∴? ∴△ABC最小角為角A， ∴cos A＝ ＝＝， ∴sin A＝，故選C. 命題點3　向量在物理中的應(yīng)用 例5　如圖，一質(zhì)點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1，F(xiàn)2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為(　　) A．2 B．2 C．2 D．6 答案　A 解析　如題圖所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，則F3＝－(F1＋F2)，即F＝F＋F＋2F1·F2＝F＋F＋2|F1|·|F2|·cos 60°＝28.故|F3|＝2. 思維升華　利用向量的載體作用，可以將向

16、量與三角函數(shù)、不等式結(jié)合起來，解題時通過定義或坐標(biāo)運算進行轉(zhuǎn)化，使問題的條件結(jié)論明晰化． 　(1)函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M、N分別是最高點、最低點，O為坐標(biāo)原點，且·＝0，則函數(shù)f(x)的最小正周期是______． (2)已知在平面直角坐標(biāo)系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2，3)，動點P(x，y)滿足不等式0≤·≤1,0≤·≤1，則z＝·的最大值為________． 答案　(1)3　(2)3 解析　(1)由圖象可知，M，N， 所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0， 解得xN＝2， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期是2×＝3.

17、 (2)∵＝(x，y)，＝(1,1)，＝(0,1)，＝(2,3)， ∴·＝x＋y，·＝y(tǒng)，·＝2x＋3y， 即在條件下，求z＝2x＋3y的最大值，由線性規(guī)劃知識得，當(dāng)x＝0，y＝1時，zmax＝3. 三審圖形抓特點 典例　(2016·太原一模)已知A，B，C，D是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)一個周期內(nèi)的圖象上的四個點，如圖所示，A，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，B與D關(guān)于點E對稱，在x軸上的投影為，則ω，φ的值為(　　) A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ ―→―→ ―→ 解

18、析　由E為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，作點C的對稱點M，作MF⊥x軸，垂足為F，如圖．B與D關(guān)于點E對稱，在x軸上的投影為，知OF＝. 又A，所以AF＝＝＝，所以ω＝2.同時函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)圖象可以看作是由y＝sin ωx的圖象向左平移得到，故可知＝＝，即φ＝. 答案　A 1．在△ABC中，(＋)·＝||2，則△ABC的形狀一定是(　　) A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　由(＋)·＝||2， 得·(＋－)＝0， 即·(＋＋)＝0， 2·＝0， ∴⊥，∴A＝90°. 又根據(jù)已知條件不能得到||＝|

19、|， 故△ABC一定是直角三角形． 2．(2016·山東)已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，則實數(shù)t的值為(　　) A．4 B．－4 C. D．－ 答案　B 解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0， 即tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0， 由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4，故選B. 3．(2016·南寧模擬)已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)且a∥b，則sin 2α等于(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 答案　D 解析　由

20、a∥b得cos α＋2sin α＝0， ∴cos α＝－2sin α，又sin2α＋cos2α＝1， ∴5sin2α＝1，sin2α＝，cos2α＝， sin 2α＝2sin αcos α＝－cos2α＝－. 4．(2016·武漢模擬)設(shè)△ABC的三個內(nèi)角為A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，則C等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　依題意得sin Acos B＋cos Asin B＝1＋cos(A＋B)，sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，sin C＋cos C＝1,2si

21、n(C＋)＝1，sin(C＋)＝. 又

22、量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為，故以向量α，β為兩邊的三角形的面積為，故β的終點在如圖所示的線段AB上(α∥，且圓心O到AB的距離為)，因此夾角θ的取值范圍為. 7．在菱形ABCD中，若AC＝4，則·＝________. 答案?。? 解析　設(shè)∠CAB＝θ，AB＝BC＝a， 由余弦定理得：a2＝16＋a2－8acos θ，∴acos θ＝2， ∴·＝4×a×cos(π－θ)＝－4acos θ＝－8. 8．已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為.以a，b為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對角線中較短的一條的長度為______． 答案　 解析　∵|

23、a＋b|2－|a－b|2＝4a·b ＝4|a||b|cos ＝4>0， ∴|a＋b|>|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3， ∴|a－b|＝. 9．已知|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有極值，則向量a與b的夾角的范圍是__________． 答案　 解析　設(shè)a與b的夾角為θ. ∵f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx， ∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b. ∵函數(shù)f(x)在R上有極值， ∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有兩個不同的實數(shù)根， 即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜， 又∵|a|＝2|b|≠0，

24、 ∴cos θ＝＜＝，即cos θ＜， 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈. *10.已知圓C：(x－2)2＋y2＝4，圓M：(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)，過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE，PF，切點分別為E，F(xiàn)，則·的最小值是________． 答案　6 解析　圓(x－2)2＋y2＝4的圓心C(2,0)，半徑為2， 圓M(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1，圓心M(2＋5cos θ，5sin θ)，半徑為1， ∵CM＝5＞2＋1，故兩圓相離． 如圖所示，設(shè)直線CM和圓M交于H，G兩點， 則·最小值是·，HC＝CM－1＝

25、5－1＝4，HF＝HE＝＝＝2， sin∠CHE＝＝， ∴cos∠EHF＝cos 2∠CHE＝1－2sin2∠CHE＝， ·＝||·||·cos∠EHF＝2×2×＝6. 11．已知點P(0，－3)，點A在x軸上，點Q在y軸的正半軸上，點M滿足·＝0，＝－，當(dāng)點A在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程． 解　設(shè)M(x，y)為所求軌跡上任一點， 設(shè)A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)， 則＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)， 由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0.① 由＝－，得 (x－a，y)＝－(－x，b－y)＝， ∴∴∴b＞0，y＞0， 把a＝－代入①，得－＋

26、3y＝0， 整理得y＝x2(x≠0)． ∴動點M的軌跡方程為y＝x2(x≠0)． 12．已知角A，B，C是△ABC的內(nèi)角，a，b，c分別是其所對邊長，向量m＝(2sin ，cos2)，n＝(cos ，－2)，m⊥n. (1)求角A的大??； (2)若a＝2，cos B＝，求b的長． 解　(1)已知m⊥n， 所以m·n＝(2sin ，cos2)·(cos ，－2) ＝sin A－(cos A＋1)＝0， 即sin A－cos A＝1，即sin(A－)＝， 因為0

27、＝＝ ＝. 由正弦定理知＝， 所以b＝a·＝＝. *13.已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且(＋)·(－)＝0. (1)求動點P的軌跡方程； (2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任意一條直徑，求·的最值． 解　(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)． 由(＋)·(－)＝0， 得||2－||2＝0， 即(2－x)2＋(－y)2－(8－x)2＝0， 化簡得＋＝1. ∴動點P在橢圓上，其軌跡方程為＋＝1. (2)∵＝＋，＝＋， 且＋＝0. ∴·＝2－2＝(－x)2＋(1－y)2－1 ＝16(1－)＋(y－1)2－1＝－y2－2y＋16 ＝－(y＋3)2＋19. ∵－2≤y≤2. ∴當(dāng)y＝－3時，·的最大值為19， 當(dāng)y＝2時，·的最小值為12－4. 綜上，·的最大值為19，最小值為12－4.