2018屆高三數(shù)學一輪復習： 熱點探究課1 導數(shù)應用中的高考熱點問題

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1、 熱點探究課(一) 導數(shù)應用中的高考熱點問題 [命題解讀]　函數(shù)是中學數(shù)學的核心內(nèi)容，導數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，因此，導數(shù)的應用是歷年高考的重點與熱點，常涉及的問題有：討論函數(shù)的單調(diào)性(求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)、求極值、求最值、求切線方程、求函數(shù)的零點或方程的根、求參數(shù)的范圍、證明不等式等，涉及的數(shù)學思想有：函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想等，中、高檔難度均有． 熱點1　利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值(答題模板) 函數(shù)的單調(diào)性、極值是局部概念，函數(shù)的最值是整體概念，研究函數(shù)的性質(zhì)必須在定義域內(nèi)進行，因此，務必遵循定義域優(yōu)先的原則，本熱點主要有三種考查方式：(1)討論函數(shù)的

2、單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的極值或最值；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，求參數(shù)的范圍． 　(本小題滿分12分)(2015·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)當f(x)有最大值，且最大值大于2a－2時，求a的取值范圍． [思路點撥]　(1)求出導數(shù)后對a分類討論，然后判斷單調(diào)性；(2)運用(1)的結(jié)論分析函數(shù)的最大值，對得到的不等式進行等價轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造函數(shù)并分析該函數(shù)的單調(diào)性求a的范圍． [規(guī)范解答]　(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－a. 2分 若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在

3、(0，＋∞)上單調(diào)遞增. 3分 若a>0，則當x∈時，f′(x)>0； 當x∈時，f′(x)<0. 5分 所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 6分 (2)由(1)知，當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上無最大值； 7分 當a>0時，f(x)在x＝取得最大值，最大值為 f＝ln＋a＝－ln a＋a－1. 9分 因此f>2a－2等價于ln a＋a－1<0. 10分 令g(a)＝ln a＋a－1，則

4、g(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(1)＝0. 于是，當01時，g(a)>0. 因此，a的取值范圍是(0,1). 12分 [答題模板]　討論含參函數(shù)f(x)的單調(diào)性的一般步驟 第一步：求函數(shù)f(x)的定義域(根據(jù)已知函數(shù)解析式確定)． 第二步：求函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)． 第三步：根據(jù)f′(x)＝0的零點是否存在或零點的大小對參數(shù)分類討論． 第四步：求解(令f′(x)>0或令f′(x)<0)． 第五步：下結(jié)論． 第六步：反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點、注意解題規(guī)范． 溫馨提示：1.

5、討論函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值問題，最終歸結(jié)到判斷f′(x)的符號問題上，而f′(x)＞0或f′(x)＜0，最終可轉(zhuǎn)化為一個一元一次不等式或一元二次不等式問題． 2．若已知f(x)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解． [對點訓練1]　(2017·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2e－ax，a∈R. (1)當a＝1時，求函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(－1，f(－1))處的切線方程； (2)討論f(x)的單調(diào)性． [解]　(1)因為當a＝1時，f(x)＝x2e－x，f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝(2x－x2)e－x，2分 所以f

6、(－1)＝e，f′(－1)＝－3e. 從而y＝f(x)的圖象在點(－1，f(－1))處的切線方程為y－e＝－3e(x＋1)，即y＝－3ex－2e. 4分 (2)f′(x)＝2xe－ax－ax2e－ax＝(2x－ax2)e－ax. ①當a＝0時，若x＜0，則f′(x)＜0，若x＞0， 則f′(x)＞0. 所以當a＝0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上為減函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù). 6分 ②當a

7、＞0時，由2x－ax2＜0，解得x＜0或x＞，由2x－ax2＞0，解得0＜x＜. 所以f(x)在區(qū)間(－∞，0)與上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).8分 ③當a＜0時，由2x－ax2＜0，解得＜x＜0，由2x－ax2＞0，解得x＜或x＞0. 所以，當a＜0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間，(0，＋∞)上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù).10分 綜上所述，當a＝0時，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當a＞0時，f(x)在(－∞，0)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； 當a＜0時，f(x)在上單調(diào)遞減，在，(0，＋∞)上單調(diào)遞增.12分 熱點2　利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或曲線交點問題

8、 研究函數(shù)零點的本質(zhì)就是研究函數(shù)的極值的正負，為此，我們可以通過討論函數(shù)的單調(diào)性來解決，求解時應注重等價轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想的應用，其主要考查方式有：(1)確定函數(shù)的零點、圖象交點的個數(shù)；(2)由函數(shù)的零點、圖象交點的情況求參數(shù)的取值范圍． 　(2016·北京高考節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c. (1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程； (2)設(shè)a＝b＝4，若函數(shù)f(x)有三個不同零點，求c的取值范圍． [解]　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 2分 因為f(0)＝c，f′(0)＝b， 所以曲線y＝

9、f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝bx＋c. 4分 (2)當a＝b＝4時，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c， 所以f′(x)＝3x2＋8x＋4. 6分 令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－. 8分 f(x)與f′(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上的情況如下： x (－∞，－2) －2 － f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  c  c－  所以，當c＞0且c－＜0時，存在x1∈(－4，－2)，x2∈，x3

10、∈，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0. 由f(x)的單調(diào)性知，當且僅當c∈時，函數(shù)f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三個不同零點.12分 [規(guī)律方法]　用導數(shù)研究函數(shù)的零點，常用兩種方法：一是用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；二是將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決． [對點訓練2]　設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x＋，m∈R. (1)當m＝e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時，求f(x)的極小值； (2)討論函數(shù)g(x)＝f′(x)－零點的個數(shù)． 【導學號：01772099】 [解]　(1)由題設(shè)，當m＝e時，f(x)＝ln x＋， 則f′(x)＝，由

11、f′(x)＝0，得x＝e. 2分 ∴當x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減； 當x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴當x＝e時，f(x)取得極小值f(e)＝ln e＋＝2， ∴f(x)的極小值為2. 4分 (2)由題設(shè)g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0). 5分 設(shè)φ(x)＝－x3＋x(x≥0)， 則φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，

12、 當x∈(0,1)時，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增； 當x∈(1，＋∞)時，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減， ∴x＝1是φ(x)唯一的極值點，且是極大值點，因此x＝1也是φ(x)的最大值點， ∴φ(x)的最大值為φ(1)＝.8分 又φ(0)＝0，結(jié)合y＝φ(x)的圖象(如圖)，可知 ①當m＞時，函數(shù)g(x)無零點； ②當m＝時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點； ③當0＜m＜時，函數(shù)g(x)有兩個零點； ④當m≤0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點． 綜上所述，當m＞時，函數(shù)g(x)無零點； 當m＝或m≤0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點；

13、 當0＜m＜時，函數(shù)g(x)有兩個零點.12分 熱點3　利用導數(shù)研究不等式問題 導數(shù)在不等式中的應用問題是每年高考的必考內(nèi)容，且以解答題的形式考查，難度較大，屬中高檔題．歸納起來常見的命題角度有：(1)證明不等式；(2)不等式恒成立問題；(3)存在型不等式成立問題． ?角度1　證明不等式 　(2015·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－aln x. (1)討論f(x)的導函數(shù)f′(x)零點的個數(shù)； (2)證明：當a＞0時，f(x)≥2a＋aln. [解]　(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x>0)． 當a≤0時，f′(x)>0，f′(x)沒有零點；

14、 當a>0時，設(shè)u(x)＝e2x，v(x)＝－， 3分 因為u(x)＝e2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，v(x)＝－在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 又f′(a)>0，當b滿足00時，f′(x)存在唯一零點. 5分 (2)證明：由(1)，可設(shè)f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零點為x0，當x∈(0，x0)時，f′(x)<0； 當x∈(x0，＋∞)時，f′(x)>0. 故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞

15、)上單調(diào)遞增，所以當x＝x0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).9分 由于2e2x0－＝0， 所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln . 故當a>0時，f(x)≥2a＋aln .12分 ?角度2　不等式恒成立問題 　(2016·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)． (1)當a＝4時，求曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程； (2)若當x∈(1，＋∞)時，f(x)>0，求a的取值范圍． [解]　(1)f(x)的定義域為(0，＋∞).1分 當a＝4時，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)， f(1)＝0，f′(x)＝l

16、n x＋－3，f′(1)＝－2.3分 故曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為2x＋y－2＝0.5分 (2)當x∈(1，＋∞)時，f(x)＞0等價于ln x－＞0. 設(shè)g(x)＝ln x－， 則g′(x)＝－＝，g(1)＝0.9分 ①當a≤2，x∈(1，＋∞)時，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)單調(diào)遞增，因此g(x)＞0； ②當a＞2時，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋. 由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故當x∈(1，x2)時，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)單調(diào)遞減，因此g(x)＜0.

17、綜上，a的取值范圍是(－∞，2].12分 ?角度3　存在型不等式成立問題 　(2014·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為0. (1)求b； (2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范圍． [解]　(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b. 由題設(shè)知f′(1)＝0，解得b＝1.3分 (2)f(x)的定義域為(0，＋∞)， 由(1)知，f(x)＝aln x＋x2－x， f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1).5分 ①若a≤，則≤1，故當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞

18、)單調(diào)遞增． 所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要條件為f(1)<，即－1<，解得－－11，故當x∈時，f′(x)<0，當x∈時，f′(x)>0，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.9分 所以存在x0≥1，使得f(x0)<的充要條件為f<. 而f＝aln ＋＋>，所以不合題意． ③若a>1，則f(1)＝－1＝<恒成立，所以a＞1. 綜上，a的取值范圍是(－－1，－1)∪(1，＋∞).12分 [規(guī)律方法]　1.運用導數(shù)證明不等式，常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題． 2．不等式恒成立通常可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值解決．解答相應的參數(shù)不等式，如果易分離參數(shù)，可先分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，避免參數(shù)的討論． 3．“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補”關(guān)系，即f(x)≥g(a)對于x∈D恒成立，應求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，應求f(x)的最大值．應特別關(guān)注等號是否成立問題．