2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-文科 第六章 數(shù)列 第3節(jié) 數(shù)列的綜合

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1、 第3節(jié) 數(shù)列的綜合 題型76 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 1. （2013江蘇19）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和.記，，其中為實(shí)數(shù). （1）若，且成等比數(shù)列，證明：（）； （2）若是等差數(shù)列，證明：. 1.分析 （1）利用將表示出來(lái)，然后根據(jù)成等比數(shù)列，得到與的關(guān) 系，可驗(yàn)證；（2）先由成等差數(shù)列，得到關(guān)于的等式，求得的值后 再代入驗(yàn)證. 解析 （1）由，得. 又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得因?yàn)?，所?因此，對(duì)于所有的，有.從而對(duì)于所有的，有. （2）設(shè)數(shù)列的公差是，則，即，代入的表達(dá)式，整理得，對(duì)于所有的，有 . 令，則對(duì)于所有的，有. （*

2、）在（*）式中分別取得 ， 從而有 由②③得，代入方程①，得，從而，即 .若，則由，得，與題設(shè)矛盾，所以.又因?yàn)椋? 2．(2013福建文17）已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為. （1）若成等比數(shù)列，求； （2）若，求的取值范圍. 2.分析（1）利用等比中項(xiàng)求解；（2）利用通項(xiàng)公式與求和公式將不等式轉(zhuǎn)化為含有首項(xiàng)的 不等式求解. 解析（1）因?yàn)閿?shù)列的公差，且成等比數(shù)列，所以，即，解得. （2）因?yàn)閿?shù)列的公差，且，所以，即，解得. 3. (2013天津文19）已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為， 且成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式; （2）證明. 3.分析 （

3、1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（2）求出前項(xiàng) 和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明. 解析 （1）設(shè)等比數(shù)列的公比為. 因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以即可得于是又因?yàn)樗缘缺葦?shù)列的通項(xiàng)公式為 （2） 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，隨的增大而減小，所以 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，隨的增大而減小，所以 故對(duì)于有 4.（2013湖北文19）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，成等差數(shù)列，且． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出符合條件的所有的集合；若不存在，說(shuō)明理由． 4.分析 首先由成等差數(shù)列，且，求得和公比，進(jìn)而得通 項(xiàng)公式；然后根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式列出關(guān)于的不等式，通

4、過(guò)解不等式進(jìn)而做出 判斷. 解析 （1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則. 由題意得即解得 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為. （2）由（1）有.假設(shè)存在，使得，則，即. 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，上式不成立； 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，即. 綜上，存在符合條件的正整數(shù)，且所有這樣的的集合為. 5.（2014天津文5）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，則=（ ）. A. B. C. D . 6.（2014新課標(biāo)Ⅱ文5）等差數(shù)列的公差為，若成等比數(shù)列，則的前項(xiàng)和（ ）. A. B. C. D. 7.（2014

5、北京文15）（本小題滿分13分）已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，且是等比數(shù)列. （1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 7. 解析 （I）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得.所以.設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，解得.所以.從而. （II）由（I）知.數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.所以數(shù)列的前項(xiàng)和為. 評(píng)注 本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)同時(shí)及前項(xiàng)和公式，考查數(shù)列綜合應(yīng)用.屬基礎(chǔ)題. 8．（2014湖北文19）（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最

6、小值；若不存在，說(shuō)明理由. 9.（2014重慶文16）（本小題滿分13分.（I）小問(wèn)6分，（II）小問(wèn)5分） 已知是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，表示的前項(xiàng)和. （I）求及； （II）設(shè)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比滿足，求的通 項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和. 10.（2016北京文15）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）設(shè) ，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 10.解析 （1）等比數(shù)列的公比，所以，. 設(shè)等差數(shù)列的公差為.因?yàn)?，? 所以，即.所以. （2）由（1）知，，.因此. 從而數(shù)列的前項(xiàng)和 . 11.（2016全國(guó)乙文17）已知是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)

7、列滿足. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）求的前n項(xiàng)和. 11.解析 （1）由題意令中，即， 解得，故. （2）由（1）得，即， 故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即， 所以的前項(xiàng)和為. 12.（2016四川文19）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，其中，. （1）若，，成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)雙曲線的離心率為，且，求. 12.解析 （1）由已知，，， 兩式相減得到，. 又由，得到，故對(duì)所有都成立. 所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.從而. 由，，成等差數(shù)列，可得，所以，故. 所以. （2）由（1）可知，. 所以雙曲線的離心率. 由，解得

8、. 所以 13.（2016天津文18）已知是等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且. （1）求的通項(xiàng)公式； （2）若對(duì)任意的，是和的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 13.解析 （1）數(shù)列的公比為，由已知有，解得. 又由知，所以，解得，所以. （2）由題意得，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為， 則. 14.（2017天津文18）已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，,，. （1）求和的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 14.解析 （1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由已知，，得，而，所以.又因?yàn)椋獾?，所?由，可得

9、 ① 由，可得 ② 聯(lián)立式①②，解得，，由此可得. 所以的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為. （2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由，有， ， 上述兩式相減，得 ，得. 所以數(shù)列的前項(xiàng)和為. 題型77 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合 1.（2014四川文19）(本小題滿分12分) 設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上. （1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列； （2）若，函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 2.（2

10、015陜西文21）設(shè) （1）求. （2）證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為），且. 2.解析 (1)由題設(shè)， 所以， 所以，由錯(cuò)位相減法求得： ， 所以； (2)因?yàn)?，? 所以在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn). 又，所以在內(nèi)單調(diào)遞增， 因此，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，由于， 所以，由此可得， 故，所以. 3.（2016上海文14）無(wú)窮數(shù)列由個(gè)不同的數(shù)組成，為的前項(xiàng)和，若對(duì)任意，，則的最大值為 . 3.解析 由題意或，或，依此類推， 又與具備等價(jià)性，因此不妨考慮設(shè)， 若，則；若，則. 按照這種邏輯，可以出現(xiàn)序列，或者序列 因此最大化處理可以出現(xiàn)，所

11、以最大值為. 4.（2016上海文22）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列與，記，，若同時(shí)滿足條件： ①，均單調(diào)遞增； ②且，則稱與是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列. （1）若，，判斷與是否為無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列，并說(shuō)明理由； （2）若=且與是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)的和； （3）若與是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列，為等差數(shù)列且，求與的通項(xiàng)公式. 4.解析 （1）易知，， 而，，所以，從而與不是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列. （2）由題意，因?yàn)?，所? 數(shù)列的前項(xiàng)的和為. （3）設(shè)的公差為，，則.由，得或. 若，則，，與“與是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列”矛盾， 因?yàn)榇藭r(shí)不是無(wú)窮數(shù)列；若，則，，. 綜上所述，，. 5.（2016江蘇20）記.對(duì)數(shù)列和的子

12、集，若，定義；若，定義.假如：時(shí)，.現(xiàn)設(shè)是公比為的等比數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）對(duì)任意正整數(shù)，若，求證：； （3）設(shè)，，，求證：. 5. 解析 （1）當(dāng)時(shí)，，因此， 從而，. （2）. （3）下面分三種情況給予證明. ①若是的子集，則. ②若是的子集，則. ③若不是的子集，且不是的子集. 令，，則，，. 于是，，進(jìn)而由得. 設(shè)為中的最大數(shù)，為中的最大數(shù)，則，，. 由（2）知，.于是，所以，即.又，故. 從而 ， 故，所以，即. 綜合①②③得，. 6.（2017浙江22）已知數(shù)列滿足：，.證明：當(dāng)時(shí). （1）； （2）； （3）. 6.解析 （1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：. 當(dāng)時(shí)，，假設(shè)時(shí)，， 那么時(shí)，若，則，矛盾，故. 因此，所以. 因此. （2）由，得. 記函數(shù). ， 知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以， 因此，即. （3）因?yàn)椋?，以此類推，，所以，? 由（2）知，，即， 所以，故. 綜上，. 題型80 數(shù)列的應(yīng)用題——暫無(wú)