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1、
數(shù) 學(xué)
N單元 選修4系列
N1 選修4-1 幾何證明選講
15.N1[2015·廣東卷] (幾何證明選講選做題)如圖1-1,AB為圓O的直徑,E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過E作圓O的切線,切點(diǎn)為C,過A作直線EC的垂線,垂足為D.若AB=4,CE=2,則AD=________.
圖1-1
15.3 [解析] 連接OC,則OC⊥DE,∴OC∥AD,∴=.由切割線定理得CE2=BE·AE,∴BE(BE+4)=12,解得BE=2,∴AD===3.
22.N1[2015·全國(guó)卷Ⅰ] 選修4-1:幾何證
2、明選講
如圖1-7,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的切線,BC交⊙O于點(diǎn)E.
(1)若D為AC的中點(diǎn),證明:DE是⊙O的切線;
(2)若OA=CE,求∠ACB的大?。?
圖1-7
22.解:(1)證明:連接AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.
在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.
連接OE,則∠OBE=∠OEB.
又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,即DE是⊙O的切線.
(2)設(shè)CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=.
由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=,即x4+x
3、2-12=0,
可得x=,所以∠ACB=60°.
22.N1[2015·全國(guó)卷Ⅱ] 選修4-1:幾何證明選講
如圖1-9,O是等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),⊙O與△ABC的底邊BC交于M,N兩點(diǎn),與底邊上的高AD交于點(diǎn)G,且與AB,AC分別相切于E,F(xiàn)兩點(diǎn).
(1)證明:EF∥BC;
(2)若AG等于⊙O的半徑,且AE=MN=2,求四邊形EBCF的面積.
圖1-9
22.解:(1)證明:由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分線.
又因?yàn)椤袿分別與AB,AC相切于點(diǎn)E,F(xiàn),所以AE=AF,故AD⊥EF.
從而EF∥BC.
(2)由(1)知,AE=AF,A
4、D⊥EF,故AD是EF的垂直平分線.又EF為⊙O的弦,所以O(shè)在AD上.
連接OE,OM,則OE⊥AE.
由AG等于⊙O的半徑得AO=2OE,所以∠OAE=30°,
因此△ABC和△AEF都是等邊三角形.
因?yàn)锳E=2,所以AO=4,OE=2.
因?yàn)镺M=OE=2,DM=MN=,所以O(shè)D=1.于是AD=5,AB=.
所以四邊形EBCF的面積為×2×-×(2)2×=.
22.N1[2015·陜西卷] 選修4-1:幾何證明選講
如圖1-7,AB切⊙O于點(diǎn)B,直線AO交⊙O于D,E兩點(diǎn),BC⊥DE,垂足為C.
(1)證明:∠CBD=∠DBA;
(2)若AD=3DC,BC=,求⊙O的
5、直徑.
圖1-7
22.解:(1)證明:因?yàn)镈E為⊙O的直徑,
所以∠BED+∠EDB=90°.
又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°,
從而∠CBD=∠BED.
又AB切⊙O于點(diǎn)B,
得∠DBA=∠BED,
所以∠CBD=∠DBA.
(2)由(1)知BD平分∠CBA,
則==3.
又BC=,從而AB=3,
所以AC==4,
所以AD=3.
由切割線定理得AB2=AD·AE,
即AE==6,
故DE=AE-AD=3,
即⊙O的直徑為3.
6.N1[2015·天津卷] 如圖1-2,在圓O中,M,N是弦AB的三等分點(diǎn),弦CD,CE分別經(jīng)過點(diǎn)M,N,若
6、CM=2,MD=4,CN=3,則線段NE的長(zhǎng)為( )
圖1-2
A. B.3
C. D.
6.A [解析] 根據(jù)相交弦定理知,CM·MD=AM·MB,CN·NE=AN·NB.又因?yàn)镸,N 是弦AB 的三等分點(diǎn),所以CM·MD=CN·NE,即2×4=3×NE,所以NE=.
N2 選修4-2 矩陣
N3 選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程
23.N3[2015·全國(guó)卷Ⅰ] 選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求C1,C2的極坐
7、標(biāo)方程;
(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M,N,求△C2MN的面積.
23.解:(1)因?yàn)閤=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ=-2,C2的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.
(2)將θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=,故ρ1-ρ2=,即|MN|=.
由于圓C2的半徑為1,所以△C2MN的面積為.
23.N3[2015·全國(guó)卷Ⅱ] 選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),t≠0),其中0≤α
8、<π,在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ.
(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo);
(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A,C1與C3相交于點(diǎn)B,求|AB|最大值.
23.解:(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0.
聯(lián)立解得或
所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和,.
(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
因此A的極坐標(biāo)為(2sin α,α),B的極坐標(biāo)為(2cos α,α).
所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4si
9、nα-.
當(dāng)α=時(shí),|AB|取得最大值,最大值為4.
12.N3[2015·湖南卷] 在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ,則曲線C的直角坐標(biāo)方程為________.
12.x2+y2-2y=0 [解析] 將曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2sin θ兩邊同乘一個(gè)ρ,得ρ2=2ρsin θ,即x2+y2=2y,故曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0.
23.N3[2015·陜西卷] 選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,⊙C的
10、極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ.
(1)寫出⊙C的直角坐標(biāo)方程;
(2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí),求P的直角坐標(biāo).
23.解:(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,
從而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.
(2)設(shè)P3+t,t,又C(0,),
則|PC|==,
故當(dāng)t=0時(shí),|PC|取得最小值,
此時(shí),P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,0).
14.N3[2015·廣東卷] (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲線C2的參數(shù)方
11、程為(t為參數(shù)),則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________.
14.(2,-4) [解析] 曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x+y=-2,曲線C2的普通方程為y2=8x,由得所以C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,-4).
N4 選修4-5 不等式選講
24.N4[2015·全國(guó)卷Ⅰ] 選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.
24.解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)>1化為|x+1|-2|x-1|-1>0.
當(dāng)x≤-1時(shí),不等式
12、化為x-4>0,無解;
當(dāng)-10,解得0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集為.
(2)由題設(shè)可得,f(x)=
所以函數(shù)f(x)的圖像與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面積為(a+1)2.
由題設(shè)得(a+1)2>6,故a>2,
所以a的取值范圍為(2,+∞).
24.N4[2015·全國(guó)卷Ⅱ] 選修4-5:不等式選講
設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d.證明:
(1)若ab>cd,則+>+;
(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充
13、要條件.
24.證明:(1)因?yàn)?+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由題設(shè)a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.
因此+>+.
(2)(i)若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,即
(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.
因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd.
由(1)得+>+.
(ii)若+>+,則(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.
因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd.
于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.
因此|a-b|<|c-d|.
綜上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件.
24.N4[2015·陜西卷] 選修4-5:不等式選講
已知關(guān)于x的不等式|x+a|