2018屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)： 熱點(diǎn)探究課5 平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題

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1、 熱點(diǎn)探究課(五)　 平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題 [命題解讀]　圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，每年高考必考一道解答題，常以求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、最值、范圍、探索性問(wèn)題為主．這些試題的命制有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是起點(diǎn)低，但在第(2)問(wèn)或第(3)問(wèn)中一般都伴有較為復(fù)雜的運(yùn)算，對(duì)考生解決問(wèn)題的能力要求較高，通常作為壓軸題的形式出現(xiàn)． 熱點(diǎn)1　圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是作為解答題中考查“直線與圓錐曲線”的第一小題，最常用的方法是定義法與待定系數(shù)法．離心率是高考對(duì)圓錐曲線考查的又一重點(diǎn)，涉及a，b

2、，c三者之間的關(guān)系．另外拋物線的準(zhǔn)線，雙曲線的漸近線也是命題的熱點(diǎn)． 　(2017·石家莊質(zhì)檢)如圖1，橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQ⊥PF1. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772348】 (1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若|PF1|＝|PQ|，求橢圓的離心率e. 圖1 [解]　(1)由橢圓的定義， 2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.2分 設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1⊥PF2， 因此2c＝|F1F2|＝ ＝＝2. 即c＝，從而b＝＝1， 故所求橢

3、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.5分 (2)連接F1Q，如圖，由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝2a， |QF1|＋|QF2|＝2a， 又|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|＝(2a－|PF1|)＋(2a－|QF1|)， 可得|QF1|＝4a－2|PF1|.① 又因?yàn)镻F1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，所以|QF1|＝|PF1|.② 由①②可得|PF1|＝(4－2)a，8分 從而|PF2|＝2a－|PF1|＝(2－2)a. 由PF1⊥PF2知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即(4－2)2a2＋(2－2)2a2＝4c2，10分 可得(9－6)a2＝c2

4、，即＝9－6， 因此e＝＝＝－.12分 [規(guī)律方法]　1.用定義法求圓錐曲線的方程是常用的方法，同時(shí)應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 2．圓錐曲線的離心率刻畫(huà)曲線的扁平程度，只要明確a，b，c中任意兩量的等量關(guān)系都可求出離心率，但一定注意不同曲線離心率取值范圍的限制． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1]　已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)． (1)求橢圓方程； (2)若直線y＝x－1與拋物線相切于點(diǎn)A，求以A為圓心且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程． [解]　(1)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上． 設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)． 因?yàn)閽佄锞€x2＝4y的

5、焦點(diǎn)為(0,1)， 所以b＝1.4分 由離心率e＝＝，a2＝b2＋c2＝1＋c2， 從而得a＝，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.6分 (2)由解得所以點(diǎn)A(2,1).8分 因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為y＝－1， 所以圓的半徑r＝1－(－1)＝2，10分 所以圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.12分 熱點(diǎn)2　圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題 定點(diǎn)、定值問(wèn)題一般涉及曲線過(guò)定點(diǎn)、與曲線上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的定值問(wèn)題以及與圓錐曲線有關(guān)的弦長(zhǎng)、面積、橫(縱)坐標(biāo)等的定值問(wèn)題． ?角度1　圓錐曲線中的定值問(wèn)題 　(2016·北京高考)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，A(a,0)，B(

6、0，b)，O(0,0)，△OAB的面積為1. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN|·|BM|為定值． [解]　(1)由題意得解得3分 所以橢圓C的方程為＋y2＝1.5分 (2)證明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)． 設(shè)P(x0，y0)，則x＋4y＝4. 當(dāng)x0≠0時(shí)， 直線PA的方程為y＝(x－2)． 令x＝0，得yM＝－， 從而|BM|＝|1－yM|＝. 直線PB的方程為y＝x＋1.8分 令y＝0，得xN＝－， 從而|AN|＝|2－xN|＝. 所以|AN|·|BM|＝· ＝ ＝

7、 ＝4.10分 當(dāng)x0＝0時(shí)，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， 所以|AN|·|BM|＝4. 綜上，|AN|·|BM|為定值.12分 [規(guī)律方法]　1.求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種： (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)． (2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值． 2．定值問(wèn)題求解的基本思路是使用參數(shù)表示要解決的問(wèn)題，然后證明與參數(shù)無(wú)關(guān)，這類問(wèn)題選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的． ?角度2　圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題 　設(shè)橢圓E: ＋＝1(a>b>0)的離心率為e＝，且過(guò)點(diǎn). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772349】 (1)求橢圓E的方程； (

8、2)設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)是A，若直線l：x－my－t＝0與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M，N(M，N與A均不重合)，若以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，試判定直線l是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． [解]　(1)由e2＝＝＝，可得a2＝2b2，2分 橢圓方程為＋＝1， 代入點(diǎn)可得b2＝2，a2＝4， 故橢圓E的方程為＋＝1.5分 (2)由x－my－t＝0得x＝my＋t， 把它代入E的方程得：(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)得： y1＋y2＝－，y1y2＝， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝， x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)

9、＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝.8分 因?yàn)橐訫N為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A， 所以AM⊥AN， 所以·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2 ＝＋2×＋4＋ ＝＝＝0. 因?yàn)镸，N與A均不重合，所以t≠－2， 所以t＝－，直線l的方程是x＝my－，直線l過(guò)定點(diǎn)T，10分 由于點(diǎn)T在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于0， 所以直線l過(guò)定點(diǎn)T.12分 [規(guī)律方法]　1.假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無(wú)關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)． 2．從特殊位置入

10、手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意． 熱點(diǎn)3　圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題 圓錐曲線中的最值問(wèn)題大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問(wèn)題；二是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)求解與之有關(guān)的一些問(wèn)題． 　(2017·杭州調(diào)研)已知橢圓＋y2＝1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝mx＋對(duì)稱． 圖2 (1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍； 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01772350】 (2)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))． [解]　(1)由題意知m≠0， 可設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋b. 由消去y，得 x2－x＋b2－1＝0.2分 因?yàn)橹本€y＝－

11、x＋b與橢圓＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 所以Δ＝－2b2＋2＋>0.① 將線段AB中點(diǎn)M代入直線方程y＝mx＋，解得b＝－.② 由①②得m<－或m>. 故m的取值范圍是∪.5分 (2)令t＝∈∪， 則|AB|＝·， 且O到直線AB的距離為d＝.9分 設(shè)△AOB的面積為S(t)， 所以S(t)＝|AB|·d＝≤， 當(dāng)且僅當(dāng)t2＝時(shí)，即m＝±時(shí)，等號(hào)成立． 故△AOB面積的最大值為.12分 [規(guī)律方法]　范圍(最值)問(wèn)題的主要求解方法： (1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決． (2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確

12、的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)或等量關(guān)系，利用判別式、基本不等式、函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2]　如圖3所示，設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|－1.(1)求p的值； 圖3 (2)若直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B，過(guò)B與x軸平行的直線和過(guò)F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N，AN與x軸交于點(diǎn)M.求M的橫坐標(biāo)的取值范圍． [解]　(1)由題意可得，拋物線上點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到直線x＝－1的距離，由拋物線的定義得＝1，即p＝2.5分 (2)由(1)得，拋物線方程為y2＝4x，F(xiàn)(1,0)，可設(shè)A(t2,2t)，t≠0，t≠±1

13、. 因?yàn)锳F不垂直于y軸，可設(shè)直線AF：x＝sy＋1(s≠0)． 由消去x得y2－4sy－4＝0. 故y1y2＝－4，所以B.8分 又直線AB的斜率為，故直線FN的斜率為－. 從而得直線FN：y＝－(x－1)，直線BN：y＝－， 所以N. 設(shè)M(m,0)，由A，M，N三點(diǎn)共線得 ＝，于是m＝＝2＋， 所以m<0或m>2.10分 經(jīng)推理知，m<0或m>2滿足題意． 綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是(－∞，0)∪(2，＋∞).12分 熱點(diǎn)4　圓錐曲線中的探索性問(wèn)題(答題模板) 圓錐曲線中的探索性問(wèn)題主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)探索點(diǎn)是否存在；(2)探索曲線是否存在；(

14、3)探索命題是否成立．涉及這類命題的求解主要是研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題． 　(本小題滿分12分)(2015·全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y＝與直線l：y＝kx＋a(a＞0)交于M，N兩點(diǎn)． (1)當(dāng)k＝0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程； (2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM＝∠OPN？說(shuō)明理由． [解]　(1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a).1分． 又y′＝，故y＝在x＝2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為y－a＝(x－2)， 即x－y－a＝0.3分 y＝在x＝－2處的導(dǎo)數(shù)值為－，C在點(diǎn)(

15、－2，a)處的切線方程為y－a＝－(x＋2)， 即x＋y＋a＝0. 故所求切線方程為x－y－a＝0或x＋y＋a＝0.6分 (2)存在符合題意的點(diǎn)．證明如下： 設(shè)P(0，b)為符合題意的點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.8分 將y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0. 故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a. 從而k1＋k2＝＋ ＝＝.10分 當(dāng)b＝－a時(shí)，有k1＋k2＝0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)， 故∠OPM＝∠OPN，所以點(diǎn)P(0，－a)符合題意． 12分 [答題模板]　第一步：分別求出曲線y＝在

16、M點(diǎn)，N點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)． 第二步：利用點(diǎn)斜式分別寫(xiě)出在M點(diǎn)、N點(diǎn)的切線方程． 第三步：聯(lián)立直線y＝kx＋a與拋物線y＝，并寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系式． 第四步：由kPM＋kPN＝0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式，探索點(diǎn)P的坐標(biāo)． 第五步：檢驗(yàn)反思，查關(guān)鍵點(diǎn)，規(guī)范步驟． [溫馨提示]　1.(1)在第(2)問(wèn)中，不能把條件∠OPM＝∠OPN適當(dāng)轉(zhuǎn)化為k1＋k2＝0，找不到解題的思路和方法，而不能得分． (2)運(yùn)算能力差或運(yùn)算不細(xì)心，導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤而扣分或者不得分． 2．?dāng)?shù)學(xué)閱卷時(shí)，主要看關(guān)鍵步驟、關(guān)鍵點(diǎn)，有則得分，無(wú)則扣分，所以解題時(shí)要寫(xiě)全關(guān)鍵步驟． (1)本題的關(guān)鍵點(diǎn)一是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線

17、方程，二是把條件中轉(zhuǎn)化為只需直線PM，PN的斜率之和為0. (2)解析幾何對(duì)運(yùn)算能力要求較高，解題時(shí)一定要細(xì)心準(zhǔn)確，否則可能是思路正確，但是運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤，而不得分． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3]　如圖4，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率是，點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上，且·＝－1. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)λ，使得·＋λ·為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 圖4 [解]　(1)由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，－b)，(0，b)． 又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，且·＝－1，2分 于是解得a＝2，b＝. 所

18、以橢圓E的方程為＋＝1.5分 (2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)． 聯(lián)立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.8分 其判別式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－. 從而，·＋λ· ＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝ ＝－－λ－2. 所以，當(dāng)λ＝1時(shí)，－－λ－2＝－3.10分 此時(shí)，·＋λ·＝－3為定值． 當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD. 此時(shí)，·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3. 故存在常數(shù)λ＝1，使得·＋λ·為定值－3.12分