高考數(shù)學(xué) 17-18版 第9章 第41課 課時分層訓(xùn)練41

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1、 課時分層訓(xùn)練(四十一) A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時:30分鐘) 一、填空題 1.已知m和n是兩條不同的直線,α和β是兩個不重合的平面,下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是____________.(填序號) 【導(dǎo)學(xué)號:62172226】 ①α⊥β且m?α; ②α⊥β且m∥α; ③m∥n且n⊥β; ④m⊥n且α∥β. ③ [由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理,可知③正確.] 2.(2017·徐州模擬)設(shè)l是直線,α,β是兩個不同的平面,則下列說法正確的是____________.(填序號) ①若l∥α,l∥β,則α∥β; ②若l∥α,l⊥β,則α⊥β; ③若

2、α⊥β,l⊥α,則l∥β; ④若α⊥β,l∥α,則l⊥β. ② [①中,α∥β或α與β相交,不正確.②中,過直線l作平面γ,設(shè)α∩γ=l′,則l′∥l, 由l⊥β,知l′⊥β,從而α⊥β,②正確. ③中,l∥β或l?β,③不正確. ④中,l與β的位置關(guān)系不確定.] 3.如圖41-8,在正四面體P-ABC中,D,E,F(xiàn)分別是AB,BC,CA的中點,下面四個結(jié)論不成立的是____________.(填序號) 圖41-8 ①BC∥平面PDF; ②DF⊥平面PAE; ③平面PDF⊥平面PAE; ④平面PDE⊥平面ABC. ④ [因為BC∥DF,DF?平面PDF, BC?平

3、面PDF, 所以BC∥平面PDF,故①正確. 在正四面體中,AE⊥BC,PE⊥BC,DF∥BC, 所以BC⊥平面PAE,則DF⊥平面PAE,從而平面PDF⊥平面PAE.因此②③均正確.] 4.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則下列說法正確的是____________.(填序號) ①若m⊥n,n∥α,則m⊥α; ②若m∥β,β⊥α,則m⊥α; ③若m⊥β,n⊥β,n⊥α,則m⊥α; ④若m⊥n,n⊥β,β⊥α,則m⊥α. ③ [①中,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m與α相交或m⊥α,錯誤; ②中,由m∥β,β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α,錯誤; ③中,

4、由m⊥β,n⊥β可得m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,正確; ④中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α,錯誤.] 5.如圖41-9,在三棱錐D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點,則下列命題中正確的是________.(填序號) 圖41-9 ①平面ABC⊥平面ABD; ②平面ABD⊥平面BCD; ③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE; ④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE. ③ [因為AB=CB,且E是AC的中點,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BD

5、E.又AC?平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.] 6.如圖41-10所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,當(dāng)點M滿足________時,平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可) 【導(dǎo)學(xué)號:62172227】 圖41-10 DM⊥PC(或BM⊥PC等) [由定理可知,BD⊥PC. ∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時,有PC⊥平面MBD. 又PC?平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.] 7.(2016·全國卷Ⅱ)α,β是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題: ①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥

6、β; ②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n; ③如果α∥β,m?α,那么m∥β; ④如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等. 其中正確的命題有________.(填寫所有正確命題的編號) ②③④ [對于①,α,β可以平行,也可以相交但不垂直,故錯誤. 對于②,由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α,n∥l,又m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故正確. 對于③,因為α∥β,所以α,β沒有公共點.又m?α,所以m,β沒有公共點,由線面平行的定義可知m∥β,故正確. 對于④,因為m∥n,所以m與α所成的角和n與α所成的角相等.因為α∥β,所以n與α所成的角和n與β所成的角

7、相等,所以m與α所成的角和n與β所成的角相等,故正確.] 8.如圖41-11,在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長都相等,側(cè)棱垂直于底面,點D是側(cè)面BB1C1C的中心,則AD與平面BB1C1C所成角的大小是________. 圖41-11  [取BC的中點E,連接AE,DE,則AE⊥平面BB1C1C. 所以∠ADE為直線AD與平面BB1C1C所成的角. 設(shè)三棱柱的所有棱長為a, 在Rt△AED中, AE=a,DE=. 所以tan∠ADE==,則∠ADE=. 故AD與平面BB1C1C所成的角為.] 9.如圖41-12,直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱長為2,AC=B

8、C=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中點,F(xiàn)是BB1上的動點,AB1,DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF,則線段B1F的長為____________. 圖41-12  [設(shè)B1F=x, 因為AB1⊥平面C1DF,DF?平面C1DF, 所以AB1⊥DF. 由已知可得A1B1=, 設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h, 則DE=h. 由面積相等得2×=h, 所以h=,DE=. 在Rt△DB1E中, B1E==. 由面積相等得×=x, 得x=.] 10.(2017·南京模擬)如圖41-13,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上的一點,E,F(xiàn)分別

9、是點A在PB,PC上的射影,給出下列結(jié)論: ①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC. 圖41-13 其中正確結(jié)論的序號是____________. 【導(dǎo)學(xué)號:62172228】 ①②③ [由題意知PA⊥平面ABC, ∴PA⊥BC. 又AC⊥BC,且PA∩AC=A, ∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF. ∵AF⊥PC,且BC∩PC=C, ∴AF⊥平面PBC, ∴AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A, ∴PB⊥平面AEF,∴PB⊥EF, 故①②③正確.] 11.(2017·鹽城模擬)如圖41-14,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥B

10、C,BC=CC1. 設(shè)AB1的中點為D,B1C∩BC1=E,求證: (1)DE∥平面AA1C1C; (2)BC1⊥AB1. 圖41-14 [證明] (1)由題意知,E為B1C的中點, 又D為AB1的中點,因此DE∥AC. 因為DE?平面AA1C1C,AC?平面AA1C1C, 所以DE∥平面AA1C1C. (2)因為棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC. 因為AC?平面ABC,所以AC⊥CC1. 因為AC⊥BC,CC1?平面BCC1B1,BC?平面BCC1B1,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1. 因為BC1?平面BCC1B1,所以BC

11、1⊥AC. 因為BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C. 因為AC,B1C?平面B1AC,AC∩B1C=C, 所以BC1⊥平面B1AC. 因為AB1?平面B1AC,所以BC1⊥AB1. 12.(2016·蘇州期末)如圖41-15,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB,BC的中點,A1C1與B1D1交于點O. (1)求證:A1,C1,F(xiàn),E四點共面; (2)若底面ABCD是菱形,且OD⊥A1E,求證:OD⊥平面A1C1FE. 【導(dǎo)學(xué)號:62172229】 圖41-15 [證明] (1)連結(jié)AC,因為E,F(xiàn)分別是AB,BC的中點

12、,所以EF是△ABC的中位線, 所以EF∥AC. 由直棱柱知AA1綊CC1,所以四邊形AA1C1C為平行四邊形,所以AC∥A1C1. 所以EF∥A1C1, 故A1,C1,F(xiàn),E四點共面. (2)連結(jié)BD,因為直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1,A1C1?平面A1B1C1D1, 所以DD1⊥A1C1. 因為底面A1B1C1D1是棱形,所以A1C1⊥B1D1. 又DD1∩B1D1=D1,所以A1C1⊥平面BB1D1D. 因為OD?平面BB1D1D,所以O(shè)D⊥A1C1. 又OD⊥A1E,A1C1∩A1E=A1,A1C1?平面A1C1FE,A1E?平面A1C1FE, 所以O(shè)D⊥

13、平面A1C1FE. B組 能力提升 (建議用時:15分鐘) 1.如圖41-16,在正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是BC,CD的中點,沿AE,AF,EF把正方形折成一個四面體,使B,C,D三點重合,重合后的點記為P,P點在△AEF內(nèi)的射影為O,則下列說法正確的是____________.(填序號) 圖41-16 ①O是△AEF的垂心;    ③O是△AEF的內(nèi)心; ③O是△AEF的外心; ④O是△AEF的重心. ① [由題意可知PA,PE,PF兩兩垂直, 所以PA⊥平面PEF,從而PA⊥EF, 而PO⊥平面AEF,則PO⊥EF,因為PO∩PA=P, 所以EF⊥平面PAO

14、, 所以EF⊥AO,同理可知AE⊥FO,AF⊥EO, 所以O(shè)為△AEF的垂心.] 2.如圖41-17,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點,點F在線段AA1上,當(dāng)AF=________時,CF⊥平面B1DF. 圖41-17 a或2a [∵B1D⊥平面A1ACC1,∴CF⊥B1D. 為了使CF⊥平面B1DF,只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F). 設(shè)AF=x,則CD2=DF2+FC2, ∴x2-3ax+2a2=0,∴x=a或x=2a.] 3.(2016·四川高考)如圖41-

15、18,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD. 圖41-18 (1)在平面PAD內(nèi)找一點M,使得直線CM∥平面PAB,并說明理由; (2)證明:平面PAB⊥平面PBD. [解] (1)取棱AD的中點M(M∈平面PAD),點M即為所求的一個點. 理由如下:連結(jié)CM, 因為AD∥BC,BC=AD, 所以BC∥AM,且BC=AM. 所以四邊形AMCB是平行四邊形, 所以CM∥AB. 又AB?平面PAB,CM?平面PAB, 所以CM∥平面PAB. (說明:取棱PD的中點N,則所找的點可以是直線MN上任意一點) (2)證

16、明:由已知,PA⊥AB,PA⊥CD, 因為AD∥BC,BC=AD,所以直線AB與CD相交, 所以PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD. 因為AD∥BC,BC=AD,M為AD的中點,連結(jié)BM, 所以BC∥MD,且BC=MD, 所以四邊形BCDM是平行四邊形, 所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB. 又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB. 又BD?平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD. 4.⊙O的直徑AB=4,點C,D為⊙O上兩點,且∠CAB=45°,F(xiàn)為的中點.沿直徑AB折起,使兩個半圓所在平面互相垂直(如圖①). ①    ?、? 圖41-19 (1)求證:OF∥平

17、面ACD; (2)在AD上是否存在點E,使得平面OCE⊥平面ACD?若存在,試指出點E的位置;若不存在,請說明理由. [解] (1)證明:由∠CAB=45°,知∠COB=90°, 又因為F為的中點, 所以∠FOB=45°,因此OF∥AC, 又AC?平面ACD,OF?平面ACD, 所以O(shè)F∥平面ACD. (2)存在,E為AD中點, 因為OA=OD,所以O(shè)E⊥AD. 又OC⊥AB且兩半圓所在平面互相垂直. 所以O(shè)C⊥平面OAD. 又AD?平面OAD,所以AD⊥OC, 由于OE,OC是平面OCE內(nèi)的兩條相交直線, 所以AD⊥平面OCE. 又AD?平面ACD, 所以平面OCE⊥平面ACD.

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