4、,那么( )
A.y<x<1 B.x<y<1
C.1<x<y D.1<y<x
解析:因?yàn)閥=logx在(0,+∞)上為減函數(shù),所以x>y>1.
答案:D
8.函數(shù)y=的圖象大致是( )
解析:易知函數(shù)y=是偶函數(shù),可排除B,當(dāng)x>0時(shí),y=xln x,y′=ln x+1,令y′>0,得x>e-1,所以當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(e-1,+∞)上單調(diào)遞增,結(jié)合圖象可知D正確,故選D.
答案:D
9.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞增,若實(shí)數(shù)a滿足f(2log3a)>f(-),則a的取值范圍是( )
A.(-∞,) B.(0,)
C.(,+
5、∞) D.(1,)
解析:本題主要考查函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性.
∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞增,∴f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減.根據(jù)函數(shù)的對稱性,可得f(-)=f(),∴f(2log3a)>f().∵2log3a>0,f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,∴0<2log3a
6、>a>b D.a(chǎn)>c>b
解析:函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),
當(dāng)x∈(-∞,0]時(shí),f(x)為減函數(shù),
∴f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),
∵b=f(log4)=f(-2)=f(2),
又1<20.3<2b>a.故選B.
答案:B
11.已知b>0,log5b=a,lg b=c,5d=10,則下列等式一定成立的是( )
A.d=ac B.a(chǎn)=cd
C.c=ad D.d=a+c
解析:由已知得5a=b,10c=b,∴5a=10c,∵5d=10,∴5dc=10c,則5dc=5a,∴dc=a,故選B.
答案:B
12.已知函數(shù)f(x)
7、=ln(-2x)+3,則f(lg 2)+f=( )
A.0 B.-3
C.3 D.6
解析:由函數(shù)解析式,得f(x)-3=ln(-2x),所以f(-x)-3=ln(+2x)=ln=-ln(-2x)=-[f(x)-3],所以函數(shù)f(x)-3為奇函數(shù),則f(x)+f(-x)=6,于是f(lg 2)+f=f(lg 2)+f(-lg 2)=6.故選D.
答案:D
13.已知4a=2,lg x=a,則x=________.
解析:∵4a=2,∴a=,又lg x=a,x=10a=.
答案:
14.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=log2x-1,則f=_____
8、___.
解析:因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f=-f=-=.
答案:
15.函數(shù)f(x)=log2(-x2+2)的值域?yàn)開_______.
解析:由題意知0<-x2+2≤2=2,結(jié)合對數(shù)函數(shù)圖象(圖略),知f(x)∈,故答案為.
答案:
16.若log2a<0,則a的取值范圍是________.
解析:當(dāng)2a>1時(shí),
∵log2a<0=log2a1,∴<1.
∵1+a>0,∴1+a2<1+a,
∴a2-a<0,∴0<a<1,∴<a<1.
當(dāng)0<2a<1時(shí),∵log2a<0=log2a1,
∴>1.
∵1+a>0,∴1+a2>1+a.
∴a2-a>0,∴a<
9、0或a>1,此時(shí)不合題意.
綜上所述,a∈.
答案:
B組 能力提升練
1.已知函數(shù)f(x)=,則f(1+log25)的值為( )
A. B.
C. D.
解析:∵2<log25<3,∴3<1+log25<4,則4<2+log25<5,f(1+log25)=f(1+1+log25)=f(2+log25)==×=×=,故選D.
答案:D
2.(2018·四川雙流中學(xué)模擬)已知a=log29-log2,b=1+log2,c=+log2,則( )
A.a(chǎn)>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.c>b>a
解析:a=log29-log2=log23,b=1+l
10、og2=log22,c=+log2=log2,因?yàn)楹瘮?shù)y=log2x是增函數(shù),且2>3>,所以b>a>c,故選B.
答案:B
3.設(shè)f(x)=lg是奇函數(shù),則使f(x)<0的x的取值范圍是( )
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(-∞,0)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
解析:∵f(x)=lg是奇函數(shù),
∴對定義域內(nèi)的x值,有f(0)=0,
由此可得a=-1,∴f(x)=lg,
根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性,
由f(x)<0,得0<<1,∴x∈(-1,0).
答案:A
4.已知a,b>0,且a≠1,b≠1.若logab>1,則( )
A.(a-1)(b-1)<0
11、 B.(a-1)(a-b)>0
C.(b-1)(b-a)<0 D.(b-1)(b-a)>0
解析:根據(jù)題意,logab>1?logab-logaa>0?loga>0?或,即或.當(dāng)時(shí),0<b<a<1,∴b-1<0,b-a<0;當(dāng)時(shí),b>a>1,∴b-1>0,b-a>0.
∴(b-1)(b-a)>0.故選D.
答案:D
5.已知函數(shù)f(x)是定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù),若對于任意的實(shí)數(shù)x≥0,都有f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=log2(x+1),則f(2 014)+f(-2 015)+f(2 016)的值為( )
A.-1 B.-2
C.2 D.
12、1
解析:∵當(dāng)x≥0時(shí),f(x+2)=f(x),∴f(2 014)=f(2 016)=f(0)=log21=0,∵f(x)為R上的奇函數(shù),∴f(-2 015)=-f(2 015)=-f(1)=-1.∴f(2 014)+f(-2 015)+f(2 016)=0-1+0=-1.故選A.
答案:A
6.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),則f(x)是( )
A.奇函數(shù),且在(0,1)上是增函數(shù)
B.奇函數(shù),且在(0,1)上是減函數(shù)
C.偶函數(shù),且在(0,1)上是增函數(shù)
D.偶函數(shù),且在(0,1)上是減函數(shù)
解析:由題意可得,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,1),且f(x)
13、=ln =ln,易知y=-1在(0,1)上為增函數(shù),故f(x)在(0,1)上為增函數(shù),又f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù),選A.
答案:A
7.已知f(x)是偶函數(shù),且在[0,+∞)上是減函數(shù),若f(lg x)>f(2),則x的取值范圍是( )
A. B.∪(1,+∞)
C. D.(0,1)∪(100,+∞)
解析:不等式可化為或,解得1≤x<100或<x<1.
∴<x<100.故選C.
答案:C
8.已知函數(shù)f(x)=|logx|,若m
14、∞)
C.[4,+∞) D.(4,+∞)
解析:由f(x)=|logx|,m0,從而0g(1)=4,可知選D.
答案:D
9.已知函數(shù)y=f(x)(x∈D),若存在常數(shù)c,對于?x1∈D,存在唯一x2∈D,使得=c,則稱函數(shù)f(x)在D上的均值為c.若f(x)=lg x,x∈[10,100],則函數(shù)f(x)在[10,
15、100]上的均值為( )
A.10 B.
C. D.
解析:因?yàn)閒(x)=lg x(10≤x≤100),則=等于常數(shù)c,即x1x2為定值,又f(x)=lg x(10≤x≤100)是增函數(shù),所以取x1=10時(shí),必有x2=100,從而c為定值.選D.
答案:D
10.已知函數(shù)f(x)=(ex-e-x)x,f(log5x)+f(logx)≤2f(1),則x的取值范圍是( )
A.
B.[1,5]
C.
D.∪[5,+∞)
解析:∵f(x)=(ex-e-x)x,
∴f(-x)=-x(e-x-ex)=(ex-e-x)x=f(x)(x∈R),∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù).
∵f′
16、(x)=(ex-e-x)+x(ex+e-x)>0在(0,+∞)上恒成立.
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
∵f(log5x)+f(logx)≤2f(1),
∴2f(log5x)≤2f(1),即f(log5x)≤f(1),
∴|log5x|≤1,∴≤x≤5.故選C.
答案:C
11.設(shè)方程log2x-x=0與logx-x=0的根分別為x1,x2,則( )
A.0<x1x2<1 B.x1x2=1
C.1<x1x2<2 D.x1x2≥2
解析:方程log2x-x=0與logx-x=0的根分別為x1,x2,所以log2x1=x1,logx2=x2,可得x2=,令f(x
17、)=log2x-x,則f(2)f(1)<0,所以1<x1<2,所以<x1x2<1,即0<x1x2<1.故選A.
答案:A
12.(2017·江西紅色七校模擬)已知函數(shù)f(x)=ln,若f+f+…+f=503(a+b),則a2+b2的最小值為( )
A.6 B.8
C.9 D.12
解析:∵f(x)+f(e-x)=ln+ln=ln e2=2,∴503(a+b)=f+f+…+f=
+…+f+f=×(2×2 012)=2 012,
∴a+b=4,∴a2+b2≥==8,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號.
∴a2+b2的最小值為8.
答案:B
13.若函數(shù)f(x)=(a>0,且a≠1
18、)的值域是(-∞,-1],則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析:x≤2時(shí),
f(x)=-x2+2x-2=-(x-1)2-1,
f(x)在(-∞,1)上遞增,在(1,2]上遞減,
∴f(x)在(-∞,2]上的最大值是-1,又f(x)的值域是(-∞,-1],∴當(dāng)x>2時(shí),
logax≤-1,
故0<a<1,且loga2≤-1,
∴≤a<1.
答案:
14.(2018·湘潭模擬)已知函數(shù)f(x)=ln,若f(a)+f(b)=0,且0
19、1-a)=-a2+a=-2+,又0