高中數(shù)學(xué)必修2教案4_示范教案（1_2_3空間幾何體的直觀圖）

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1、 1.2.3 空間幾何體的直觀圖 整體設(shè)計 教學(xué)分析 “空間幾何體的直觀圖”只介紹了最常用的、直觀性好的斜二測畫法.用斜二測畫法畫直觀圖，關(guān)鍵是掌握水平放置的平面圖形直觀圖的畫法，這是畫空間幾何體直觀圖的基礎(chǔ).因此，教科書安排了兩個例題，用以說明畫水平放置的平面圖形直觀圖的方法和步驟.在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生體會畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置.因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定，依次連接這些頂點(diǎn)就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫法.而在平面上確定點(diǎn)的位置，可以借助于平面直角坐標(biāo)系，確定了點(diǎn)的坐標(biāo)就可以確定點(diǎn)的位置.

2、因此，畫水平放置的平面直角坐標(biāo)系應(yīng)當(dāng)是學(xué)生首先要掌握的方法. 值得注意的是直觀圖的教學(xué)應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生正確把握圖形尺寸大小之間的關(guān)系；另外，教學(xué)中還可以借助于信息技術(shù)向?qū)W生多展示一些圖片，讓學(xué)生辨析它們是平行投影下的圖形還是中心投影下的圖形. 三維目標(biāo) 通過用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形和空間幾何體的直觀圖，提高學(xué)生識圖和畫圖的能力，培養(yǎng)探究精神和意識，以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖. 教學(xué)難點(diǎn)：直觀圖和三視圖的互化. 課時安排 1課時 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 思路1.畫幾何體時，畫得既富有立體感，又能表達(dá)

3、出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系，怎樣畫呢？教師指出課題：直觀圖. 思路2.正投影主要用于繪制三視圖，在工程制圖中被廣泛采用，但三視圖的直觀性較差，因此繪制物體的直觀圖一般采用斜投影或中心投影.中心投影雖然可以顯示空間圖形的直觀形象，但作圖方法比較復(fù)雜，又不易度量，因此在立體幾何中通常采用斜投影的方法來畫空間圖形的直觀圖.把空間圖形畫在紙上，是用一個平面圖形來表示空間圖形，這樣表達(dá)的不是空間圖形的真實(shí)形狀，而是它的直觀圖. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 ①如何用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖？ ②上述畫直觀圖的方法稱為斜二測畫法，請總結(jié)其步驟.

4、 ③探求空間幾何體的直觀圖的畫法.用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4 cm、3 cm、2 cm的長方體ABCD—A′B′C′D′的直觀圖. ④用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形和幾何體的直觀圖有什么不同？并總結(jié)畫幾何體的直觀圖的步驟. 活動：①和③教師首先示范畫法，并讓學(xué)生思考斜二測畫法的關(guān)鍵步驟,讓學(xué)生發(fā)表自己的見解，教師及時給予點(diǎn)評. ②根據(jù)上述畫法來歸納. ③讓學(xué)生比較兩種畫法的步驟. 討論結(jié)果：①畫法：1°如圖1（1），在正六邊形ABCDEF中，取AD所在直線為x軸，對稱軸MN所在直線為y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.在圖1(2)中，畫相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，使∠x

5、′O′y′=45°. 2°在圖1(2)中，以O(shè)′為中點(diǎn)，在x′軸上取A′D′=AD，在y′軸上取M′N′=MN.以點(diǎn)N′為中點(diǎn)畫B′C′平行于x′軸，并且等于BC；再以M′為中點(diǎn)畫E′F′平行于x′軸，并且等于EF. 3°連接A′B′，C′D′，D′E′，F(xiàn)′A′，并擦去輔助線x′軸和y′軸，便獲得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′F′〔圖1(3)〕. 圖1 ②步驟是：1°在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它們確定的平面表示水

6、平面. 2°已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段. 3°已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半. ③畫法：1°畫軸.如圖2，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. 圖2 2°畫底面.以點(diǎn)O為中點(diǎn)，在x軸上取線段MN，使MN=4 cm;在y軸上取線段PQ，使PQ=cm.分別過點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A、B、C、D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD. 3°畫側(cè)棱.過A、B、C、D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并

7、在這些平行線上分別截取2 cm長的線段AA′、BB′、CC′、DD′. 4°成圖.順次連接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到長方體的直觀圖. 點(diǎn)評：畫幾何體的直觀圖時，如果不作嚴(yán)格要求，圖形尺寸可以適當(dāng)選取，用斜二測畫法畫圖的角度也可以自定，但是要求圖形具有一定的立體感. ④畫幾何體的直觀圖時還要建立三條軸，實(shí)際是建立了空間直角坐標(biāo)系，而畫水平放置平面圖形的直觀圖實(shí)際上建立的是平面直角坐標(biāo)系.畫幾何體的直觀圖的步驟是： 1°在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox、Oy，再作Oz軸，使∠xOy=90°,∠yOz=

8、90°. 2°畫出與Ox、Oy、Oz對應(yīng)的軸O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45°，∠y′O′z′=90°,x′O′y′所確定的平面表示水平平面. 3°已知圖形中，平行于x軸、y軸和z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸和z′軸的線段，并使它們在所畫坐標(biāo)軸中的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同. 4°已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半. 5°擦除作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖. 斜二測畫法的作圖技巧: 1°在已知圖中

9、建立直角坐標(biāo)系，理論上在任何位置建立坐標(biāo)系都行，但實(shí)際作圖時，一般建立特殊的直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用原有直線為坐標(biāo)軸或圖形的對稱直線為坐標(biāo)軸或圖形的對稱點(diǎn)為原點(diǎn)或利用原有垂直正交的直線為坐標(biāo)軸等. 2°在原圖中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中依然與x′軸或y′軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線，畫端點(diǎn)時作坐標(biāo)軸的平行線為輔助線.原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn)，利用上述方法作出直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫出. 3°在畫一個水平放置的平面時，由于平面是無限延展的，通常我們只畫出它的一部分表示平面，一般地，用平行四邊形表示空間一個水平平面的直

10、觀圖. 應(yīng)用示例 思路1 例1 用斜二測畫法畫水平放置的圓的直觀圖. 活動：學(xué)生回顧討論斜二測畫法的步驟，自己畫出來后再互相交流.教師適當(dāng)點(diǎn)評. 解：（1）如圖3(1)，在⊙O上取互相垂直的直徑AB、CD，分別以它們所在的直線為x軸與y軸，將線段AB n等分.過各分點(diǎn)分別作y軸的平行線，交⊙O于E，F(xiàn)，G，H，…，畫對應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′=45°. 圖3 (2)如圖3(2)，以O(shè)′為中點(diǎn)，在x′軸上取A′B′=AB，在y′軸上取C′D′=CD，將A′B′ n等分，分別以這些分點(diǎn)為中點(diǎn)，畫與y′軸平行的線段E′F′，G′H′，…，使E′F′=,G′H′=，….

11、 （3）用光滑曲線順次連接A′，D′，F(xiàn)′，H′，…，B′，G′，E′，C′，A′并擦去輔助線，得到圓的水平放置的直觀圖〔圖3(3)〕. 點(diǎn)評：本題主要考查用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖. 變式訓(xùn)練 1.畫水平放置的等邊三角形的直觀圖. 答案：略. 2.關(guān)于“斜二測畫法”，下列說法不正確的是（ ） A.原圖形中平行于x軸的線段，其對應(yīng)線段平行于x′軸，長度不變 B.原圖形中平行于y軸的線段，其對應(yīng)線段平行于y′軸，長度變?yōu)樵瓉淼? C.在畫與直角坐標(biāo)系xOy對應(yīng)的x′O′y′時，∠x′O′y′必須是45° D.在畫直觀圖時，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同

12、 分析：在畫與直角坐標(biāo)系xOy對應(yīng)的x′O′y′時，∠x′O′y′也可以是135°，所以C不正確. 答案：C 例2 如圖4，已知幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖. 圖4 活動：讓學(xué)生由三視圖還原為實(shí)物圖，并判斷該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.教師分析： 由幾何體的三視圖知道，這個幾何體是一個簡單組合體，它的下部是一個圓柱，上部是一個圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合.我們可以先畫出下部的圓柱，再畫出上部的圓錐. 解：畫法： （1）畫軸.如圖5（1），畫x軸、y軸、z軸，使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (1)

13、 (2) 圖5 （2）畫圓柱的兩底面，仿照例2畫法，畫出底面⊙O.在z軸上截取O′，使OO′等于三視圖中相應(yīng)高度，過O′作Ox的平行線O′x′,Oy的平行線O′y′,利用O′x′與O′y′畫出底面⊙O′（與畫⊙O一樣）. （3）畫圓錐的頂點(diǎn).在Oz上截取點(diǎn)P，使PO′等于三視圖中相應(yīng)的高度. （4）成圖.連接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖〔圖5(2)〕. 點(diǎn)評： 空間幾何體的三視圖與直觀圖有著密切的聯(lián)系，我們能夠由空間幾何體的三視圖得到它的直觀圖.同時，也能夠由空間幾何體的直觀圖得到它的三視圖. 變式訓(xùn)練

14、 圖6所示是一個獎杯的三視圖，你能想象出它的幾何結(jié)構(gòu)，并畫出它的直觀圖嗎？ 圖6 答案：獎杯的幾何結(jié)構(gòu)是最上面是一個球，中間是一個四棱柱，最下面是一個棱臺拼接成的簡單組合體.其直觀圖略. 思路2 例1 如圖7所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4 cm，CD=2 cm，∠DAB=30°，AD=3 cm，試畫出它的直觀圖. 圖7 活動：利用斜二測畫法作該梯形的直觀圖，要注意在斜二測畫法中，要有一些平行于原坐標(biāo)軸的線段才好按部就班地作圖，所以先在原坐標(biāo)系中過Ｄ作出該點(diǎn)在x軸的垂足，則對應(yīng)地可以作出線段ＤＥ的直觀圖，進(jìn)而作出整個梯形的直觀圖. 解：步驟是：（1）如

15、圖8所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖9所示，畫出對應(yīng)的x′軸，y′軸，使∠x′A′y′=45°. （2）如圖8所示，過D點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E.在x′軸上取A′B′=AB=4 cm，A′E′=AE=cm ≈2.598 cm；過E′作E′D′∥y′軸，使E′D′=，再過點(diǎn)D′作D′C′∥x′軸，且使D′C′=CD=2 cm. 圖8 圖9 圖10 （3）連接A′D′、B′C′、C′D′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖1

16、0所示，則四邊形A′B′C′D′就是所求作的直觀圖. 點(diǎn)評：本題考查利用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖.在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，便于畫點(diǎn)；原圖中的共線點(diǎn)，在直觀圖中仍是共線點(diǎn)；原圖中的共點(diǎn)線，在直觀圖中仍是共點(diǎn)線；原圖中的平行線，在直觀圖中仍是平行線.本題中，關(guān)鍵在于點(diǎn)D′位置的確定，這里我們采用作垂線的方法，先找到垂足E′，再去確定D′的位置. 變式訓(xùn)練 1.如圖11所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，該梯形繞邊AD所在直線EF旋轉(zhuǎn)一周得一幾何體，畫出該幾何體的直觀圖和三視圖. 圖1

17、1 答案：該幾何體是由一個圓錐和一個圓柱拼接而成的簡單組合體，其直觀圖如圖12所示，三視圖如圖13所示. 圖12 圖13 2.已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4，則此正方形的面積是（ ） A.16 B.64 C.16或64 D.都不對 分析：根據(jù)直觀圖的畫法，平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段變?yōu)樵瓉淼囊话?，于是長為4的邊如果平行于x軸，則正方形邊長為4，

18、面積為16，邊長為4的邊如果平行于y軸，則正方形邊長為8，面積是64. 答案：C 知能訓(xùn)練 1.利用斜二測畫法畫直觀圖時： ①三角形的直觀圖是三角形； ②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形； ③正方形的直觀圖是正方形； ④菱形的直觀圖是菱形. 以上結(jié)論中，正確的是___________. 分析：斜二測畫法保持平行性和相交性不變，即平行直線的直觀圖還是平行直線，相交直線的直觀圖還是相交直線，故①②正確；但是斜二測畫法中平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半，則正方形的直觀圖不是正方形，菱形的直觀圖不是菱形，所以③④錯. 答案：①② 2.一個三角形用斜二測畫法畫出來的直觀圖

19、是邊長為2的正三角形，則原三角形的面積是（ ） A. B. C. D.都不對 分析：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，正三角形的邊長是原三角形的底邊長，原三角形的高是正三角形高的倍，而正三角形的高是，所以原三角形的高為，于是其面積為×2×=. 答案：A 3.一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（ ） A. B. C. D. 分析：平面圖形是上底長為1，下底長為，高為2

20、的直角梯形.計算得面積為. 答案：D 4.斜二測畫法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)M(4,4)在直觀圖中對應(yīng)點(diǎn)是M′,則點(diǎn)M′的找法是___________. 分析：在x′軸的正方向上取點(diǎn)M1，使O′M1=4，在y′軸上取點(diǎn)M2，使O′M2=2，過M1和M2分別作平行于y′軸和x′軸的直線的交點(diǎn)就是M′. 答案：在x′O′y′中，過點(diǎn)（4，0）和y′軸平行的直線與過（0，2）和x′軸平行的直線的交點(diǎn)即是. 5.根據(jù)圖14所示物體的三視圖（陰影部分為空洞）描繪出物體的大致形狀. 圖14 分析：根據(jù)該物體的三視圖可以判斷該物體的外輪廓是一個正方體，從正面和左面看是一個正方形中間有一

21、個圓形的孔.從而知這兩個面應(yīng)該都有一個圓柱形的孔. 解：由此可以推測該物體大致形狀如圖15所示. 圖15 拓展提升 問題：如圖16所示,已知幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖. 圖16 探究：由這個三視圖可以看出，該幾何體是由一個長方體和一個以直四棱柱的上底面為底面的四棱錐拼接而成. 圖17 解：步驟是： （1）作出長方體的直觀圖ABCD—A1B1C1D1，如圖17(1)所示. （2）再以上底面A1B1C1D1的對角線交點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖17(2)所示，在z′上取點(diǎn)V′，使得V′O′的長度為棱錐的高，連接V′A1、V′B1、V′C1、V′D

22、1得到四棱錐的直觀圖，如圖17（2）. （3）擦去輔助線和坐標(biāo)軸，遮住部分用虛線表示，得到幾何體的直觀圖，如圖17(3). 課堂小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了： 1.直觀圖的概念. 2.直觀圖的畫法. 3.直觀圖和三視圖的關(guān)系. 4.規(guī)律總結(jié)： （1）三視圖的排列規(guī)則是：先畫正視圖，俯視圖安排在正視圖的正下方，長度與正視圖一樣，側(cè)視圖安排在正視圖的正右方，高度與正視圖一樣.正視圖反映物體的主要形狀特征，是三視圖中最重要的視圖，俯視圖與側(cè)視圖共同反映物體的寬度要相等.正視圖又稱為主視圖，側(cè)視圖又稱為左視圖. (2)畫三視圖時，要遵循“長對正，高平齊，寬相等”的原則.若相鄰兩個幾何體的表面相

23、交，表面的交線是它們原分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，不可見的輪廓線用虛線畫出. (3)用斜二測畫法畫直觀圖，關(guān)鍵是掌握水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法，而畫水平放置的平面圖形的關(guān)鍵是確定多邊形的頂點(diǎn).因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定，依次連接這些頂點(diǎn)就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法就可歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫法. (4)如果同一個空間圖形擺放的位置不同，那么畫出的三視圖會有所不同，畫出的直觀圖也是會有所不同. 作業(yè) 習(xí)題1.2 A組 第5、6題. 設(shè)計感想 由于直觀圖的畫法可以靈活多變，尺寸不作嚴(yán)格要求.因此本節(jié)教學(xué)設(shè)計中沒有設(shè)計過多地嚴(yán)格按步驟畫直觀圖的題目，這要引起我們的注意.特別是高考中很少見直接考查畫直觀圖的題目，并且高考試題關(guān)于立體幾何的解答題其直觀圖通常直接給出，因此本節(jié)主要是通過畫直觀圖培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，以及畫圖和識圖的能力.