高中數(shù)學(xué) 第2章§3 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例課件 北師大版必修5

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1、3解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)解決一些運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題2通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，會(huì)利用數(shù)學(xué)建模通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，會(huì)利用數(shù)學(xué)建模思想把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，增強(qiáng)解決實(shí)思想把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，增強(qiáng)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)際問(wèn)題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練知能優(yōu)化訓(xùn)練知能優(yōu)化訓(xùn)練3解解三三角角形形的的實(shí)實(shí)際際應(yīng)應(yīng)用用舉舉例例課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案溫故夯基溫故夯基2Rb2c22bccosAa2c

2、22accosBa2b22abcosC3解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟分析、建模、求解、檢驗(yàn)分析、建模、求解、檢驗(yàn)即：即：知新益能知新益能上方上方下方下方1.仰角和俯角仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角目標(biāo)視線目標(biāo)視線的夾角目標(biāo)視線在水平視線在水平視線_時(shí)叫仰角，時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線目標(biāo)視線在水平視線_時(shí)叫俯角，如圖所示時(shí)叫俯角，如圖所示2方位角方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如如B點(diǎn)的方位角為點(diǎn)的方位角為(如圖如圖1所示所示)3方位角的其他表示方位角

3、的其他表示方向角方向角(1)正南方向：指從原點(diǎn)正南方向：指從原點(diǎn)O出發(fā)的經(jīng)過(guò)目標(biāo)的射出發(fā)的經(jīng)過(guò)目標(biāo)的射線與正南的方向線重合，即目標(biāo)在正南的方向線與正南的方向線重合，即目標(biāo)在正南的方向線上依此可類(lèi)推正北方向、正東方向和正西線上依此可類(lèi)推正北方向、正東方向和正西方向方向(2)東南方向：指經(jīng)過(guò)目標(biāo)的射線是正東和正東南方向：指經(jīng)過(guò)目標(biāo)的射線是正東和正南的夾角平分線南的夾角平分線(如圖如圖2所示所示)問(wèn)題探究問(wèn)題探究怎樣將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題？怎樣將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題？提示：提示：將距離問(wèn)題抽象成三角形中的邊長(zhǎng)問(wèn)題將距離問(wèn)題抽象成三角形中的邊長(zhǎng)問(wèn)題,將方向等含有角度的問(wèn)題抽象成三角形中的角

4、將方向等含有角度的問(wèn)題抽象成三角形中的角的問(wèn)題例如，測(cè)量某條河寬時(shí)，把河寬看成的問(wèn)題例如，測(cè)量某條河寬時(shí)，把河寬看成一條線段，通過(guò)構(gòu)造三角形，把這條線段看成一條線段，通過(guò)構(gòu)造三角形，把這條線段看成某三角形的一邊，通過(guò)解三角形來(lái)解決；再比某三角形的一邊，通過(guò)解三角形來(lái)解決；再比如，測(cè)量山或建筑物等的高度，把它們的高度如，測(cè)量山或建筑物等的高度，把它們的高度看成一條線段長(zhǎng)，通過(guò)構(gòu)造直角三角形，把這看成一條線段長(zhǎng)，通過(guò)構(gòu)造直角三角形，把這條線段看成直角三角形的直角邊或斜邊，通過(guò)條線段看成直角三角形的直角邊或斜邊，通過(guò)解直角三角形來(lái)解決解直角三角形來(lái)解決要注意：要注意：(1)如果所解的三角形中，已知三

5、邊如果所解的三角形中，已知三邊或已知兩邊及一角或兩角及一邊時(shí)，直接利或已知兩邊及一角或兩角及一邊時(shí)，直接利用正弦定理或余弦定理求解，如果條件不滿(mǎn)用正弦定理或余弦定理求解，如果條件不滿(mǎn)足，那么將缺少的元素即邊或角放到其他三足，那么將缺少的元素即邊或角放到其他三角形中，再通過(guò)解三角形得到角形中，再通過(guò)解三角形得到(2)解三角形解三角形應(yīng)用題時(shí)，由于具體問(wèn)題中給出的數(shù)據(jù)通常應(yīng)用題時(shí)，由于具體問(wèn)題中給出的數(shù)據(jù)通常為有效近似值，故運(yùn)算過(guò)程一般較為復(fù)雜，為有效近似值，故運(yùn)算過(guò)程一般較為復(fù)雜，可以借助于計(jì)算器計(jì)算，當(dāng)然還應(yīng)達(dá)到算法可以借助于計(jì)算器計(jì)算，當(dāng)然還應(yīng)達(dá)到算法簡(jiǎn)練、算式工整、計(jì)算準(zhǔn)確等要求簡(jiǎn)練、算式

6、工整、計(jì)算準(zhǔn)確等要求 (3)如果如果將正弦定理、余弦定理看成是幾個(gè)將正弦定理、余弦定理看成是幾個(gè)“方程方程”，那么解三角形應(yīng)用題的實(shí)質(zhì)就是把未知量按方那么解三角形應(yīng)用題的實(shí)質(zhì)就是把未知量按方程的思想進(jìn)行處理，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)已知量與未程的思想進(jìn)行處理，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)已知量與未知量，合理選擇一個(gè)比較容易解的方程，從而知量，合理選擇一個(gè)比較容易解的方程，從而使解題過(guò)程簡(jiǎn)潔使解題過(guò)程簡(jiǎn)潔(4)準(zhǔn)確理解題意，分清已知準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)，這是解決問(wèn)題的前提和基礎(chǔ)語(yǔ)，這是解決問(wèn)題的前提和基礎(chǔ)課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練測(cè)量距離問(wèn)題

7、測(cè)量距離問(wèn)題考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破測(cè)量不可到達(dá)的兩點(diǎn)的距離時(shí)，若其中一點(diǎn)可測(cè)量不可到達(dá)的兩點(diǎn)的距離時(shí)，若其中一點(diǎn)可以到達(dá)，利用一個(gè)三角形即可解決，一般用正以到達(dá)，利用一個(gè)三角形即可解決，一般用正弦定理；若兩點(diǎn)均不可到達(dá)，則需要用兩個(gè)三弦定理；若兩點(diǎn)均不可到達(dá)，則需要用兩個(gè)三角形才能解決，一般正、余弦定理都要用到角形才能解決，一般正、余弦定理都要用到 (2009年高考遼寧卷年高考遼寧卷)如如圖所示，圖所示，A、B、C、D都在同都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的為兩島上的兩座燈塔的塔頂測(cè)量船于水面塔頂測(cè)量船于水面A處測(cè)處測(cè)得得B點(diǎn)和點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為點(diǎn)

8、的仰角分別為75，30，于水，于水面面C處測(cè)得處測(cè)得B點(diǎn)和點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為點(diǎn)的仰角均為60， AC0.1 km.試探究圖中試探究圖中B、D間距離與另外間距離與另外哪兩點(diǎn)哪兩點(diǎn)【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖中的已知條件求出一根據(jù)圖中的已知條件求出一些點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，結(jié)合圖形和計(jì)算出的些點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，結(jié)合圖形和計(jì)算出的距離作出判斷，然后把距離作出判斷，然后把B、D間距離的計(jì)算轉(zhuǎn)間距離的計(jì)算轉(zhuǎn)化為找到的與化為找到的與B、D間距離相等的另外兩點(diǎn)之間距離相等的另外兩點(diǎn)之間的距離間的距離【名師點(diǎn)評(píng)】【名師點(diǎn)評(píng)】 要計(jì)算距離就必須把這個(gè)距要計(jì)算距離就必須把這個(gè)距離歸結(jié)到一個(gè)三角形中，通過(guò)正弦定理或余

9、弦離歸結(jié)到一個(gè)三角形中，通過(guò)正弦定理或余弦定理進(jìn)行計(jì)算，但無(wú)論是正弦定理還是余弦定定理進(jìn)行計(jì)算，但無(wú)論是正弦定理還是余弦定理都得至少知道三角形的一個(gè)邊長(zhǎng)，即在解決理都得至少知道三角形的一個(gè)邊長(zhǎng)，即在解決問(wèn)題時(shí)，必須把我們已知道長(zhǎng)度的那個(gè)邊和需問(wèn)題時(shí)，必須把我們已知道長(zhǎng)度的那個(gè)邊和需要計(jì)算的那個(gè)邊納入到同一個(gè)三角形中，或是要計(jì)算的那個(gè)邊納入到同一個(gè)三角形中，或是通過(guò)間接的途徑納入到同一個(gè)三角形中，這是通過(guò)間接的途徑納入到同一個(gè)三角形中，這是我們分析這類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)我們分析這類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)答：救援船到達(dá)答：救援船到達(dá)D點(diǎn)需要點(diǎn)需要1小時(shí)小時(shí)測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題，由測(cè)量

10、底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題，由于底部不可到達(dá)，這類(lèi)問(wèn)題不能直接用解直于底部不可到達(dá)，這類(lèi)問(wèn)題不能直接用解直角三角形的方法解決，常用正弦定理和余弦角三角形的方法解決，常用正弦定理和余弦定理，計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到定理，計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題形的問(wèn)題測(cè)量高度問(wèn)題測(cè)量高度問(wèn)題 甲、乙兩樓相距甲、乙兩樓相距200 m，從乙樓底望甲，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫闃琼數(shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母?，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫榻菫?0，則甲、乙兩樓的高分別是多少？，則甲、乙兩樓的高分別是多少？【思路點(diǎn)撥

11、】【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，然先根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，然后利用解三角形知識(shí)求解后利用解三角形知識(shí)求解【名師點(diǎn)評(píng)】【名師點(diǎn)評(píng)】解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注意：解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注意：(1)在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)視線與水平線仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)視線與水平線的夾角的夾角(2)準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，畫(huà)出示意準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，畫(huà)出示意圖圖(3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解問(wèn)題的答案，注意方程思想的運(yùn)用逐步求解問(wèn)題的答案，注意方程思想的運(yùn)用測(cè)量角度問(wèn)

12、題測(cè)量角度問(wèn)題要測(cè)量角的大小，可利用測(cè)角儀或測(cè)距離的要測(cè)量角的大小，可利用測(cè)角儀或測(cè)距離的鋼卷尺等工具，但對(duì)于不能直接測(cè)得的角的鋼卷尺等工具，但對(duì)于不能直接測(cè)得的角的大小問(wèn)題還要結(jié)合正弦定理、余弦定理解三大小問(wèn)題還要結(jié)合正弦定理、余弦定理解三角形在解決角度測(cè)量問(wèn)題的有關(guān)題目時(shí)，角形在解決角度測(cè)量問(wèn)題的有關(guān)題目時(shí)，要搞清方位角、俯角與仰角等的含義，合理要搞清方位角、俯角與仰角等的含義，合理構(gòu)造三角形求解，即把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化構(gòu)造三角形求解，即把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化 (2010年高考福建卷年高考福建卷)某港口某港口O要將一件要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船

13、上,在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西北偏西30且且與該港口相距與該港口相距20海里的海里的A處，并正以處，并正以30海里海里/小小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以小艇沿直線方向以v海里海里/小時(shí)的航行速度勻速小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇小時(shí)與輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案小時(shí)，試設(shè)

14、計(jì)航行方案(即確定航行方向和航即確定航行方向和航行速度的大小行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由船相遇，并說(shuō)明理由【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】正確畫(huà)出示意圖，將距離用速正確畫(huà)出示意圖，將距離用速度和時(shí)間表示出來(lái)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角度和時(shí)間表示出來(lái)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題，利用正弦定理求解形問(wèn)題，利用正弦定理求解【名師點(diǎn)評(píng)】【名師點(diǎn)評(píng)】首先應(yīng)明確方位角的含義，首先應(yīng)明確方位角的含義，在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫(huà)出示意圖，這是最關(guān)鍵、再根據(jù)題意正確畫(huà)出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要

15、的一步，通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)最重要的一步，通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題，解題中也要化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)使用的優(yōu)點(diǎn).方法感悟方法感悟1解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是：解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是：準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求；準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求；依題意畫(huà)出示意圖；依題意畫(huà)出示意圖；分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形；分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形；運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解問(wèn)題的答案；逐步求解問(wèn)題的答案；注意方程思想的運(yùn)用；注意方程思想的運(yùn)用；

16、要把立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí)綜合運(yùn)用要把立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí)綜合運(yùn)用.2在選擇關(guān)系式時(shí)，一是要力求簡(jiǎn)便；二是在選擇關(guān)系式時(shí)，一是要力求簡(jiǎn)便；二是盡可能使用題中原有的已知數(shù)據(jù)，盡量減少計(jì)盡可能使用題中原有的已知數(shù)據(jù)，盡量減少計(jì)算中誤差的積累，實(shí)際應(yīng)用題的結(jié)果若是近似算中誤差的積累，實(shí)際應(yīng)用題的結(jié)果若是近似值要按照題目的具體要求或常規(guī)要求計(jì)算與保值要按照題目的具體要求或常規(guī)要求計(jì)算與保留，并注明單位留，并注明單位3注意專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)的含義，如：仰角、俯角、注意專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)的含義，如：仰角、俯角、方位角、傾斜角、鉛垂平面等方位角、傾斜角、鉛垂平面等4解應(yīng)用題關(guān)鍵是將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)解應(yīng)用題關(guān)鍵是將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，常借助畫(huà)圖法抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，并注意解言，常借助畫(huà)圖法抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，并注意解模后的驗(yàn)證模后的驗(yàn)證