精編高中數(shù)學(xué)北師大版必修三教學(xué)案：第三章167;2第2課時(shí) 建立概率模型 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 第2課時(shí)　建立概率模型 [核心必知] 建立不同的古典概型 在建立概率模型時(shí)，把什么看作是一個(gè)基本事件(即一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果)是人為規(guī)定的．我們只要求：每次試驗(yàn)有一個(gè)并且只有一個(gè)基本事件出現(xiàn)． 只要基本事件的個(gè)數(shù)是有限的，并且它們的發(fā)生是等可能的，就是一個(gè)古典概型． [問(wèn)題思考] 甲、乙、丙三人站隊(duì)，求甲站在最左邊的概率． 1．若只考慮甲的站法，基本事件的總數(shù)是多少？甲站在最左邊的概率是多少？ 提示：3種；P＝. 2．若只考慮最左邊位置的站法，基本事件總數(shù)是多少？甲站在最左邊的概率是多少？ 提示：3種；P＝. 3．若考慮所有人的站法，基本事件的總數(shù)是多

2、少？甲站在最左邊的概率是多少？ 提示：6種；P＝. 講一講 1.從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率． [嘗試解答]　每次取出一個(gè)，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個(gè)，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)．其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品．總的事件個(gè)數(shù)為6，而且可以認(rèn)為這些基本事件是等可能的． 用A表示“取出的兩件中恰有一件次品”，這一事件，所以A

3、＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}． 因?yàn)槭录嗀由4個(gè)基本事件組成，所以P(A)＝＝. “有放回”與“不放回”問(wèn)題的區(qū)別在于：對(duì)于某一試驗(yàn)，若采用“有放回”抽樣，則同一個(gè)個(gè)體可能被重復(fù)抽取，而采用“不放回”抽樣，則同一個(gè)個(gè)體不可能被重復(fù)抽取． 練一練 1．一個(gè)盒子里裝有完全相同的十個(gè)小球，分別標(biāo)上1,2,3，…，10這10個(gè)數(shù)字，今隨機(jī)地抽取兩個(gè)小球，如果： (1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的． 求兩個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率． 解：設(shè)事件A：兩個(gè)小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)． 則事件A包括的基本事件有：(1,2)，(2,3)，(3,

4、4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18個(gè)． (1)不放回取球時(shí)，總的基本事件數(shù)為90， 故P(A)＝＝. (2)有放回取球時(shí)，總的基本事件數(shù)為100， 故P(A)＝＝. 講一講 2.某乒乓球隊(duì)有男乒乓球運(yùn)動(dòng)員4名、女乒乓球運(yùn)動(dòng)員3名，現(xiàn)要選一男一女兩名運(yùn)動(dòng)員組成混合雙打組合參加某項(xiàng)比賽，試列出全部可能的結(jié)果；若某女乒乓球運(yùn)動(dòng)員為國(guó)家一級(jí)運(yùn)動(dòng)員，則她參賽的概率是多少？ [嘗試解答]　由于男運(yùn)動(dòng)員從4人中任意選取，女運(yùn)

5、動(dòng)員從3人中任意選取，為了得到試驗(yàn)的全部結(jié)果，我們?cè)O(shè)男運(yùn)動(dòng)員為A，B，C，D，女運(yùn)動(dòng)員為1,2,3，我們可以用一個(gè)“有序數(shù)對(duì)”來(lái)表示隨機(jī)選取的結(jié)果．如(A,1)表示：第一次隨機(jī)選取從男運(yùn)動(dòng)員中選取的是男運(yùn)動(dòng)員A，從女運(yùn)動(dòng)員中選取的是女運(yùn)動(dòng)員1，可用列表法列出所有可能的結(jié)果．如下表所示，設(shè)“國(guó)家一級(jí)運(yùn)動(dòng)員參賽”為事件E. 　　　　女　 結(jié)果　　　　　 男　　　　　　 1 2 3 A (A,1) (A,2) (A,3) B (B,1) (B,2) (B,3) C (C,1) (C,2) (C,3) D (D,1) (D,2) (D,3) 由上表可知

6、，可能的結(jié)果總數(shù)是12個(gè)．設(shè)女運(yùn)動(dòng)員1為國(guó)家一級(jí)運(yùn)動(dòng)員，她參賽的可能事件有4個(gè)，故她參賽的概率為P(E)＝＝. 本講列出全部可能的結(jié)果用的是列表法．列表法的優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確、全面、不易漏掉，對(duì)于試驗(yàn)的結(jié)果不是太多的情況，都可以采用此法，當(dāng)然也可以用列舉法． 練一練 2． 在一次數(shù)學(xué)研究性實(shí)踐活動(dòng)中，興趣小組做了兩個(gè)均勻的正方體玩具，組長(zhǎng)同時(shí)拋擲2個(gè)均勻的正方體玩具(各個(gè)面上分別標(biāo)上數(shù)字1、2、3、4、5、6)后，讓小組成員求： (1)兩個(gè)正方體朝上一面數(shù)字相同的概率是多少？ (2)兩個(gè)正方體朝上一面數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是多少？ 解：兩個(gè)玩具正面向上的情況如下表： 1

7、2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) (1)事件“兩個(gè)正方體朝上一面

8、數(shù)字相同的情況”只有6種，故它的概率是＝. (2)事件“兩個(gè)正方體朝上一面數(shù)字之積為偶數(shù)的情況”有27種，如表中有下劃線的情況，即兩個(gè)正方體朝上一面數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為＝. 講一講 3.口袋里裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黑球，這四個(gè)球除顏色外完全相同，甲、乙、丙、丁四個(gè)人按順序依次從中摸出一球，試求乙摸到白球，且丙摸到黑球的概率． [嘗試解答]　把兩白球編上序號(hào)1、2，把兩黑球也編上序號(hào)1、2，于是甲、乙、丙、丁四個(gè)人按順序依次從袋內(nèi)摸出一個(gè)球的所有可能結(jié)果，可用樹(shù)形圖直觀地表示出來(lái)如下： 從上面的樹(shù)狀圖可以看出，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為24，乙摸到白球，且丙摸到黑球的結(jié)果有8

9、種，則P＝＝. 當(dāng)基本事件較多、較為復(fù)雜時(shí)采用樹(shù)狀圖，可以很直觀的對(duì)事件進(jìn)行分類(lèi)、枚舉，準(zhǔn)確地找出所有的基本事件． 練一練 3．甲、乙兩同學(xué)下棋，勝一盤(pán)得2分，和一盤(pán)各得1分，負(fù)一盤(pán)得0分．連下三盤(pán)，得分多者為勝，求甲獲勝的概率． 解：甲同學(xué)的勝負(fù)情況畫(huà)樹(shù)狀圖如下： 每盤(pán)棋都有勝、和、負(fù)三種情況，三盤(pán)棋共有3×3×3＝27種情況．設(shè)“甲獲勝”為事件A，甲獲勝的情況有：三盤(pán)都勝，得6分有1種情況，兩勝一和得5分有3種情況，兩勝一負(fù)得4分有3種情況，一勝兩和得4分有3種情況，共10種情況．故甲獲勝的概率為P(A)＝. 【解題高手】【易錯(cuò)題】 任意拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，計(jì)算：

10、 (1)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相同的概率； (2)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率； [錯(cuò)解]　(1)點(diǎn)數(shù)相同，是指同為1點(diǎn)，2點(diǎn)，…，6點(diǎn)，其中之一的概率是. (2)點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)，可取3,5,7,9,11，共5種；點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，可取2,4,6,8,10,12，共6種． 于是出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率為＝. [錯(cuò)因]　(1)原事件是要求在拋擲的所有結(jié)果中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)同為1,2,3,4,5,6的概率，而不是點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，其中之一的概率； (2)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)和偶數(shù)的11種情況不是等可能事件，如點(diǎn)數(shù)之和為2只出現(xiàn)一次，為(1,1)；點(diǎn)數(shù)之和為3出現(xiàn)2次，為(2,1)，(1,2)． [正解]　(1)任意拋擲兩枚

11、骰子，由于骰子質(zhì)地均勻，故可以看成等可能事件，其結(jié)果可表示為數(shù)組(i，j)(i，j＝1,2，…，6)，其中兩個(gè)數(shù)i，j分別表示兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，共有36種結(jié)果．其中點(diǎn)數(shù)相同的數(shù)組為(i，j)(i＝j(luò)，i，j＝1,2，…，6)，共有6個(gè)結(jié)果，故出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相同的概率為＝. (2)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，從而由數(shù)組(奇，偶)和(偶，奇)組成(如1,2)，(2,1)．又由于每枚骰子上有3個(gè)偶數(shù)，3個(gè)奇數(shù)，3×3＋3×3＝18，從而所求概率為＝. 1．若書(shū)架上放的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)書(shū)分別是5本、3本、2本，則隨機(jī)抽出一本是物理書(shū)的概率為(　　) A.　　B. C. D. 解析：選

12、B 任意抽取一本得到任何一本書(shū)的可能性是相同的，故為古典概型，其中總基本事件數(shù)n＝10，事件A“抽得物理書(shū)”包含的基本事件數(shù)m＝3，所以依據(jù)古典概型概率的計(jì)算公式得P(A)＝＝. 2．甲、乙兩人各寫(xiě)一張賀年卡隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選 A 該試驗(yàn)共4個(gè)基本事件，所求事件包含2個(gè)基本事件，其概率為. 3．一枚硬幣連擲3次，有且僅有2次出現(xiàn)正面向上的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選 A 所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(

13、正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8個(gè)，僅有2次出現(xiàn)正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3個(gè)．則所求概率為. 4．(江蘇高考)現(xiàn)有某類(lèi)病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為_(kāi)_______． 解析：基本事件總數(shù)為N＝7×9＝63，其中m，n都為奇數(shù)的事件個(gè)數(shù)為M＝4×5＝20，所以所求概率P＝＝. 答案： 5．(福建高考)盒中裝有形狀、大小完全相同的5個(gè)球，其中紅色球3個(gè)，黃色球2個(gè)．若從中隨機(jī)取出2個(gè)球，則所取出的2個(gè)球顏色不同的概率等于________．

14、 解析：紅色球分別用A、B、C表示，黃色球分別用D、E表示，取出兩球的所有可能結(jié)果為：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10種．從中取兩球顏色不同的結(jié)果有：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)共6種，取出兩球顏色不同的概率P＝＝. 答案： 6．一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4. (1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率； (2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編

15、號(hào)為n，求n≥m＋2的概率． 解：(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6個(gè)，從袋中取出的球的編號(hào)之和不大于4的事件共有1和2,1和3兩個(gè)．因此所求事件的概率P＝＝. (2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè)．又滿足條件n≥m＋2的事件為(1,3)，

16、(1,4)，(2,4)，共3個(gè)，所以滿足條件n≥m＋2的事件的概率為P1＝. 一、選擇題 1．從100臺(tái)電腦中任取5臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，每臺(tái)電腦被抽到的概率是(　　) A.　　　B. C. D. 解析：選D 把抽到每一臺(tái)電腦看成一個(gè)基本事件，試驗(yàn)的所有基本事件數(shù)是100，任取5臺(tái)這一事件含5個(gè)基本事件，所求概率為＝. 2．從分別寫(xiě)有A，B，C，D，E的5張卡片中任取2張，這2張卡片上的字母恰好按字母順序相鄰的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選B 從5張卡片中任取2張有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、

17、CE、DE共10種結(jié)果，而恰好按字母順序相鄰的有AB、BC、CD、DE 4種結(jié)果，故此事件的概率為＝. 3．從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于(　　) A.　　 B. C.　　 D. 解析：選D 假設(shè)正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B、C、D、E、F，則從6個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)共有15種結(jié)果，以所取4個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形有3種結(jié)果，故所求概率為. 4．在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是(　　) A.

18、 B. C. D. 解析：選A 隨機(jī)取出2個(gè)小球有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10種情況，和為3只有1種情況(1,2)，和為6有(1,5)，(2,4)兩種情況． ∴P＝. 5．從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則b>a的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選D 設(shè)Ω＝{(a，b)|a∈{1,2,3,4,5}，b∈{1,2,3}}，包含的基本事件總數(shù)n＝15，事件“b>a”為{(1,2)，(1

19、,3)，(2,3)}，包含的基本事件數(shù)m＝3.其概率P＝＝. 二、填空題 6．現(xiàn)有5根竹竿，它們的長(zhǎng)度(單位：m)分別為2.5，2.6，2.7，2.8,2.9，若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3 m的概率為_(kāi)_______． 解析：從5根竹竿中任取2根有：(2.5,2.6)、(2.5，2.7)、(2.5,2.8)、(2.5,2.9)、(2.6,2.7)、(2.6,2.8)、(2.6,2.9)、(2.7,2.8)、(2.7,2.9)、(2.8,2.9)共10種取法，其中長(zhǎng)度恰好相差0.3 m的情況有：(2.5，2.8)、(2.6,2.9)，共2種．故所求概率為P＝＝.

20、 答案： 7．第1,2,5,7路公共汽車(chē)都在一個(gè)車(chē)站停靠，有一位乘客等候著1路或5路公共汽車(chē)，假定各路公共汽車(chē)首先到站的可能性相等，那么首先到站的正好為這位乘客所要乘的車(chē)的概率是________． 解析：∵4種公共汽車(chē)先到站共有4個(gè)結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，所以“首先到站的車(chē)正好是所乘車(chē)”的結(jié)果有2個(gè)，∴P＝＝. 答案： 8．將一個(gè)各個(gè)面上均涂有顏色的正方體鋸成27個(gè)同樣大小的小正方體，從這些小正方體中任取1個(gè)，其中恰有三個(gè)面涂有顏色的概率是________． 解析：如圖每層分成9個(gè)小正方體，共分成了三層，其中8個(gè)頂點(diǎn)處的小正方體三個(gè)面涂有顏色，概率為. 答案： 三、

21、解答題 9．假設(shè)有5個(gè)條件很類(lèi)似的女孩，把她們分別記為A、C、J、K、S，她們應(yīng)聘秘書(shū)工作，但只有3個(gè)秘書(shū)職位，因此5人中僅有3人被錄用，如果5個(gè)人被錄用的機(jī)會(huì)相等，分別計(jì)算下列事件的概率： (1)女孩K得到一個(gè)職位； (2)女孩K和S各得到一個(gè)職位； (3)女孩K或S得到一個(gè)職位． 解：5個(gè)人僅有3人被錄用，結(jié)果共有10種，如圖所示，由于5個(gè)人被錄用的機(jī)會(huì)相等，所以這10種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同． (1)女孩K被錄用的結(jié)果有6種，所以她得到一個(gè)職位的概率為. (2)女孩K和S各得到一個(gè)職位的結(jié)果有3種，所以K和S各自得到一個(gè)職位的概率為. (3)女孩K或S得到一個(gè)職位的結(jié)

22、果有9種，所以K或S得到一個(gè)職位的概率為. 10．編號(hào)分別為A1，A2，…，A16的16名籃球運(yùn)動(dòng)員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下： 運(yùn)動(dòng)員編號(hào) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 運(yùn)動(dòng)員編號(hào) A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 得分 17 26 25 33 22 12 31 38 (1)將得分在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格： 區(qū)間 [10,20) [20,30) [30,40] 人數(shù) (2)從得分在區(qū)

23、間[20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人， ①用運(yùn)動(dòng)員編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果； ②求這2人得分之和大于50的概率． 解：(1)4,6,6. (2)①得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員編號(hào)為A3，A4，A5，A10，A11，A13，從中隨機(jī)抽取2人，所有可能的抽取結(jié)果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15種． ②“從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人，這2人得分之和大于50”(記為事件B)的所有可能結(jié)果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5種． 所以P(B)＝＝.