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1、
平行四邊形的性質
[知識要點]
1.你知道平行四邊形的定義和表示符號嗎?
2.依次從邊、角、對角線三個方面,列出平行四邊形的性質吧!
(1)邊:
(2)角:
(3)對角線:
3.兩條平行線間的距離是指什么呢?平行四邊形的面積公式是什么呢?
你知道二者有什么關系嗎?對于平行四邊形的面積,你能找出其中一條規(guī)律來嗎?
4.平行四邊形的知識運用包括三個方面:
(1)直接運用平行四邊形的性質去解決問題,求角、線段,證明角相等,互補,證明線段相等或平分;
(2)判定一個四邊形是平行四邊形,從而判定兩直線平行;
(3)先判定一個四邊形是平行四邊形
2、,然后用平行四邊形的性質去解決某些問題。
[典型例題]
#利用平行四邊形的性質求解邊和角
例1—1 在平行四邊形ABCD中
(1)若∠A=40°,則∠B= ,∠C= ,∠D= 。
(2)若∠A-∠B=80°,則∠A= ,∠B= 。
(3)若∠A+∠C=220°,則∠A= ,∠B= 。
(4)若周長為44cm,AB-BC=2cm,則CD= ,AD= 。
A
B
C
D
O
例1—2 如圖,□ABCD中,AD⊥BD,垂足為D,OA=
3、10,OB=6,求BC、AB的長。
#靈活運用平行四邊形性質進行邊長、周長計算
A
B
C
D
例2—1 如圖,四邊形ABCD為平行四形,∠A+∠C=80°,□ABCD的周長為40cm,且AB-BC=2cm,求□ABCD各邊長和各內角的度數。
例2—2 已知□ABCD的周長為80cm,AC⊥AB,△ABC的周長為60cm,求AB與BC的長。
A
B
C
D
O
例2—3 如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,∠DAB:∠ABC=1:3,AB=4,BD與AC相交
4、于O,且BD⊥AB,求AD,BC和AC的長。
B
C
D
A
F
E
例2—4 如圖,□ABCD中,AE⊥BC,AF⊥DC,垂足分別為E,F(xiàn),∠ADC=60°,BE=2,CF=1,連結DF,求△DEC的面積。
#利用平行四邊形中對角線與邊長的關系求取值范圍
A
B
C
D
O
例3—1 如圖,□ABCD中,對角線AC和BD相交于O點,若AC=8,BD=6,則邊AB長的取值范圍為( )
A.1﹤AB﹤7 B.2﹤AB﹤14
C.6﹤AB﹤8 D.3﹤AB14
5、
例3—2 平行四邊形的一邊長為10,那么它的對角線長度可以是( )
A.8和12 B.20和30 C.6和8 D.4和6
#靈活運用平行四邊形的面積公式計算
A
B
C
D
F
E
例4—1 小強家承包了一塊苗圃用來養(yǎng)花。如圖所示,苗圃的形狀為平行四邊形,經測量,其周長是36m,從鈍角頂點D處向AB、BC引兩條高DE、DF的長分別為5m、7m,求這個平行四邊形苗圃的面積。
D
C
B
A
h
例4—2 已知□ABCD中周長是36cm,且AB=10cm,AD與BC間的距離為6cm,求:AB與CD之間的
6、距離。
A
B
C
D
E
例4—3 如圖,在□ABCD中,對角線AC=21厘米,BE⊥AC,垂足為E,且BE=5厘米,AD=7厘米,試求AD與BC之間的距離。
#利用平行線之間的垂線段處處相等求解
例5—1 如圖所示,點A(鄉(xiāng)鎮(zhèn))、B(村)、C(村)同處一片平坦的地區(qū),計劃經過點A修建一條水泥路L,使點B、C到L的距離相等,在圖中畫出直線L。
C
A
B
A
B
C
D
E
F
*例6 如圖所示,□ABCD中,∠ABC=75°,AF
7、⊥BC,垂足為F,AF交BD于E。若DE=2AB,求∠AED的度數。
A
B
C
D
E
M
*例7 如圖所示,□ABCD中,BC=2AB,DE⊥AB,M是BC的中點,∠BEM=50°,則∠B的大小是多少?
A
D
B
C
E
F
*例8 如圖,在平行四邊形ABCD中,點E、F分別在邊BC、CD上,且EF∥BD,求證:S△ABE=S△ADF。
*例9 如圖,在平行四邊形ABCD中,AE=CF,求證:∠AOB=∠COB
A
B
8、
C
D
E
F
O
[大展身手]
#一、判斷題
1.一組對邊平行的四邊形叫做平行四邊形。 ( )
2.一組對邊平行而另一組對邊相等的四邊形為平行四邊形。 ( )
3.兩條平行線間的距離是指從一邊上的任意一點到另一邊的距離。 ( )
4.相鄰兩邊相等的平行四邊形的四條邊都相等。 ( )
5.相鄰的兩個角都互補的四邊形為平行四邊形。 ( )
6.平行四邊形的對角線相等。 ( )
7.平行四邊形的一組鄰角的平分
9、線互相垂直。 ( )
8.兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形。 ( )
9.對角線相等的四邊形是平行四邊形。 ( )
10.對角線互相平分但不相等的四邊形是平行四邊形。 ( )
11.有兩組鄰角互補的四邊形是平行四邊形。 ( )
12.一組對邊平行,且一組對角相等的四邊形是平行四邊形。 ( )
13.有三個角為直角的四邊形是平行四邊形。 ( )
二、選擇題
1.在□ABCD中,∠A=65°,則∠D的度數是( )
A、105° B、115° C、125° D、65°
2.
10、在□ABCD中,∠B-∠A=20°,則∠D的度數是( )
A、80° B、90° C、100° D、110°
3.已知□ABCD的周長為40cm,邊AB-BC=4cm,則邊AD、CD的長為( )
A、10cm、14cm B、8cm、12cm C、14cm、10cm D、12cm、8cm
4.如圖4-1-1,在□ABCD中,EF∥AB,GH∥BC,EF與GH相交于O,則圖中共有平行四邊形的個數是( )
A、4個 B、5個 C、7個 D、9個
5.如圖4-1-2,在□ABCD中,E、F分別是邊
11、AB、DC的中點,則圖中共有平行四邊形的個數是( )
A、3個 B、4個 C、5個 D、6個
圖4-1-2
B
C
F
D
A
E
圖4-1-1
B
C
F
G
D
E
A
H
6.在以下平行四邊形性質中,錯誤的說法是( )
A、對邊平行 B、對角相等 C、對邊相等 D、對角線相等
7. □ABCD的對角線相交于O,△OBC的周長為58cm,AD=28cm,兩條對角線之差為14cm,則兩條對角線的長分別為( )
A、23cm和9cm B、23c
12、m和37cm C、8cm和22cm D、24cm和38cm
8. □ABCD的周長為32,5AB=3BC,則對角線AC的取值范圍是( )
A、6<AC<10 B、6<AC<16 C、10<AC<16 D、4<AC<16
9.以長為5cm、4cm、7cm的三條線段中的兩條為邊,另一條為對角線畫平行四邊形,可以畫出形狀不同的平行四邊形的個數是( )
A、1個 B、2個 C、3個 D、4個
10.如圖4-1-3,在□ABCD中,EF對角線交點O,如果AB=6cm,AD=5cm,OF=2cm,那么四邊形BCEF的周長為
13、( )
A、13cm B、15cm C、11cm D、9.5cm
11.如圖4-1-3,在圖中有全等三角形( )
A、3對 B、4對 C、5對 D、6對
12.在□ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,若BD與AC的和為18cm,CD:DA=2:3,△AOB的周長為13cm,那么BC的長為( )
A、3cm B、6cm C、9cm D、12cm
13.如圖4-1-4,∥,AB∥CD,CE⊥,F(xiàn)G⊥,E、G為垂足,則下列說法不正確的是( )
A、AB=C
14、D B、EC=FG
C、A、B兩點的距離就是線段AB的長 D、與的距離就是線段CD的長
14.在□ABCD中,∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是( )
A、1:2:4:2 B、1:2:1:2 C、1:1:2:2 D、1:2:2:1
15.平行四邊形兩鄰角的角平分線相交所成的角是( )
A、銳角 B、直角 C、鈍角 D、不能確定
圖4-1-4
B
D
E
G
F
C
A
圖4-1-3
F
B
C
E
D
A
O
二、填空題
1.兩組
15、對邊分別 的四邊形叫做平行四邊形,平行四邊形的 的兩個頂點連成的線段叫做它的對角線。
2.平行四邊形的對邊 ,對角 。
3.用20cm長的一根鐵絲圍成一個平行四邊形,使長邊與短邊的比為3:2,則長邊長為 ,短邊長為 。
4.在平行四邊形ABCD中,若∠A=2∠B,則∠A= ,∠B= ,∠C= ,∠D= 。
5.在□ABCD中,∠A:∠B=3:2,則∠C= ,∠D= 。
6.若A、B、C
16、三點不共線,則以其為頂點的平行四邊形一共可以做 個。
7.平行四邊形一組鄰角的平分線一定是 。
8.平行四邊形ABCD中,∠C=∠B+∠D,則∠B= 。
9.平行四邊形ABCD的周長為56cm,兩鄰邊之比為3:5,則這兩鄰邊長分別為 。
10.平行四邊形一個內角比它的鄰補角大24度,則這個內角為 。
11.如圖4-1-5,在□ABCD中,BC=2AB,CA⊥AB,則∠B= ,∠CAD= 。
12.已知O是□ABCD的對角線的交點,A
17、B=10cm,BC=8cm,AC=16cm,BD=13cm,則△ODC的周長是 ,△OAD的周長是 。
13.在□ABCD中,如果AC=2cm,BD=6cm,CA⊥AB,那么□ABCD的周長是 cm,面積是 cm2。
14.在□ABCD中,對角線AC、BD交于點O,OE⊥AB交AB于點E,OE=3cm,則AB與CD間的距離為 cm。
15. □ABCD的周長為80cm,對角線AC、BD交于點O,若△AOB的周長比△BOC的周長多8cm,那么AB= cm,BC= cm。
16.在□ABCD中,∠A=30,AB
18、=7cm,AD=6cm,則S□ABCD= 。
17.如圖4-1-6,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若∠EAF=60°,AE=,AF=,則(1)∠BAD= ,∠C= ,∠D= ;(2)AB= ,BC= 。
圖4-1-6
C
F
D
A
B
E
圖4-1-5
C
D
A
B
18.過□ABCD的鈍角頂點A作兩條高AE,AF,若∠B=60°,則∠EAF= 。
19.□ABCD的周長為60cm,
19、對角線AC,BD相交于O,△AOB的周長比△BOC的周長大8cm,則AB= ,BC= 。
20.□ABCD的周長為40,兩鄰邊的比為3:5,其四邊的長分別為 。
21.在□ABCD中,∠A的平分線分BC成4 cm和3 cm的兩線段,則四邊形的周長為 。
22.□ABCD的周長為25 cm,對邊距離都為2 cm,則它的面積為 。
23.如果在□ABCD中,AB=8,對角線AC=6,則另一條對角線BD的范圍是 。
24.□ABCD的周長為22 cm,AC,BD交于O點,△AOD的周長比△AOB的周長
20、小3 cm,則AD= ,AB= 。
25.過□ABCD的鈍角頂點A,分別作兩條高AE和AF,若∠EAF=60°,BE=2,DF=3,則
□ABCD的面積為 。
26.已知四邊形ABCD中,AD∥BC,分別補上下列條件中的哪一個條件,四邊形就為平行四邊形:①AD=BC;②AB∥CD;③AB=AD;④∠A=∠C。 (填上序號)
27.平行四邊形的兩鄰邊長分別為3和5,其夾角為120°,則該平行四邊形的面積為 。
三、解答題
#1.在平行四邊形ABCD中,∠B+∠D=140°,求各內角的度數。
21、
#2.平行四邊形ABCD中,AE平分∠BAD,交DC于E,AD=5cm,AB=8cm,求EC的長。
A
B
C
D
E
B
C
A
D
M
3.如圖,平行四邊形ABCD中,AD=2AB,點M為AD的中點,求∠BMC的度數。
圖4-1-9
C
F
D
A
B
E
4.如圖4-1-9,在□ABCD,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,AE=2cm,AF=3cm,□ABCD的周長為20cm,求S□ABCD。
5.如圖4-1-10,在□ABCD中,D在AB
22、的中垂線DE上,若□ABCD的周長為38cm,△ABD的周長比□ABCD的周長少10cm,求□ABCD的一組鄰邊的長。
圖4-1-10
B
C
D
A
E
B
E
C
D
A
F
6.在□ABCD中,E、F分別是AC、CA延長線上的點,且CE=AF,求證:BF∥DE。
A
F
C
D
B
7.如圖,△ABC中,D為BC上一點,DE∥AC,DF∥AB,AB=AC=13cm,試說明:四邊形AEDF是平行四邊形,并求它的周長。
23、
B
C
D
A
E
F
8.如圖,在□ABCD中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的平分線交AD于點E,交CD的延長線于點F,則DF長多少?
9.如果平行四邊形的一組鄰邊的長相等,且等于其較短的對角線的長,而此對角線的長為4cm,求此平行四邊形相鄰兩內角的度數及各邊的長。
10.如圖,在平行四邊形ABCD中,BC=2AB,延長AB到點F,延長BA到點E,使得AB=AE=BF,連結CE和DF交于點O,求證:EC⊥DF。(要求完整過程)
F
B
C
D
O
A
E
12