《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第5章§5.1第一與第二可數(shù)性公理

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1、 第5章有關(guān)可數(shù)性的公理 § 5.1 第一與第二可數(shù)性公理 本節(jié)重點(diǎn)： 掌握滿足第一與第二可數(shù)性公理的空間的定義及相互間的關(guān)系； 掌握滿足第一與第二可數(shù)性公理的空間有關(guān)連續(xù)映射的不變性、 有限可積性、可遺傳性 等問(wèn)題； 掌握滿足第一可數(shù)性公理的空間中在一點(diǎn)鄰近的性質(zhì)及序列的性質(zhì)； 掌握常見(jiàn)的空間哪些空間是第一可數(shù)性公理空間 ，哪些是第二可數(shù)性公理空間. 從§ 2.6節(jié)的討論可知，基和鄰域基對(duì)于確定拓?fù)淇臻g的拓?fù)浜万?yàn)證映射的連續(xù)性都有 著重要的意義，它們的元素的“個(gè)數(shù)”越少，討論起來(lái)越是方便.因此我們?cè)噲D對(duì)拓?fù)淇臻g 的基或鄰域基的元素“個(gè)數(shù)”加以限制， 但又希望加了限制的拓

2、撲空間仍能包容絕大多數(shù)常 見(jiàn)的拓?fù)淇臻g，如：歐氏空間、度量空間等.以下的討論表明，將基或鄰域基的元素的“個(gè) 數(shù)”限定為可數(shù)是恰當(dāng)?shù)? 某拓?fù)淇臻g的一個(gè)基或在某一點(diǎn)處的一個(gè)鄰域基， 如果是一個(gè)可數(shù)族， 我們則分別稱之 為一個(gè)可數(shù)基和一個(gè)可數(shù)鄰域基. 定義一個(gè)拓?fù)淇臻g如果有一個(gè)可數(shù)基， 則稱這個(gè)拓?fù)淇臻g是一個(gè)滿足第二可數(shù) 性公理的空間，或簡(jiǎn)稱為 V空間. 定理實(shí)數(shù)空間R滿足第二可數(shù)性公理 證明 令B為所有以有理數(shù)為它的兩個(gè)端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間構(gòu)成的族?顯然 B是一個(gè)可數(shù)族. ■ F 設(shè)U是R中的一個(gè)開(kāi)集，對(duì)于每一個(gè)x€ U,存在實(shí)數(shù) ?>0,使得以x為中心以?為半 徑的球形鄰域 B (

3、x, ) =(x- ■ ,x+ ) _ U 選取有理數(shù) 使得：扛丄 于是我們有 ?這也就是說(shuō) U可以表示為B中某些成 員之并?這證明了 B是R的一個(gè)基. R有可數(shù)基B,所以R滿足第二可數(shù)性公理. 由于離散空間中的每一個(gè)單點(diǎn)子集都是開(kāi)集， 而一個(gè)單點(diǎn)集不能表為異于自身的非空集 合的并，因此離散空間的每一個(gè)基必定包含著它的所有單點(diǎn)子集. 所以包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn) 的離散空間是不滿足第二可數(shù)性公理的空間. 定義一個(gè)拓?fù)淇臻g如果在它的每一點(diǎn)處有一個(gè)可數(shù)鄰域基， 則稱這個(gè)拓?fù)淇臻g 是一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的空間或簡(jiǎn)稱為 :空間. 定理每一個(gè)度量空間都滿足第一可數(shù)性公理. 證明

4、設(shè)X是一個(gè)度量空間，x€X則所有以x為中心以有理數(shù)為半徑的球形鄰域構(gòu)成 x 處的一個(gè)可數(shù)鄰域基. 例不滿足第一可數(shù)性公理的空間的例子. 設(shè)X是包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間. 我們證明X在它的任一點(diǎn)處都沒(méi)有可數(shù)鄰域 基?因此X不滿足第一可數(shù)性公理. 用反證法來(lái)證明這一點(diǎn).設(shè)X在點(diǎn)x€X處有一個(gè)可數(shù)鄰域基 則對(duì)于任何y€ X,y豐x, ■匚八"…八\ ■工，，因此.一'：，將這個(gè)包含關(guān)系式的兩邊分別 對(duì)于X中所有的異于x的點(diǎn)求并，可見(jiàn) ' 由于X是一個(gè)不可數(shù)集，因此上式的左邊是一個(gè)不可數(shù)集； 由于“中只有可數(shù)個(gè)元素， 并且每一個(gè)元素的補(bǔ)集都是可數(shù)集，因此上式的右邊是一個(gè)可數(shù)集.矛

5、盾. 定理每一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間都滿足第一可數(shù)性公理. 證明設(shè)X是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間， B是它的一個(gè)可數(shù)基.對(duì)于每一個(gè)x€ X, 根據(jù)定理, D E ={B € Bx € B} 是點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基，它是B的一個(gè)子族所以是可數(shù)族. 于是X在點(diǎn)x處有可數(shù)鄰域 基B. 定理，而前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間不滿足第二可數(shù)性公理. 定理設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X -Y是一個(gè)滿的連續(xù)開(kāi)映射. 如果X滿 足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理），則 Y也滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可 數(shù)性公理）.（這是關(guān)于連續(xù)映射下是否保持的性質(zhì) ） 證明 設(shè)X滿足

6、第二可數(shù)性公理，，一是它的一個(gè)可數(shù)基?由于 f是一個(gè)開(kāi)映射， J ={f（B）|B € ■ _}是由Y中開(kāi)集構(gòu)成的一個(gè)可數(shù)族.只需證明 J是Y的一個(gè)基.設(shè)U是Y中 的一個(gè)開(kāi)集，則」'（U）是X中的一個(gè)開(kāi)集.因此存在 由于f是一個(gè)滿射，我們有 即U是 Bo中某些元素的并.這完成 Bq是 Y的一個(gè)基的證明. 本定理關(guān)于滿足第一可數(shù)性公理的情形證明類似，請(qǐng)讀者自己補(bǔ)證. 根據(jù)定理，拓?fù)淇臻g滿足第一可數(shù)性公理和滿足第二可數(shù)性公理的性質(zhì)都是拓?fù)洳蛔冃?質(zhì). 拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)稱為可遺傳性質(zhì)， 如果一個(gè)拓?fù)淇臻g具有這個(gè)性質(zhì)那么它的任何一 個(gè)子空間也都具有這個(gè)性質(zhì). 例如離散性，平庸性都是

7、可遺傳的性質(zhì)，但連通性卻明顯是不可遺傳的. 拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)稱為對(duì)于開(kāi)子空間 （或閉子空間）可遺傳的性質(zhì)，如果一個(gè)拓?fù)淇? 間具有這個(gè)性質(zhì)那么它的任何一個(gè)開(kāi)子空間（閉于空間）也都具有這個(gè)性質(zhì). 例如，局部連通性雖然不是可遺傳的性質(zhì)， 但對(duì)于開(kāi)子空間卻是可遺傳的. （參見(jiàn)§ 4.4 習(xí)題第3題）將來(lái)我們會(huì)接觸到一些對(duì)閉子空間可遺傳的性質(zhì). 緊接著的兩個(gè)定理表明拓?fù)淇臻g滿足第一 （或第二）可數(shù)性公理的性質(zhì)是可遺傳的， 也 是有限可積的. 定理滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）的空間的任何一個(gè)子空 間是滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）的空間. 證明 設(shè)X是一個(gè)滿足第二

8、可數(shù)性公理的空間， B是它的一個(gè)可數(shù)基.如果 Y是X的一 個(gè)子集，根據(jù)定理 ，集族- I ={BA Y|B€ B}是子空間丫的一個(gè)基，它明顯是可數(shù)族. 本定理關(guān)于滿足第一可數(shù)性公理的情形證明類似，請(qǐng)讀者自己補(bǔ)證. 定理設(shè)■--J是n個(gè)滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理） 的空間?則積空間 -< -―：滿足第二可數(shù)性公理（滿足第一可數(shù)性公理）. 證明 我們只要證明n = 2的情形. 設(shè) 都是滿足第二可數(shù)性公理的空間， 月1，^2分別是它們的可數(shù)基?根據(jù)定理 3. 2 ? 4,集族 是積空間■- j的一個(gè)基，它明顯是一個(gè)可數(shù)族. 本定理當(dāng)n=2時(shí)關(guān)于滿足第一可數(shù)性公理的情形證

9、明類似，請(qǐng)讀者自己補(bǔ)證. 根據(jù)定理，定理，我們立即可知：（事實(shí)上，這個(gè)推論也容易直接證明（參見(jiàn)習(xí) 題 1）.） 推論維歐氏空間'、的每一個(gè)子空間都滿足第二可數(shù)性公理. 本節(jié)的余下部分我們討論滿足第一可數(shù)性公理的空間中序列的性質(zhì). 讀者將會(huì)看到在這 種拓?fù)淇臻g中序列的性質(zhì)與我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中見(jiàn)到過(guò)的有著較多的類似之處，特別是定理 定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g?如果在 x€X處有一個(gè)可數(shù)鄰域基，則在點(diǎn) x 處有一個(gè)可數(shù)鄰域基 ■-使得對(duì)于任何i €有 即 證明 設(shè)「：｝是點(diǎn)x €X處的一個(gè)可數(shù)鄰域基?對(duì)于每一個(gè) i € ' ?,令 容易直接驗(yàn)證 ■' 便是點(diǎn)x處的滿足定理要求的一個(gè)可數(shù)鄰

10、域基. （即、：?是個(gè)鄰域基套，一個(gè)套一個(gè)的?這個(gè)定理常用來(lái)選取趨向于 x的序列中的 點(diǎn)?） 定理設(shè)X是一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的空間， A —X.則點(diǎn)x€X是集合A 的一個(gè)凝聚點(diǎn)的充分必要條件是在集合 A— ｛x｝中有一個(gè)序列收斂于 x ? 證明 定理的充分性部分的證明已見(jiàn)于第二章定理 ，以下完成必要性部分的證 明. 設(shè)x€X是集合A的一個(gè)凝聚點(diǎn)，并且根據(jù)定理 ，滿足條件：對(duì)于每一個(gè)，i € ；., 由于-「二'；L ' ,可選取■：--：'上：，.序列「；｝是在 A一｛x｝ 中的.我們證明lim ; =x(x )如下： 如果U是x的一個(gè)鄰域，則由于 -■- > :.是x

11、處的一個(gè)鄰域基套，所以存在 N>0使得 .于是當(dāng)i時(shí)，我們有 定理 設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，其中X滿足第一可數(shù)性公理；x € X.則映射f:X fY 在點(diǎn)x€X處連續(xù)的充分必要條件是：如果X中的序列｛ ：｝收斂于X,則Y中的序列｛f( : )｝ 收斂于f(x). 證明 定理的必要性部分的證明已見(jiàn)于定理 ，以下完成充分性部分的證明. 假設(shè)定理中陳述的條件成立，我們要證明映射 f:X fY在點(diǎn)x處連續(xù)?用反證法?假設(shè) 映射f在點(diǎn)x處不連續(xù)，這也就是說(shuō) f(x)有一個(gè)鄰域V,使得「(V)不是x的鄰域.而這 又意味著，x的任何一個(gè)鄰域 U都不能包含在「' (V)中，即對(duì)于x的任何一個(gè)鄰域

12、 U,包 含關(guān)系不成立，也就是說(shuō) 丿n 忑 總括上一段的論證可見(jiàn)： f (x)有一個(gè)鄰域 V使得對(duì)于x的任何一個(gè)鄰域 U有 /(!7)nr^0 現(xiàn)在設(shè) 是點(diǎn)x處的一個(gè)可數(shù)鄰域基, 滿足條件：對(duì)于每一個(gè) J 一 -：-.選取"：-■：使得 f( ：) € f(U) n /',即」」汀 ?明顯地，序列｛ :｝ 收斂于x.然而序列｛f( ；)｝在f (x)的鄰域V中卻沒(méi)有任何一個(gè)點(diǎn)，所以不收斂于f (x) ?這 與反證假設(shè)矛盾?因此反證假設(shè)不成立，所以映射 f在點(diǎn)x處連續(xù). 定理 設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，其中X滿足第一可數(shù)性公理. 則映射f:X fY是 I. 一個(gè)連續(xù)映射的充分必要條件是：如果 X中的序列｛ ；｝收斂于x€ X,貝V Y中的序列 X， ｛f( ；)｝收斂于 f (x). 證明 這是因?yàn)橐粋€(gè)映射是一個(gè)連續(xù)映射當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)映射在它的定義域的每一個(gè)點(diǎn) 處連續(xù)?（參見(jiàn)定理 作業(yè)： P139 1. 6 .