2017年廣西南寧市高三第二次適應性模擬考試 數(shù)學理試卷

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1、 2017屆廣西南寧市高三第二次適應性模擬考試數(shù)學理試卷 一、選擇題 1．已知集合，,則 A. B. C. D. 2．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，則的取值范圍是 A. B. C. D. 3．若橢圓C：的短軸長等于焦距，則橢圓的離心率為 A. B. C. D. 4．在中，，，則角的正弦值為 A. B.

2、 C. D. 5．如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是 A. B. C. 1 D. 開始 A=1，S=0 A≤9 輸出S A=A+1 結(jié)束 S=S+A 是 否 第7題圖 6．已知向量，，向量在方向上的投影為2. 若//，則的大小為 A.. B. C. D. 7．執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的的值是 A. 28 B. 36 C. 45 D. 55

3、 8．若以函數(shù)的圖像中相鄰三個最值點為頂點的 三角形是面積為1的直角三角形，則的值為 A.1 B. 2 C. D. 9．已知底面是邊長為2的正方形的四棱錐中，四棱錐的側(cè)棱長都為4,是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 10.定義設(shè)，則由函數(shù)的圖像與軸、直線所圍成的封閉圖形的面積為 A. B. C. D. 11．函數(shù)是 A. 奇函數(shù)

4、 B. 偶函數(shù) C. 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) D. 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 12．設(shè)實數(shù)同時滿足關(guān)系: ，則實數(shù)的最大值為 A.2 B. C. 3 D. 【 二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分. 把答案填答題卷相應題中橫線上. 13．設(shè)變量滿足約束條件,則目標函數(shù)的最大值是 14若銳角滿足，，則 ▲ ． 15. 過動點作圓:的切線,其中為切點，若(為坐標原點)，則的最小值是 ▲ . 16．定義在上的函數(shù)，如果存在函數(shù)，為常數(shù)），使得 對一切實數(shù)都成立，則稱為函數(shù)的一個承托函數(shù).給

5、出如下命題: ①函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù); ②函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù); ③若函數(shù)是函數(shù)的一個承托函數(shù),則的取值范圍是; ④值域是的函數(shù)不存在承托函數(shù). 其中正確的命題的個數(shù)為 ▲ . 三．解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 17． (本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 已知數(shù)列的前項和滿足:. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）記數(shù)列的前項和為，求證：. 18． (本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 某食品店為了了解氣溫對銷售量的影響，隨機記錄了該店1月份中5天的日銷售量（單位：

6、千克）與該地當日最低氣溫（單位：）的數(shù)據(jù)，如下表： 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 （1）求出與的回歸方程； （2）判斷與之間是正相關(guān)還是負相關(guān)；若該地1月份某天的最低氣溫為6，請用所求回歸方程預測該店當日的銷售量； （3）設(shè)該地1月份的日最低氣溫~，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，求. 附: ①回歸方程中, ,. ②≈3.2, ≈1.8.若~,則, . 19． (本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 如圖，已知側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，，. （1）若E是線段上的點且滿足, 求證: 平面⊥平

7、面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 20. (本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 已知橢圓和拋物線有公共焦點,的中心和的頂點都在坐標原點,過點的直線與拋物線分別相交于兩點（其中點在第四象限內(nèi)）. (1)若,求直線的方程; (2)若坐標原點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上,直線與橢圓有公共點,求橢圓的長軸長的最小值. 21. (本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 已知函數(shù)，. （1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）若在定義域內(nèi)恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 22. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 已知圓E的極坐

8、標方程為，以極點為原點、極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，取相同單位長度（其中≥0，.若傾斜角為且經(jīng)過坐標原點的直線與圓E相交于點A(A點不是原點).(1)求點A的極坐標; (2)設(shè)直線過線段的中點,且直線交圓E于B,C兩點,求的最大值. 23. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 （1）解不等式； （2）若滿足（1）中不等式，求證：. 2017年南寧市高中畢業(yè)班第二次適應性測試 數(shù)學試卷（理科）答案與評分標準 一、選擇題 1．B　　2．A　　3．C　　4．A 5．D　　6．D　　7．C　　8．C 9．A　　10.C　　11．D 12．B 解： 將

9、題設(shè)條件變形為， 代入由柯西不等式得如下不等式 有，解這個一元二次不等式，得 所以，當時，實數(shù)取得最大值 二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分. 把答案填答題卷相應題中橫線上. 13．14 14 15. 16．2 三．解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 17． (本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 解：（1）第一類解法： 當n=1時，....................................................................................

10、................1分 當時.....................................................................................2分 ................................................................................3分 .........................................................................................................

11、...........4分 而也滿足...................................................................................5分 ∴數(shù)列的通項公式為.................................................................................6分 第二類解法： ........................................................................................1分

12、.....................................................................2分 ......................................................................................................3分 ∴數(shù)列的通項公式為.................................................................................4分 第三類解法： ..........1分; .....

13、..1分;...........1分,共3分 第四類解法： 由Sn可知等差數(shù)列.........................................................................2分 且，...............................................................................4分 ∴數(shù)列的通項公式為.................................................................................5分 （2）

14、∵,∴....................................................7分 ..........................................................................8分 則................................................9分 .........................................................................10分 ................................

15、...........................................11分 ...........................................................................................................................................12分 18． (本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 附: ①回歸方程中, ,. ②≈3.2, ≈1.8.若~,則, . 解：【提示：本題第（1）、（2）問與第（3）問沒有太多關(guān)系，考生第（1）、（2）問

16、做不對，第（3）問也可能做對，請老師們留意】 (1) ∵令,,.........................................1分 【說明：如果考生往下算不對結(jié)果，只要上面的兩個平均數(shù)算對其中一個即可給1分】 ∴ .......................................................................2分 ...............................................................................................3分 ∴

17、 ....................................................................................................4分 【說明：2分至4分段，如果考生不是分步計算，而是整個公式一起代入計算，正確的直接 給完這部分的分；如果結(jié)果不對，只能給1分】 ∴ （或者：） ...............................................5分 ∴所求的回歸方程是 ...........................................

18、.........................6分 (2) 由知與之間是負相關(guān)， ....................................................................7分 【說明：此處只要考生能回答負相關(guān)即可給這1分】 將代入回歸方程可預測該店當日的銷售量(千克) （或者：） ....................................................................8分 【說明：此處只要考生能算得正確的答案即可給這1分】

19、 (3)由(1)知，又由 得 ......................................................................................................................9分 【說明：此處要求考生算對方差才能給這1分】 從而 ..........................................................10分 ...............................................11分 【說明：此處不管考生

20、用什么方法進行變換，只要有變換過程都給這1分】 ........................................................................12分 【說明：此處是結(jié)論分1分，必須正確才給】 19． (本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 解:(1) 解法(一): , ,.. ...............1分（沒有這一步扣一分） 以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系. ...............2分 設(shè)M是BD的中點,連接................................

21、.........................................................................2分 C C1⊥平面ABCD, . M是BD的中點,⊥................................................................................................3分 ,,, ,. ................................................ ..........4分 ,⊥.....................

22、.........................5分 （證得⊥或也行） 與相交于D, ⊥平面. 在平面內(nèi), 平面⊥平面..............................................................6分 解法(二): 設(shè)M是BD的中點,連接EM和..............................................................1分 ⊥且共線. ⊥,⊥. EA⊥平面ABCD, C C1⊥平面ABCD , ∠是二面角的平面角................................

23、...........................2分 , ,................................................3分(正確計算出才給這1分) ,,………………4分(至少算出一個) .............................................................................................5分 ,即⊥.二面角的平面角為直角. 平面EBD⊥平面...........................................................

24、...........................................6分 解法(三): ,,. 以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系. ...............1分 設(shè)M是BD的中點,連接EM和.. ⊥且共線. ........................................................2分 EA⊥平面ABCD, C C1⊥平面ABCD ,⊥,⊥. ∠是二面角的平面角........................................................................

25、.....3分 則，,......................4分(至少正確寫出一個點的坐標) ,. ................................5分 ⊥,∠, 二面角的平面角為直角,平面EBD⊥平面................................................6分 解法四: 連結(jié),,,交點為和，如圖. , ,.以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系. ...............1分 則是BD的中點.

26、 C C1⊥平面ABCD, 是BD的中點, . 是BD的中點,⊥............3分 ,,,. ,⊥.........................................5分 與相交于O, ⊥平面. 在平面內(nèi), 平面⊥平面..............................................................6分 (2) 解法一: (若第1問已經(jīng)建系) ，⊥平面，是平面的一個法向量...........8分 ,， ， 設(shè)平面的法向量是,則，， 取得.平面的法量...........................

27、........10分 【另解：由（1）知當時，⊥平面，則平面的法向量是 =】 .............................................................................................11分 由圖可知二面角的平面角的余弦值為....................................12分 解法二: (第1問未建系) ,, 以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系. ..................7分 ,⊥平面， 是平面的法向量....................

28、.................................................................8分 ,， ，, 設(shè)平面的法向量是,則，， 取得.平面的法量.......................................10分 .................................................................................................11分 .由圖可知二面角的平面角的余弦值為......................................

29、.12分 解法三: (幾何法) 設(shè)N是CD的中點,過N作NF⊥于F,連接FB,如圖.......................................................7分 , NB⊥CD. 側(cè)面⊥底面ABCD, NB⊥側(cè)面..........8分 NF⊥,BF⊥ ∠BFN是二面角的平面角...................9分 依題意可得NB =, NF =,BF =..................11分 ∠BFN==二面角的平面角的余弦值為....................12分 20. (本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作

30、答無效） 解：（1）解法一:由題意得拋物線方程為.......................................................................1分 設(shè)直線的方程為........................................................................................................2分 令其中.由,得................................3分 聯(lián)立可得,解得,,..................4分 ...........

31、..............................................................................................................................5分 直線的方程為................................................................................................6分 解法二: 由題意得拋物線方程為.................................................

32、....................................1分 設(shè)直線的方程為...................................................................................................2分 令其中.由,得................................3分 聯(lián)立可得,解得,,................4分 ..............................................................................

33、...........................................................5分 直線的方程為...............................................................................................6分 解法三: 由題意得拋物線方程為.................................................................................1分 設(shè)直線的方程為.........................

34、..........................................................................2分 令其中由, 得..............3分 聯(lián)立可得, 解得,,...............................................................................................................4分 ......................................................................

35、............................................................5分 直線的方程為.........................................................................................6分 第一問得分點分析：（1）求出拋物線方程，得1分。 （2）設(shè)出直線方程，得1分 （3）求出A，B兩點橫縱標關(guān)系（）或縱坐標關(guān)系（），得1分 （4）聯(lián)立方程組，求出縱坐標（，）或橫坐標（），得1分 （5）求出待定的字母，得1分

36、（6）下結(jié)論，寫對直線方程，得1分。（若學生得兩種結(jié)果，不得分） (2)設(shè),直線點在拋物線上, 直線的斜率存在,…………………………………7分 關(guān)于直線對稱,所以.解得...............8分 故代入拋物線:,可得 ...................9分 直線的方程為或...............................................................................10分 設(shè)橢圓為,. 聯(lián)立直線和橢圓,消去整理得 解得..........................................

37、...........11分 則即.橢圓的長軸長的最小值為...........................................12分 第二問得分點分析： （1）點P坐標算對，得2分，若點P坐標不對，有過程，過程無論對錯，得1分 （2）利用對稱關(guān)系，得到點P坐標與待定字母之間關(guān)系，得1分。、 （3）將點P坐標代入拋物線方程，求出待定字母，得1分。 （4）寫出直線方程，得1分。 （5）由直線與橢圓有公共點，得橢圓方程中待定字母的范圍，得1分 （6）求出長軸長的最小值，得

38、1分 (另外:若設(shè)直線方程為,則代入拋物線:,得直線的方程為.也對應給分) 21. (本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 解：（1）,. .................................................................................................................1分 ①若時，，則在上是增函數(shù).................2分 ②若 時，則在上是增函數(shù)...........................3分 在上是減函數(shù)......................

39、...............................4分 （說明：（1）分別求導正確沒有作差也給1分求導分， （2）忘記討論且單調(diào)性正確，不扣分，這1分也給。） （2）若在定義域內(nèi)恒成立,考慮以下情形: ①當，同時恒成立時， 由恒成立..........................................................................5分 得：.............................................................................................

40、..................................6分 ∵由恒成立得：.∴...............................................................7分 ②當，同時恒成立時，不存在；..........................................................8分 ③當時，∵為增函數(shù)，為減函數(shù), ............................9分 若它們有共同零點，則恒成立...............................................

41、.........................10分 由，,聯(lián)立方程組解得：..............................11分 綜上：或..................................................................................................................12分 22. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 解: (1) （解法一）直線的傾斜角為,點A的極角.........................1分 代入圓E的極坐標方程得......

42、..................................................................................2分 點A的極坐標......................................................................................................3分 （解法二）由已知得直線的的直角方程為①， 圓E的直角坐標方程為②.....................................................1分 （寫對其中一個方程均給

43、1分） 聯(lián)立①②得A點直角坐標為（-2,2），.... ........................... ................................2分 由得A點極坐標A...........................3分 （不寫公式不扣分） (2)（解法一，第一（1）問用極坐標做的）由(1)得線段的中點的極坐標是, 的直角坐標為......................................................................................................4分 圓E的極坐

44、標方程為, 圓E的直角坐標方程為........................................................................5分 設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).........................................................6分 代入得. ,設(shè)的參數(shù)依次為,則..........................................................7分 ......................................................

45、.............................8分 ...................................................................................9分 的最大值為(此時直線的傾斜角為)........................................10分 （解法二）由（1）知A(2，-2)，則M(1，-1)………………1分 …………………………3分 ……………………………5分 ………………6分 （解法三）由（1）A點直角坐標為（-2,2），M是OA中點，所以M點坐標為（-1,1）.

46、.....4分 圓E的極坐標方程為, 圓E的直角坐標方程為..........................................................5分 當BC⊥x軸時，直線BC方程為............................6分(會分類就給1分) 或 不妨設(shè) ........................7分 當BC與x軸不垂直時，設(shè)直線BC方程為, 消y得 ...............................................8分 設(shè), .............

47、................................................9分 （若會用兩點間距離公式給1分） =…………………8分 =………………………9分 = ……………………10分 23. （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 解：（1）當時, 解得.所以. 當時, 解得 當時 解得所以...............................................................................................4分 （分類標準對統(tǒng)

48、一給1分，每個不等式去掉絕對值正確各給1分） 不等式的解集為；..................................................6分 （2）證明：（解法一）……………………7分 =…………………8分 =>0………………………………9分 ……………………10分 （解法二）...............................................................................7分 則,.....................................................8分 同理,.............................................................................................9分 所以..........................................................................................10分