《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射學(xué)習(xí)筆記

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1、第2章度量空間與連續(xù)映射 從數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)熟知單變量和多變量的連續(xù)函數(shù)，它們的定義域和值域都是歐氏空間（直線，平面或空間等等）或是其中的一部分?在這一章中我們首先將連續(xù)函數(shù)的定義域和值域主要特征抽象出來用以定義度量空間，將連續(xù) 函數(shù)的主要特征抽象出來用以定義度量空間之間的連續(xù)映射（參見§2.1）?然后將兩者再度抽象，給出拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射（參見§2.2）?隨后再逐步提出拓?fù)淇臻g中的一些基本問題如鄰域，閉包，內(nèi)部，邊界，基和子基，序列等等. §2.1度量空間與連續(xù)映射 本節(jié)重點(diǎn)：掌握拓?fù)鋵W(xué)中度量的概念及度量空間中的連續(xù)映射的概念.注意區(qū)別：數(shù)學(xué)分析中度量、連續(xù)映射的概念與本

2、節(jié)中度量、連續(xù)映射的概念. 注意，在本節(jié)的證明中，應(yīng)細(xì)細(xì)體會證明的方法. 首先讓我們回憶一下在數(shù)學(xué)分析中學(xué)習(xí)過的連續(xù)函數(shù)的定義.函數(shù)f:FHR稱為在點(diǎn)'€R處是連續(xù)的，如果對于任意實(shí)數(shù)&>0,存在實(shí)數(shù)S>0,使 得對于任何x€R,當(dāng)|x-〔|

3、,z€X,有 (1) (正定性)，p(x,y)》0并且p(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y; (2) (對稱性)p(x,y)=p(y,x); (3) (三角不等式)p(x,z)

4、x，y€R,令p(x,y)=|x-y|?容易驗(yàn)證p是R的一個(gè)度量，因此偶對(R,p)是一個(gè) 度量空間.這個(gè)度量空間特別地稱為實(shí)數(shù)空間或直線.這里定義的度量p,稱 為R的通常度量，并且常常略而不提，逕稱R為實(shí)數(shù)空間?(今后我們說實(shí)數(shù)空間，均指具有通常度量的實(shí)數(shù)空間?) 例維歐氏空間丁. 對于實(shí)數(shù)集合R的n重笛卡兒積 ■/=RXRX,XR 定義p:如下：對于任意X=（I；「），鳥=:、'.--b 令 p（X,y）= 容易驗(yàn)證（詳見課本本節(jié)最后部分的附錄）p是J的一個(gè)度量，因此偶對（T,p）是一個(gè)度量空間.這個(gè)度量空間特別地稱為n維歐氏空間.這里定義的度量p，稱為J的通常度量，并且

5、常常略而不提，逕稱J為n維歐氏空間.2維歐氏空間通常稱為歐氏平面或平面?（今后說通常度量，均指滿足這種公式的度量） 例空間H. 記H為平方收斂的所有實(shí)數(shù)序列構(gòu)成的集合，即0 YY盂逹應(yīng)化矢,》# H={x=（-一）|二vx} 定義p如下：對于任意 x=（…一…一…），y=（八丿:—）€H 說明這個(gè)定義是合理的 令p(x,y)=

6、)是一個(gè)度量空間?稱(X,p)是離散的，或者稱p是X的一個(gè)離散度量，如果對于每一個(gè)x€X,存在一個(gè)實(shí)數(shù)二>0使得p(x,y)>亠對于任何y€X,xmy,成立. 例如我們假定X是一個(gè)集合，定義p:XXX^R使得對于任何x,y€X,有 jox p(x,y)=I- 容易驗(yàn)證p是X的一個(gè)離散的度量，因此度量空間(X,p)是離散的. 通過這幾個(gè)例子，可知，度量也是一種映射，但它的象空間是實(shí)數(shù). 離散的度量空間或許是我們以前未曾接觸過的一類空間，但今后會發(fā)現(xiàn)它的性質(zhì)是簡單的. 定義設(shè)(X,p)是一個(gè)度量空間，x€X.對于任意給定的實(shí)數(shù)&>0,集合 {y€X|p(x,y)

7、,c),或「上，稱為一個(gè)以x為中心以c為半徑的球形鄰域,簡稱為x的一個(gè)球形鄰域，有時(shí)也稱為x的一個(gè)c鄰域. 此處的球形鄰域是球狀的嗎？ 定理度量空間(X,p)的球形鄰域具有以下基本性質(zhì): (1)每一點(diǎn)x€X,至少有一個(gè)球形鄰域，并且點(diǎn)x屬于它的每一個(gè)球形 鄰域； (2)對于點(diǎn)x€X的任意兩個(gè)球形鄰域，存在x的一個(gè)球形鄰域同時(shí)包含 于兩者； (3)如果y€X屬于x€X的某一個(gè)球形鄰域，則y有一個(gè)球形鄰域包含于x的那個(gè)球形鄰域. 證明：(1)設(shè)x€X對于每一個(gè)實(shí)數(shù)￡>0,B(x,Q是x的一個(gè)球形鄰域，所以x至少有一個(gè)球形鄰域；由于p(x,x)=0,所以x屬于它的每一個(gè)球

8、形鄰域. (2) 如果B(x,-'J和B(x,L)是x€X的兩個(gè)球形鄰域，任意選取實(shí)數(shù) ￡>0,使得￡Vmin{H}，則易見有 B(x,&)_B(x,<)nB(x,) 即B(x,&)滿足要求. (3) 設(shè)y€B(x,&).令t=&-p(x,y).顯然.0.如果z€B(y,'-),則g p(Z,x)0使得B(a,&)匚A,則稱A是度量空間X中的一個(gè)開集. 注意：此

9、處的開集僅是度量空間的開集. 例實(shí)數(shù)空間R中的開區(qū)間都是開集. 設(shè)a,b€R,avb.我們說開區(qū)間 (a,b)={x€R|avxvb} 是R中的一個(gè)開集.這是因?yàn)槿绻鹸€(a,b),若令 &=min{x-a,b-x}, 則有B(x,￡)_(a,b)?也同樣容易證明無限的開區(qū)間 (a,x)={x€R|x>a},(-^,b)={x€R|xvb} (-g,x)=R 都是R中的開集?然而閉區(qū)間 [a,b]={x€R|a0,B(x,&)—[a,b]都不成立?類似地，半開半閉的區(qū)間 (a,b]={x€R|avx

10、,[a,b)={x€R|aa},(—g,b]={x€R|x

11、,也存在x的一個(gè)球形鄰域B(x,二)包含于V.根據(jù) 定理(2),x有一個(gè)球形鄰域B(x,&)同時(shí)包含于B(x,=)和B (x,\),因此g￡ B(x,￡)—B(x,--)nB(x,二)—unv 由于unv中的每一點(diǎn)都有一個(gè)球形鄰域包含于unV,因此unv是一個(gè)開 (3) 設(shè)*A是一個(gè)由X中的開集構(gòu)成的子集族?如果’-，則存在G€*\使得x€」二_由于扎是一個(gè)開集，所以x有一個(gè)球形鄰域包含于以，顯然這個(gè)球形鄰域也包含于二?二■-.這證明二二■?是X中的一個(gè)開集. 此外，根據(jù)定理(3)可見，每一個(gè)球形鄰域都是開集. 球形鄰域與開集有何聯(lián)系？ 為了討論問題的方便，我們將球形鄰域的概念

12、稍稍作一點(diǎn)推廣. 定義設(shè)x是度量空間X中的一個(gè)點(diǎn)，U是X的一個(gè)子集.如果存在一個(gè)開集V滿足條件：x€V—U,則稱U是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域. 下面這個(gè)定理為鄰域的定義提供了一個(gè)等價(jià)的說法，并且表明從球形鄰域推廣為鄰域是自然的事情. 定理設(shè)x是度量空間X中的一個(gè)點(diǎn).貝UX的子集U是x的一個(gè)鄰的充分必要條件是 的充分必要條件是 x有某一個(gè)球形鄰域包含于 U. 證明如果U是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域，根據(jù)鄰域的定義存在開集V使得x€V_U,又根據(jù)開集的定義，x有一個(gè)球形鄰域包含于V,從而這個(gè)球形鄰域也就包含于U.這證明U滿足定理的條件. 反之，如果U滿足定理中的條件，由于球形鄰域都是開集，因此U

13、是x的鄰域. 現(xiàn)在我們把數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)函數(shù)的概念推廣為度量空間之間的連續(xù)映射. 定義設(shè)X和丫是兩個(gè)度量空間，f:X-Y,以及.：'€乂如果對于f(〔)的任何一個(gè)球形鄰域B(f(〕i),&)，存在的某一個(gè)球形鄰域B「］,S),使得f(BCj，S))_B(f('),￡),則稱映射在點(diǎn)?：'處是連續(xù)的. 如果映射f在X的每一個(gè)點(diǎn)x€X處連續(xù)，則稱f是一個(gè)連續(xù)映射. 以上的這個(gè)定義是數(shù)學(xué)分析中函數(shù)連續(xù)性定義的純粹形式推廣.因?yàn)槿绻O(shè)p和’分別是度量空間X和Y中的度量，貝Uf在點(diǎn)‘1處連續(xù)，可以說成：對于任意給定的實(shí)數(shù)￡>0,存在實(shí)數(shù)3>0使得對于任何x€X只要p(x，')VS(即x€BC'.

14、,S)便有 L(f(x),f('))V￡.(即f(x)€B(f('：),￡)). 下面的這個(gè)定理是把度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射的出發(fā)點(diǎn). 定理設(shè)X和Y是兩個(gè)度量空間，f:X-Y以及心€X.貝U下述條件 (1) 和(2)分別等價(jià)于條件(1)*和(2)*: (1) f在點(diǎn)九處是連續(xù)的； (1) *f(陽)的每一個(gè)鄰域的原象是九的一個(gè)鄰域； (2) f是連續(xù)的； (2) *Y中的每一個(gè)開集的原象是X中的一個(gè)開集. 證明條件(1)蘊(yùn)涵(1)*:設(shè)(1)成立.令U為f(')的一個(gè)鄰域.根據(jù)定理,f(T)有一個(gè)球形鄰域B(f('),&)包

15、含于U.由于f在點(diǎn)'處是連續(xù)的，所以有一個(gè)球形鄰域B(',S)使得f(B(',S))—B(f(〔)，￡).然而，―(B(f （\,￡）—「?（U）,所以B（',$）_「?（U）,這證明「'（U）是〔的一個(gè)鄰域. 條件（1）*蘊(yùn)涵（1）.設(shè)條件（1）*成立?任意給定f）的一個(gè)鄰域B（f（?：i）,￡），則―（B（f（」），￡）是'的一個(gè)鄰域.根據(jù)定理,'有一個(gè)球形鄰域B（',S）包含于 1（B（f「），￡）. 因此f（BcI,S））_B（f（〔），￡）.這證明f在點(diǎn)處連續(xù). 條件（2）蘊(yùn)涵（2）*.設(shè)條件（2）成立.令V為丫中的一個(gè)開集， 1（V）.對于每一個(gè)x€U,我們有f（x）€

16、V由于V是一個(gè)開集，所以V是f（x）的一個(gè)鄰域?由于f在每一點(diǎn)處都連續(xù)，故根據(jù)（1）*,U是x的一個(gè)鄰域.于是有包含x的某一個(gè)開集Ux使得Ux_U.易見U=Ux€UUx由于每一個(gè)Ux都是開集，根據(jù)定理,U是一個(gè)開集. 條件（2）*蘊(yùn)涵（2）.設(shè)（2）*成立，對于任意x€X,設(shè)U是f（x）的一個(gè)鄰域，即存在包含f（x）的一個(gè)開集V_U?從而x€「'（V）_「（U）?根據(jù)條件（2）*,/'（V）是一個(gè)開集，所以「'（U）是x的一個(gè)鄰域，對于x而言，條件（1）*成立，于是f在點(diǎn)x處連續(xù).由于點(diǎn)x是任意選取的，所以f是一個(gè)連續(xù)映射. 從這個(gè)定理可以看出：度量空間之間的一個(gè)映射是否是連續(xù)的，或者在某

17、一點(diǎn)處是否是連續(xù)的，本質(zhì)上只與度量空間中的開集有關(guān)（注意，鄰域是通過開集定義的）.這就導(dǎo)致我們甩開度量這個(gè)概念，參照度量空間中開集的基本性質(zhì)（定理）建立拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射的概念 作業(yè)： P471.2.3.4. §2.2拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射 本節(jié)重點(diǎn)： 拓?fù)渑c拓?fù)淇臻g的概念，并在此空間上建立起來的連續(xù)映射的概念注意區(qū)別： 拓?fù)淇臻g的開集與度量空間開集的異同；連續(xù)映射概念的異同. 現(xiàn)在我們遵循前一節(jié)末尾提到的思路，即從開集及其基本性質(zhì)（定理）出發(fā)來建立拓?fù)淇臻g的概念. 定義設(shè)X是一個(gè)集合，t是X的一個(gè)子集族?如果t滿足如下條件： （l）X,0€t； （2）若A,B€

18、T，則AHB€t; （3）若Dg匕的朕T 則稱T是X的一個(gè)拓?fù)? 如果T是集合X的一個(gè)拓?fù)?，則稱偶對（X,T）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，或稱集合X是一個(gè)相對于拓?fù)銽而言的拓?fù)淇臻g；此外T的每一個(gè)元素都叫做拓?fù)淇臻g（X，T）或（X）中的一個(gè)開集?即：A€T：A是開集. （此定義與度量空間的開集的性質(zhì)一樣嗎？留給大家思考） 經(jīng)過簡單的歸納立即可見，以上定義中的條件（2）蘊(yùn)涵著：有限多個(gè)開集的交仍是開集，條件（3）蘊(yùn)涵著：任意多個(gè)開集的并仍是開集. 現(xiàn)在首先將度量空間納入拓?fù)淇臻g的范疇. 定義222 設(shè)（X,p）是一個(gè)度量空間?令亠」為由X中的所有開集構(gòu)成的集族?根據(jù)定理， 成的集族?根

19、據(jù)定理， （X,閃）是X的一個(gè)拓?fù)?我們稱 為X的由 度量p誘導(dǎo)出來的拓?fù)?此外我們約定：如果沒有另外的說明，我們提到度量空間（X,p）的拓?fù)鋾r(shí)，指的就是拓?fù)湔?；在稱度量空間（x,p）為拓?fù)淇臻g時(shí)，指的就是拓?fù)淇臻g（X,--） 因此，實(shí)數(shù)空間R,n維歐氏空間（特別，歐氏平面1）,Hilbert空間H都可以叫做拓?fù)淇臻g，它們各自的拓?fù)浔闶怯衫?，例和例中定義的各自的度量所誘導(dǎo)出來的拓?fù)? 例平庸空間. 設(shè)X是一個(gè)集合?令T={X,二}?容易驗(yàn)證，T是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的平庸拓?fù)?并且我們稱拓?fù)淇臻g（X,T）為一個(gè)平庸空間.在平庸空間（X,T）中，有且僅有兩個(gè)開集，即X本身和空集二.

20、 例離散空間. 設(shè)X是一個(gè)集合?令T=P（X）,即由X的所有子集構(gòu)成的族?容易驗(yàn)證，T是X的一個(gè)拓?fù)洌Q之為X的離散拓?fù)?；并且我們稱拓?fù)淇臻g（X,T）為一個(gè)離散空間.在離散空間（X,T）中，X的每一個(gè)子集都是開集. 例設(shè)X={a,b,c}?令T={二,{a},{a,b},{a,b,c}}. 容易驗(yàn)證，T是X的一個(gè)拓?fù)洌虼耍╔,T）是一個(gè)拓?fù)淇臻g.這個(gè)拓?fù)淇臻g既不是平庸空間又不是離散空間. 例224有限補(bǔ)空間. 設(shè)X是一個(gè)集合.首先我們重申：當(dāng)我們考慮的問題中的基礎(chǔ)集自明時(shí)，我們并不每次提起.因此在后文中對于X的每一個(gè)子集A，它的補(bǔ)集X—A我們寫為一〔.令 T={U_X|「是X的

21、一個(gè)有限子集}U{} 先驗(yàn)證T是X的一個(gè)拓?fù)洌? （1）X€T（因?yàn)橐?二）；另外，根據(jù)定義便有二€T. （2）設(shè)A,B€T如果A和B之中有一個(gè)是空集，則AHB€T,假定A和B都不是空集.這時(shí)'J'1-一是X的一個(gè)有限子集，所以AHB€T. （3）設(shè)?.令■'1"■:：',顯然有U的/=。的/ 如果_:''，則%,如,0￡丁 設(shè)I二’：任意選取二二一-.這時(shí)'^：/出是X的一個(gè)有限子集，所以 根據(jù)上述（1），（2）和（3），P是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的有限補(bǔ)拓?fù)?拓?fù)淇臻g（X，P）稱為一個(gè)有限補(bǔ)空間. 例可數(shù)補(bǔ)空間. 設(shè)X是--個(gè)集合.令 T={U—X|「是X的一個(gè)可數(shù)子集}

22、U{} 通過與例中完全類似的做法容易驗(yàn)證（請讀者自證）T是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的可數(shù)補(bǔ)拓?fù)?拓?fù)淇臻g（X,T）稱為一個(gè)可數(shù)補(bǔ)空間. 一個(gè)令人關(guān)心的問題是拓?fù)淇臻g是否真的要比度量空間的范圍更廣一點(diǎn)？換句話就是問：是否每一個(gè)拓?fù)淇臻g的拓?fù)涠伎梢杂赡骋粋€(gè)度量誘導(dǎo)出 來？ 定義223設(shè)（X，P）是一個(gè)拓?fù)淇臻g?如果存在X的一個(gè)度量p使得拓?fù)銹即是由度量p誘導(dǎo)出來的拓?fù)?，則稱（X,P）是一個(gè)可度量化空 根據(jù)這個(gè)定義，前述問題即是：是否每一個(gè)拓?fù)淇臻g都是可度量化空間？從§2.1中的習(xí)題2和3可以看出，每一個(gè)只含有限個(gè)點(diǎn)的度量空間作為拓?fù)淇臻g都是離散空間?然而一個(gè)平庸空間如果含有多于一個(gè)點(diǎn)

23、的話，它肯定不是離散空間，因此它不是可度量化的；例中給出的那個(gè)空間只含有三個(gè)點(diǎn)，但不是離散空間，也不是可度量化的?由此可見，拓?fù)淇臻g是比可度量空間的范圍要廣泛.進(jìn)一步的問題是滿足一些什么條件的拓?fù)淇臻g是可度量化的？這是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中的重要問題之一，以后我們將專門討論. 現(xiàn)在我們來將度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射. 定義設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:XfY.如果Y中每一個(gè)開集U的原象」廠"（U）是X中的一個(gè)開集，則稱f是X到丫的一個(gè)連續(xù)映射，或簡稱映射f連續(xù). 按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射，明顯是受到了§2.1中的定理的啟發(fā)?并且那個(gè)定理也保證了：當(dāng)X和丫是兩

24、個(gè)度量空間時(shí)，如果f:XfY是從度量空間X到度量空間Y的一個(gè)連續(xù)映射，那么它也是從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻g丫的一個(gè)連續(xù)映射，反之亦然.（按照約定，涉及的拓?fù)洚?dāng)然都是指誘導(dǎo)拓?fù)洌? 下面的這個(gè)定理盡管證明十分容易，但所指出的卻是連續(xù)映射的最重要的性質(zhì). 定理設(shè)X,丫和Z都是拓?fù)淇臻g?則 (1) 恒同映射：L:X—X是一個(gè)連續(xù)映射； (2) 如果f:X—Y和g:Y—Z都是連續(xù)映射，則gof:X—Z也是連續(xù)映射.證明(I)丸「，所以'連續(xù). (2) 設(shè)f:X—Y,g:Y—Z都是連續(xù)映射匸壯爲(wèi)北叮尸娜"廠(尹(◎E耳 這證明gof連續(xù). 在數(shù)學(xué)科學(xué)的許多學(xué)科中都要涉及兩類基本對象.如在線性代數(shù)

25、中我們考慮線性空間和線性變換，在群論中我們考慮群和同態(tài)，在集合論中我們考慮集合和映射，在不同的幾何學(xué)中考慮各自的圖形和各自的變換等等.并且對于后者都要提出一類來予以重視，例如線性代數(shù)中的(線性)同構(gòu)，群論中的同構(gòu),集合論中的一一映射，以及初等幾何學(xué)中的剛體運(yùn)動(即平移加旋轉(zhuǎn))等等. 我們現(xiàn)在已經(jīng)提出了兩類基本對象，即拓?fù)淇臻g和連續(xù)映射.下面將從連續(xù)映射中挑出重要的一類來給予特別的關(guān)注. 定義設(shè)X和丫是兩個(gè)拓?fù)淇臻g.如果f:X—Y是一個(gè)一一映射,并且f和Z'1:Y—X都是連續(xù)的，則稱f是一個(gè)同胚映射或同胚. 定理設(shè)X,丫和Z都是拓?fù)淇臻g.則 (1) 恒同映射L:X—X是一個(gè)同胚； (2

26、) 如果f:X—Y是一個(gè)同胚，貝1:Y—X也是一個(gè)同胚; (3) 如果f:X^Y和g:Y^Z都是同胚，貝Ugof:X^Z也是一個(gè)同胚.證明以下證明中所涉及的根據(jù)，可參見定理,定理I.5.3和定理1.5.4. (I)I是一個(gè)一一映射，并且vt'，都是連續(xù)的，從而'是同胚. (2) 設(shè)f:X^Y是一個(gè)同胚.因此f是一個(gè)一一映射，并且f和」1都是連續(xù)的.于是：'也是一個(gè)一一映射并且「'和「「一「也都是連續(xù)的，所以「'也是一個(gè)同胚. (3) 設(shè)f:X^Y和g:Y-Z都是同胚.因此f和g都是一一映射，并且f，1，g和J都是連續(xù)的.因此gof也是一一映射，并且gof和:廠廠：丁都是連續(xù)的.所以go

27、f是一個(gè)同胚. 定義設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g.如果存在一個(gè)同胚f:X-Y,則稱拓?fù)淇臻gX與拓?fù)淇臻g丫是同胚的，或稱X與丫同胚，或稱X同胚于丫. 粗略地說，同胚的兩個(gè)空間實(shí)際上便是兩個(gè)具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間. 定理設(shè)X,丫和Z都是拓?fù)淇臻g.則 (1) X與X同胚； (2) 如來X與丫同胚，貝U丫與X同胚； (3) 如果X與丫同胚，丫與Z同胚，貝UX與Z同胚.證明從定理直接得到. 根據(jù)定理，我們可以說：在任意給定的一個(gè)由拓?fù)淇臻g組成的族中，兩個(gè)拓?fù)淇臻g是否同胚這一關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.因而同胚關(guān)系將這個(gè)拓?fù)淇臻g族分為互不相交的等價(jià)類，使得屬于同一類的拓?fù)淇臻g彼此同胚，屬于不同類的拓?fù)淇臻g

28、彼此不同胚. 拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)P,如果為某一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有，則必為與其同胚的任何一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有，則稱此性質(zhì)P是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)?換言之，拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)即為同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì). 拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì). 至此我們已經(jīng)做完了將數(shù)學(xué)分析中我們熟知的歐氏空間和歐氏空間之間的連續(xù)函數(shù)的概念，經(jīng)由度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射，一直抽象為拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射這樣一個(gè)在數(shù)學(xué)的歷史上經(jīng)過了很長的一段時(shí)期才完成的工作.在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中對所研究的問題不斷地加以抽象這種做法是屢見不鮮的，但每一次的抽象都是把握住舊的研究對象（或其中的某一個(gè)方面）的精粹而進(jìn)行的一次提升

29、，是一個(gè)去粗取精的過程.也正因?yàn)槿绱?新的概念和理論往往有更多的包容. 拓?fù)鋵W(xué)無疑也是如此，一方面它使我們對“空間”和“連續(xù)”有更為純正的認(rèn)識，另一方面也包含了無法列入以往的理論中的新的研究對象（特別是許多無法作為度量空間處理的映射空間）?這一切讀者在學(xué)習(xí)的過程中必然會不斷地加深體會. 作業(yè)： P552,5,6,8,9,10§2.3鄰域與鄰域系 本節(jié)重點(diǎn)： 掌握鄰域的概念及鄰域的性質(zhì)； 掌握連續(xù)映射的兩種定義； 掌握證明開集與鄰域的證明方法（今后證明開集常用定理） 我們在數(shù)學(xué)分析中定義映射的連續(xù)性是從“局部”到“整體”的，也就是說先定義映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性，然后再定義這個(gè)映射

30、本身的連續(xù)性.然而對于拓?fù)淇臻g的映射而言，先定義映射本身的連續(xù)性更為方便，所以我們先在§2.2中做好了；現(xiàn)在輪到給出映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性的定義了.在定理中我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，為此只要有一個(gè)適當(dāng)?shù)姆Q之為“鄰域”的概念，而在§2.1中定義度量空間的鄰域時(shí)又只用到“開集”.因此我們先在拓?fù)淇臻g中建立鄰域的概念然后再給出映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性的概念，這些概念的給出一點(diǎn)也不會使我們感到突然. 定義設(shè)（X，P）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x€X.如果U是X的一個(gè)子集，滿足條件：存在一個(gè)開集V€P使得x€V_U,則稱U是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域.點(diǎn)x的所有鄰域構(gòu)成的x的子集族稱為點(diǎn)x的鄰域系.易見，如果U是包含著點(diǎn)x的一個(gè)開集，那

31、么它一定是x的一個(gè)鄰域，于是我們稱U是點(diǎn)x的一個(gè)開鄰域. 首先注意，當(dāng)我們把一個(gè)度量空間看作拓?fù)淇臻g時(shí)（這時(shí)，空間的拓?fù)涫怯啥攘空T導(dǎo)出來的拓?fù)洌?，一個(gè)集合是否是某一個(gè)點(diǎn)的鄰域，無論是按§2.1中的定義或者是按這里的定義，都是一回事. 定理拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集U是開集的充分必要條件是U是它的每一點(diǎn)的鄰域，即只要x€U,U便是x的一個(gè)鄰域. 證明定理中條件的必要性是明顯的.以下證明充分性.如果U是空集二，當(dāng)然U是一個(gè)開集.下設(shè)UM二.根據(jù)定理中的條件， 故：，根據(jù)拓?fù)涞亩x，U是一個(gè)開集. 定理概括了鄰域系的基本性質(zhì). 定理232設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g?記"x為點(diǎn)x€X的鄰域系?貝（1）對

32、于任何x€X,S工0;并且如果U€?，則x€U; (2)如果U, V€S，貝UUPV€S； (3)如果U€ 6并且UUV,貝UV€； （4）如果U€S，則存在V€S滿足條件：（a）V匚U和（b）對于任何y€V,有V€S. 證明（1）丄X,X€P,二X€厶，???厶工二且由定義,如果U€二，貝Ux€U （2）設(shè)U,V€J則存在U.-」€P和X€P使得--和"i.-'成立.從而我們有■--.-L'」-=「???UPV€（3）設(shè)u€上，并且：■--二…「二「一二一I仁」 （4）設(shè)U€厶.令V€P滿足條件/-?.V已經(jīng)滿足條件（a）,根據(jù)定理，它也滿足條件（b）. 以下定理表明，

33、我們完全可以從鄰域系的概念出發(fā)來建立拓?fù)淇臻g理論，這種做法在點(diǎn)集拓?fù)浒l(fā)展的早期常被采用.這種做法也許顯得自然一點(diǎn)，但不如現(xiàn)在流行的從開集概念出發(fā)定義拓?fù)鋪淼煤啙? 定理設(shè)X是一個(gè)集合.又設(shè)對于每一點(diǎn)x€X指定了x的一個(gè)子集族5，并且它們滿足定理中的條件（1）?（4）.則x有惟一的一個(gè)拓?fù)銽使得對于每一點(diǎn)x€X，子集族“X恰是點(diǎn)x在拓?fù)淇臻g（X，P）中的鄰域系.（證明略） 現(xiàn)在我們來將度量空間之間的連續(xù)映射在一點(diǎn)處的連續(xù)性的概念推廣到拓?fù)淇臻g之間的映射中去. 定義232設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X-Y,x€X.如果f(x)€Y的每一個(gè)鄰域U的原象「(U)是x€X的一個(gè)鄰域，貝U稱映射f是

34、一個(gè)在點(diǎn)x處連續(xù)的映射，或簡稱映射f在點(diǎn)x處連續(xù). 與連續(xù)映射的情形一樣，按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性也明顯地是受到了§2.1中的定理的啟發(fā).并且該定理也保證 了：當(dāng)X和Y是兩個(gè)度量空間時(shí)，如果f:X-Y是從度量空間X到度量空間Y的一個(gè)映射，它在某一點(diǎn)x€X處連續(xù)，那么它也是從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻g丫的一個(gè)在點(diǎn)x處連續(xù)的映射；反之亦然. 這里我們也有與定理類似的定理. 定理設(shè)X,丫和Z都是拓?fù)淇臻g.則 (1) 恒同映射L:X-X在每一點(diǎn)x€X處連續(xù)； (2) 如果f:X-Y在點(diǎn)x€X處連續(xù)，g:Y-Z在點(diǎn)f(x)處連續(xù)，則gof:X-Z在x處連續(xù). 證明請讀者

35、自己補(bǔ)上. 以下定理則建立了“局部的”連續(xù)性概念和“整體的”連續(xù)性概念之間的聯(lián)系. 定理設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X-Y.貝U映射f連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對于每一點(diǎn)x€X,映射f在點(diǎn)x處連續(xù). 證明必要性：設(shè)映射f連續(xù)， 這證明f在點(diǎn)X處連續(xù). 充分性：設(shè)對于每一點(diǎn)x€X,映射f在點(diǎn)x處連續(xù). 廣（U\Ue—紆戶je久八廠?）eTx 這就證明了f連續(xù). 作業(yè)： 掌握證明一個(gè)子集是鄰域的方法，掌握證明一個(gè)映射是否連續(xù)的方法. §2.4導(dǎo)集，閉集，閉包 本節(jié)重點(diǎn)： 熟練掌握凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、閉集、閉包的概念；區(qū)別一個(gè)點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉包的概念上的不同；掌握一個(gè)點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉集或閉包的充要條

36、件;掌握用“閉集”敘述的連續(xù)映射的充要條件. 如果在一個(gè)拓?fù)淇臻g中給定了一個(gè)子集，那么拓?fù)淇臻g中的每一個(gè)點(diǎn)相對于這個(gè)子集而言“處境”各自不同，因此可以對它們進(jìn)行分類處理. 定義設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，ACX.如果點(diǎn)x€X的每一個(gè)鄰域U中都有A中異于x的點(diǎn)，即Un（A-{x}）工0，則稱點(diǎn)x是集合A的一個(gè)凝聚點(diǎn)或極限點(diǎn).集合A的所有凝聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為A的導(dǎo)集，記作d（A）?如果x€A并且x不是A的凝聚點(diǎn)，即存在x的一個(gè)鄰域U使得Un（A-{x}）=I 訥，則稱x為A的一個(gè)孤立點(diǎn). 即:（牢記）x^d(A)^3UeUXfUr\(A-(^)=0 在上述定義之中，凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、以及孤立點(diǎn)的定義

37、無一例外地都依賴于它所在的拓?fù)淇臻g的那個(gè)給定的拓?fù)?因此，當(dāng)你在討論問題時(shí)涉及了多個(gè)拓?fù)涠终劦侥硞€(gè)凝聚點(diǎn)時(shí)，你必須明確你所談的凝聚點(diǎn)是相對于哪個(gè)拓?fù)涠?，不容許產(chǎn)生任何混淆?由于我們將要定義的許多概念絕大多數(shù)都是依賴于給定拓?fù)涞模虼祟愃朴谶@里談到的問題今后幾乎時(shí)時(shí)都會發(fā)生，我們不每次都作類似的注釋，而請讀者自己留心. 某些讀者可能已經(jīng)在諸如歐氏空間中接觸過剛剛定義的這些概念，但絕不要以為對歐氏空間有效的性質(zhì)，例如歐氏空間中凝聚點(diǎn)的性質(zhì)，對一般的拓?fù)淇臻g都有效?以下兩個(gè)例子可以幫助讀者澄清某些不正確的潛在印象. 例241離散空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集. 設(shè)X是一個(gè)離散空間，A是X中的一個(gè)

38、任意子集.由于X中的每一個(gè)單點(diǎn)集都是開集，因此如果x€X,則X有一個(gè)鄰域｛X｝，使得上…二匸.二皿丄，以上論證說明，集合A沒有任何一個(gè)凝聚點(diǎn)，從而A的導(dǎo)集是空集，即d(A)=二. 例平庸空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集. 設(shè)X是一個(gè)平庸空間，A是X中的一個(gè)任意子集.我們分三種情形討論： 第1種情形：A二二.這時(shí)A顯然沒有任何一個(gè)凝聚點(diǎn)，亦即d(A)二.(可以參見定理中第(I)條的證明.) 第2種情形：A是一個(gè)單點(diǎn)集，令A(yù)=「」｝如果x€X,x^J，點(diǎn)x只有惟一的一個(gè)鄰域X,這時(shí)….二上’二「，所以」丁;因此x 是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)，即x€d(A).然而對于；I的惟一鄰域X有： “上-I-u■r

39、—所以d（A）=X-A. 第3種情形：A包含點(diǎn)多于一個(gè).請讀者自己證明這時(shí)X中的每一個(gè)點(diǎn)都是A的凝聚點(diǎn)，即d（A）=X. 定理241設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A_X.貝U(I)d(■_-)=■_-; (2) A_B蘊(yùn)涵d(A)_d(B);d(AUB)=d(A)Ud(B); (3) d(d(A))_AUd(A). 證明(1)由于對于任何一點(diǎn)x€X和點(diǎn)x的任何一個(gè)鄰域U,有un--'」設(shè)A_B.如果；=-：匚二 ■'匚一V；2口--：'F這證明了d(A)_d(B). (2) 根據(jù)(2),因?yàn)锳,B_AUB,所以有d(A),d(B)_d(AUB),從而d(A)Ud(B)_d(AUB) 另一

40、方面，如果=>D =>D (3UeU.sUr>(A-(x))=0e27,37n(^-{x})-03Dn(AuB-(x))-Dn((j4-{x))u(B-(>})) 三（￡）門（衛(wèi)-｛方））匕（。門（￡-｛力））^（Un（A--（x）y）=0 綜上所述，可見（3）成立.（這是證明一個(gè)集合包含于另一個(gè)集合的另一方法:要證』一，只要證心「i-'-二即可.）設(shè): 心皿）彳:爲(wèi)f腫"{耐0 ^veu,,veT9卩匚巴=產(chǎn)門（蟲—閔）==0 =>Vyer,^n(J4-{y))=0v^e7/.re^/.^^^(A =>Vc\d{A)■0AFn(rf(4)-{x))=0即（4）

41、即（4） .；x毎d(df/4))nd(d(川))u(占)成立. 定義設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A_X.如果A的每一個(gè)凝聚點(diǎn)都屬于A,即d（A）_A,則稱A是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)閉集. 例如，根據(jù)例241和例中的討論可見，離散空間中的任何一個(gè)子集都是閉集，而平庸空間中的任何一個(gè)非空的真子集都不是閉集. 定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A_X.則A是一個(gè)閉集，當(dāng)且僅當(dāng)A的補(bǔ)集二是一個(gè)開集. 證明必要性：設(shè)A是一一個(gè)閉集VxeXr,=>睥cA ：\x^d（A）,^>3UeU^Un{A-{x））-0:.UnA=0r^UcA\^AfeT 充分性：設(shè)： .r^（A）cA即A是一個(gè)閉集. 例實(shí)數(shù)空間R中

42、作為閉集的區(qū)間. 設(shè)a，b€R,avb.閉區(qū)間［a，b］是實(shí)數(shù)空間R中的一個(gè)閉集，因?yàn)椋踑，b］的補(bǔ)集I丄討=（-%，a）n（b,x）是一個(gè)開集. 同理，(-g,a],[b,x)都是閉集，(-8,s)=R顯然更是一個(gè)閉集?然而開區(qū)間(a,b)卻不是閉集，因?yàn)閍是(a,b)的一個(gè)凝聚點(diǎn)，但aA(a，b).同理區(qū)間(a,b],[a,b),(-g,&)和(b,g)都不是閉集. 定理243設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g?記F為所有閉集構(gòu)成的族?貝X,二€F (1) 如果A,B€F,則AUBEF(從而如果-亠」---.-') (2) 如果二工『二—… 在此定理的第(3)條中，我們特別要求二M'i的原因在

43、于當(dāng) =二時(shí)所涉及的交運(yùn)算沒有定義. 證明根據(jù)定理，我們有T={_|U€F}其中，T為X的拓?fù)? (1) vX,二€「???-廠工二廠“(2)若A、B€F,則 A\BieTl=>Air}B,eTfAuB=A"uB^(A/nBTEF令： nHjkjj'==(U軸AyeF定理證明完成. 總結(jié)：(1)有限個(gè)開集的交是開集，任意個(gè)開集的并是開集?其余情形 不一定. (2) 有限個(gè)閉集的并是閉集，任意個(gè)閉集的交是閉集?其余情形不一定. 定義243設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A_X,集合A與A的導(dǎo)集d(A)的并AUd(A)稱為集合A的閉包,記作一或二 容易看出，‘?—八■'■■：：'(注意：與

44、x€d(A)的區(qū)別) 定理244拓?fù)淇臻gX的子集A是閉集的充要條件是A=/l 證明：定理成立是因?yàn)椋杭螦為閉集當(dāng)且僅當(dāng)d(A)_A而這又當(dāng)且僅當(dāng)A=AJd(A) 定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,則對于任意A,B€X,有: (2)成立是根據(jù)閉包的定義. (3) 成立是因?yàn)锳uB5(A)q (丄5(&23AuB (4) 成立是因?yàn)? =AJd(A)Jd(d(A))=AJd(A)=」 在第(3)條和第(4)條的證明過程中我們分別用到了定理中的第 (3) 條和第(4)條. 定理246拓?fù)淇臻gX的任何一個(gè)子集A的閉包』都是閉集. 證明根據(jù)定理244和定理245（4）直接推得.

45、 定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，F(xiàn)是由空間X中所有的閉某構(gòu)成的族，則對于X的每一個(gè)子集A,有 即集合A的閉包等于包含A的所有閉集之交. 證明因?yàn)锳包含于T壬一:丄，而后者是一個(gè)閉集，由定理245（4）與定理 有」二.:…r 另一方面，由于」是一個(gè)閉集，并且忙二一：，所以-I“交”包含于形成交的任一個(gè)成員） 綜合這兩個(gè)包含關(guān)系，即得所求證的等式. 由定理可見，X是一個(gè)包含著A的閉集，它又包含于任何一個(gè)包含A的閉集之中，在這種意義下我們說：一個(gè)集合的閉包乃是包含著這個(gè)集合的最小的閉集. 在度量空間中，集合的凝聚點(diǎn)，導(dǎo)集和閉包都可以通過度量來刻畫. 定義設(shè)（X，p）一個(gè)度量空間.X中的點(diǎn)

46、x到X的非空子集A的距離p（x，A）定義為p（x，A）=inf{p（x，y）|y€A} 根據(jù)下確界的性質(zhì)以及鄰域的定義易見：p（x,A）二0當(dāng)且僅當(dāng)對于任意實(shí)數(shù)&>0,存在y€A使得p（x，y）<￡，換言之即是：對于任意B（x， &)有b(x,￡)n—，而這又等價(jià)于：對于x的任何一個(gè)鄰域u有unA—,應(yīng)用以上討論立即得到. 定理249設(shè)A是度量空間(X,p)中的一個(gè)非空子集?則x€d(A)當(dāng)且僅當(dāng)p(x,A-{x})=0; (1) x€」當(dāng)且僅當(dāng)p(x,A)=0. 以下定理既為連續(xù)映射提供了等價(jià)的定義，也為驗(yàn)證映射的連續(xù)性提供了另外的手段. 定理2410設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:

47、X-Y?則以下條件等價(jià)： (I)f是一個(gè)連續(xù)映射； (2) 丫中的任何一個(gè)閉集B的原象「'(B)是一個(gè)閉集；對于X中的任何一個(gè)子集A,A的閉包的象包含于A的象的閉包，即；-!'； (3) 對于Y中的任何一個(gè)子集B,B的閉包的原象包含B的原象的閉包，即廠0)=)尸鬲. 證明(1)蘊(yùn)涵(2).設(shè)B—Y是一個(gè)閉集.則-是一個(gè)開集，因此根據(jù)(1),「「1是X中的一個(gè)開集，因此「(B)是X中的一個(gè)閉集. ⑵蘊(yùn)涵(3)設(shè)A：-X.由于f(A)|j''⑴’*''''',根據(jù)(2),貝成立. ⑶蘊(yùn)涵⑷設(shè)A—Y集合「1b)—X應(yīng)用(3)即得f屮⑻}CAT価）uPn廠迪）Dr\B） （4）蘊(yùn)涵（I）

48、.設(shè)U是Y中的一個(gè)開集.則「'是Y中的一個(gè)閉集.對此集合應(yīng)用（4） 可見： 廣0）cmJV：孑莎□廣0=n . 總結(jié)一下，到目前為止，證明映射連續(xù)的方法有幾種？證明一個(gè)子集是開集閉集的方法有幾種？如何證明一個(gè)點(diǎn)是某個(gè)子集的凝聚點(diǎn)？ 作業(yè)： P691.2§2.6基與子基 本節(jié)重點(diǎn): 掌握基與子基的概念，點(diǎn)的鄰域與基之間的關(guān)系; 掌握基、子基與開集的關(guān)系； 掌握如何用基表示開集. 在討論度量空間的拓?fù)涞臅r(shí)候，球形鄰域起著基本性的重要作用.一方面,每一個(gè)球形鄰域都是開集，從而任意多個(gè)球形鄰域的并也是開集；另一方面，假設(shè)U是度量空間X中的一個(gè)開集.則對于每一個(gè)x€U有一個(gè)球形鄰域

49、B（x，&）—u,因此-1■'J'.這就是說，一個(gè)集合是某度量空間中的一個(gè)開集當(dāng)且僅當(dāng)它是這個(gè)度量空間中的若干個(gè)球形鄰域的并?因此我們可以說，度量空間的拓?fù)涫怯伤乃械那蛐梧徲蛲ㄟ^集族求并這一運(yùn)算“產(chǎn)生”出來的.留意了這個(gè)事實(shí)，下面在拓?fù)淇臻g中提出“基”這個(gè)概念就不會感到突然了. 定義261設(shè)（X,T）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，B是T的一個(gè)子族.如果T中的每一個(gè)元素（即拓?fù)淇臻gX中的每一個(gè)開集）是B中某些元素的并，即對于每一個(gè)U€T，存在■1'使得 則稱B是拓?fù)銽的一個(gè)基，或稱B是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)基. 按照本節(jié)開頭所作的論證立即可得： 定理一個(gè)度量空間中的所有球形鄰域構(gòu)成的集族是這個(gè)度量空間作

50、為拓?fù)淇臻g時(shí)的一個(gè)基. 特別地，由于實(shí)數(shù)空間R中所有開區(qū)間構(gòu)成的族就是它的所有球形鄰域構(gòu)成的族，因此所有開區(qū)間構(gòu)成的族是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)基. 至于離散空間，它有一個(gè)最簡單的基，這個(gè)基由所有的單點(diǎn)子集構(gòu)成. 下面的定理為判定某一個(gè)開集族是否是給定的拓?fù)涞囊粋€(gè)基提供了一個(gè)易于驗(yàn)證的條件. 定理設(shè)B是拓?fù)淇臻g（X，T）的一個(gè)開集族（即），則B是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)基當(dāng)且僅當(dāng)對于每一個(gè)x€X和x的每一個(gè)鄰域 證明設(shè)b是x的一個(gè)基，貝u丘x’FUx丘人m嘰已Tq憶匚S根據(jù)基的定義, 可知存在」"二二注:匸匚： 這證明B滿足定理中的條件. 另一方面，設(shè)定理中的條件成立.如果U是X中的一個(gè)開集，

51、則對于每-個(gè)x€U,'Ue%：3Fre亦=U^W匚Uw兀cU 因此，U是B中某些元素之并，從而B是X的一個(gè)基. 在度量空間中，通過球形鄰域確定了度量空間的拓?fù)?，這個(gè)拓?fù)湟匀w球形鄰域構(gòu)成的集族作為基.是否一個(gè)集合的每一個(gè)子集族都可以確定一個(gè)拓?fù)湟运鼮榛看鸢甘欠穸ǖ?以下定理告訴我們一個(gè)集合的什么樣的子集族可以成為它的某一個(gè)拓?fù)涞幕? 定理263設(shè)X是一個(gè)集合，B是集合X的一個(gè)子集族（即B_P（X））.如果B滿足條件： （1）一「_r;(2) (2) 如果匚rL二,則對于任何 Z6$鬥玄,羽€為疋/匚耳門玄 則X的子集族 T={U_X|存在二_丄’使得-} 是集合X的惟

52、一的一個(gè)以B為基的拓?fù)洌环粗?，如果X的一個(gè)子集族B是X的某一個(gè)拓?fù)涞幕?，則B一定滿足條件（I）和（2）. 值得注意的是，如果集合X的子集族B滿足條件：對于任意"-匸€B,有…八€B.這時(shí)，B必然滿足條件（2）.這種情形經(jīng)常遇到. 證明設(shè)X的子集族B滿足條件（I）和（2）.我們先驗(yàn)證定理中給出的T是X的一個(gè)拓?fù)洌? （1）根據(jù)條件（1），X€T；由于-「」宀二，而二_B所以二€T. (2) 我們先驗(yàn)證：如果二"1€B,貝''j€T這是因?yàn)楦鶕?jù)條件 (2) ,對于每一個(gè)x€：''j,存在■-------一一，由于 '-I-J"；丨1」「1-"I'-I■-J—；：'：’現(xiàn)在 設(shè)人血丘丁二

53、迥‘血匚麗A?Uq諾謁q成立.因此 4na=(Uqe岔G)ndJcjejjg〉=uqgggng根據(jù)前說，上式中最后那個(gè)并集中的每一項(xiàng)都是B中某些元 素之并，所以’1山也是B中某些元素之并，因此■：「"；--設(shè)二?’則 -?止丁?'」_L二…二士二以上證明了T是集合X的一個(gè)拓?fù)?根據(jù)T的定義立即可見B是拓?fù)銽的一個(gè)基. 假設(shè)集合X還有一個(gè)拓?fù)洹敢訠為它的一個(gè)基.根據(jù)基的定義，任何一個(gè)A_「必為B中某些元素的并，所以A€T這證明「-T,另一方面，由于B—「，所以如果A€T則A是B中的某些元素之并，因此也是「中某些元素之并；由于「是一個(gè)拓?fù)?，所以A€「這又證明了T—「.因此T=「.這說明以B

54、為基的拓?fù)涫俏┮坏? 最后證明定理的后半段.設(shè)B是X的某一個(gè)拓?fù)銽*的一個(gè)基.由X€T*可知X必為B中的某些元素的并，故必為集族B之并.因此(1)成立.設(shè)和x€：.由于B—T*.：「〔是x的一個(gè)開鄰域，根據(jù)定理，存在-"使得 '二，這證明條件(2)成立. 在定義基的過程中我們只是用到了集族的并運(yùn)算，如果再考慮集合的有限交運(yùn)算(注意拓?fù)渲皇菍τ邢藿环忾]的，所以只考慮有限交)，便得到“子基”這個(gè)概念. 定義262設(shè)(X,T)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，「是T的一個(gè)子族.如果「的所有非空有限于族之交構(gòu)成的集族，即 B二何nS］鬥…nS.|$e(pj=1,2,"■耐 是拓?fù)銽的一個(gè)基，則稱集族「是拓?fù)?/p>

55、T的一個(gè)子基，或稱集族「是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子基. 例實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)子基. 實(shí)數(shù)集合R的一個(gè)子集族 「二{(a,%)|a€R}U{(-%,b)|b€R} 「是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)子基.這是因?yàn)?是實(shí)數(shù)空間的一個(gè)開集族，并且「的每一個(gè)有限非空子族之交的全體構(gòu)成的集族恰好就是所有有限開區(qū)間構(gòu) 成的族并上「再并上{二}，顯然它是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)基. 定理設(shè)X是一個(gè)集合，「是X的一個(gè)子集族(即'■-P(X)).如果則X有惟一的一個(gè)拓?fù)銽以「為子基.并且若令 B=僦nS)c門&|爲(wèi)e?二12jmeZJ 則了=2陽cB) 證明令B和T如定理中.容易驗(yàn)證B滿足定理中的條件(I)和(2)，因此根

56、據(jù)該定理，B是T的一個(gè)基，所以「是T的一個(gè)子基. 如果「是X的一個(gè)拓?fù)?，它以「為一個(gè)子基，貝肪根據(jù)子基的定義，「以B為基?根據(jù)定理263中的惟一性，我們有「=T 映射的連續(xù)性可以通過基或子基來驗(yàn)證?一般說來，基或子基的基數(shù)不大于拓?fù)涞幕鶖?shù)，所以通過基或子基來驗(yàn)證映射的連續(xù)性，有時(shí)可能會帶來很大的方便. 定理265設(shè)X和丫是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X-丫?則以下條件等價(jià)： （I）f連續(xù)； （2）拓?fù)淇臻g丫有一個(gè)基B,使得對于任何一個(gè)B€B,「'（B）是X中的一個(gè)開集；（3） 一個(gè)開集. 證明 個(gè)子基. 條件 求.根據(jù)定義, （3） 一個(gè)開集. 證明 個(gè)子基. 條件

57、求.根據(jù)定義, 丫有一個(gè)子基「，使得對于任何一個(gè)S€「原象1（S）是X中的條件（I）蘊(yùn)涵（3）是顯然的，因?yàn)檠镜耐負(fù)浔旧肀闶茄镜囊唬?）蘊(yùn)涵（2）.設(shè)「是丫的拓?fù)涞囊粋€(gè)子基，滿足（3）中的要 B=①c門&罔e砒=UeZJ 是丫的拓?fù)涞囊粋€(gè)基. 對于任何「八，i=1，2，,，n，其中n€「，我們有廣諂飛門…皿尸廣諂“廣（即門…門廠他）它是X中n€個(gè)開集之交，因此是X中的一個(gè)開集. 條件（2）蘊(yùn)涵（1）.設(shè)B是丫的拓?fù)涞囊粋€(gè)基，它滿足（2）中的要求.如果U是丫中的一個(gè)開集，則圳匚恥—U阿肌廠?嚴(yán)廠（U阿冊U阿廠価 是X中一族開集之并，所以是X中的一個(gè)開集?這證明f連續(xù). 對于局部情形

58、，也有類似于基和子基的概念. 定義263設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x€X.記」：為x的鄰域系?厶的子族J如果滿足條件：對于每一個(gè)U€'，存在，使得V_U,則稱：是點(diǎn)x的鄰域系的一個(gè)基，或簡稱為點(diǎn)x的一個(gè)鄰域基.'的子族匚如果滿足條件：’.每一個(gè)有限非空子族之交的全體構(gòu)成的集族，即h」■■一|“：匚.〔二_「是x的一個(gè)鄰域基，則稱此是點(diǎn) x的鄰域系的一個(gè)子基，或簡稱為點(diǎn)x的一個(gè)鄰域子基. 顯然，在度量空間中以某一個(gè)點(diǎn)為中心的全體球形鄰域是這個(gè)點(diǎn)的一個(gè)鄰域基；以某一個(gè)點(diǎn)為中心的全體以有理數(shù)為半徑的球形鄰域也是這個(gè)點(diǎn)的一個(gè)鄰域基. 鄰域基和鄰域子基的概念可以用來驗(yàn)證映射在一點(diǎn)處的連續(xù)性. 定理2

59、66設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X-Y，x€X. 則以下條件等價(jià)： (1) f在點(diǎn)x處連續(xù)； (2) f(x)有一個(gè)鄰域基51：，使得對于任何V€氣企；，原象：\v)是x的一個(gè)鄰域； (3) f(x)有一個(gè)鄰域子基弘)，使得對于任何W€'：，原象一—(W)是x的一個(gè)鄰域. 證明(略) 基與鄰域基，子基與鄰域子基有以下關(guān)聯(lián). 定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x€X.則(1)如果B是X的一個(gè)基，則 ={B€B|x€B}是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域基； (2)如果是X的一個(gè)子基，則代二{S€「|x€S} 是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域子基. 證明(略) 作業(yè)： P821.4.7§2.7拓?fù)淇臻g中的序列 本

60、節(jié)重點(diǎn): 掌握拓?fù)淇臻g中序列的概念，及極限點(diǎn)的概念； 掌握數(shù)學(xué)分析中的序列的性質(zhì)與拓?fù)淇臻g中的序列的性質(zhì)有何不同; 掌握不可數(shù)集中序列的特性； 掌握點(diǎn)集的凝聚點(diǎn)與序列的極限點(diǎn)的關(guān)系. 在讀者熟知的數(shù)學(xué)分析課程中，往往用序列收斂的概念作為出發(fā)點(diǎn)來刻畫集合的凝聚點(diǎn)，函數(shù)在某一點(diǎn)處的連續(xù)性等等.在這一節(jié)我們便會看到這種做法在一般的拓?fù)淇臻g中并不可行；而要使得它變?yōu)榭尚械?，則要對拓?fù)淇臻g加以適當(dāng)?shù)南拗?我們將來再研究這種限制加到什么程度為合適. 定義設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.每一個(gè)映射S--X,叫做X中的一個(gè)序列.我們常將序列s記作或者或者干脆記作廠二,其中:_.有時(shí)我們也將記號：簡化為「；｝，

61、但這時(shí)要警惕不要與單點(diǎn)集相混. 拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)序列實(shí)際上就是在X中按先后次序取到的一串點(diǎn)，這些點(diǎn)可能重復(fù).因此一個(gè)序列;;可以僅由有限個(gè)點(diǎn)組成，當(dāng)這個(gè)集合是單點(diǎn)集時(shí)，我們稱序列為一個(gè)常值序列. 定義設(shè)是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)序列，x€X.如果對于x的每一個(gè)鄰域U,存在M€■,使得當(dāng)i>M時(shí)有xi€U,則稱點(diǎn)x是序列 的一個(gè)極限點(diǎn)(或極限)，也稱為序列；--收斂于X,記作lim：=x或；—x(i 如果序列至少有一個(gè)極限，則稱這個(gè)序列是一個(gè)收斂序列. 拓?fù)淇臻g中序列的收斂性質(zhì)與以前我們在數(shù)學(xué)分析中熟悉的有很大的差別.例如，容易驗(yàn)證平庸空間中任何一個(gè)序列都收斂，并且收斂于這個(gè)空間中的任何一

62、個(gè)點(diǎn).這時(shí)極限的惟一性當(dāng)然無法保證了. 定義設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，S/■—X是X中的兩個(gè)序列.女口果存在一個(gè)嚴(yán)格遞增的映射N:-—「(即對于任意呵幾二,如果I小,則有N("l)vN(“2)，使得嶄=soN則稱序列$是序列S的一個(gè)子序列. 假如我們將此定義中的序列S記作；；那么序列丨自然可以記作 L二也就是說，序列?二第i個(gè)點(diǎn)恰是序列二，.第N(i)個(gè)點(diǎn). 我們已經(jīng)看到，我們以前熟悉的序列的性質(zhì)有許多對于拓?fù)淇臻g中的序列是不適合的.但總有一些性質(zhì)還保留著，其中最主要的可見于以下三個(gè)定理中. 定理設(shè)-是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)序列.貝U (1) 如果；：是一個(gè)常值序列，即對于某一個(gè)x€X,有I

63、=x,i€「，貝Ulim':=x； (2) 如果序列-收斂于x€X,則序列「的每一個(gè)子序列也收斂于x. 證明(略). 定理設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A_X,x€X.如果有一個(gè)序列…?在A-{x}中(此意即，對于每一個(gè)i€「有I€A-{x})，并且收斂于x，則x是集合A的一個(gè)凝聚點(diǎn). 證明設(shè)序列；；-在A-{x}中并且收斂于x.如果U是x的一個(gè)鄰域，則存在M€-卜使得'.l''.l-j_U，因此'.l''.l-j_UP(A-{x})，從而UP(A-{x})工.這證明x是A的一個(gè)凝聚點(diǎn). 例定理的逆命題不成立. 設(shè)X是一個(gè)不可數(shù)集，考慮它的拓?fù)錇榭蓴?shù)補(bǔ)拓?fù)洌@時(shí)X的一個(gè)子集是閉集當(dāng)且僅當(dāng)或者

64、它是X本身或者它是一個(gè)可數(shù)集.我們先指出可數(shù)補(bǔ)空間X 的兩個(gè)特征： (1)X中的一個(gè)序列收斂于x€X的充分必要條件是存在M€「使得當(dāng)i>M時(shí)，：=x. 條件的充分性是顯然的.以下證明必要性.設(shè)lim\=x由于集合-一……一二二是一個(gè)可數(shù)集，因此D的補(bǔ)集：是x的一個(gè)鄰域，從而存在M€'.使得當(dāng)i>M時(shí)有廠◎匚，此時(shí)必有.:=x. (2)如果A是X的一個(gè)不可數(shù)子集，則集合A的導(dǎo)集d(A)=X. 這是因?yàn)閄中任何一個(gè)點(diǎn)的任何一個(gè)鄰域中都包含著某一個(gè)非空開集，而拓?fù)淇臻gX中的每一個(gè)非空開集都是一個(gè)可數(shù)集的補(bǔ)集，所以任何一個(gè)點(diǎn)的任 何一個(gè)鄰域都是某一個(gè)可數(shù)集的補(bǔ)集.由于A是一個(gè)不可數(shù)集，它將

65、與任何一個(gè)點(diǎn)的任何一個(gè)鄰域有非空的交，因此X中任何一個(gè)點(diǎn)都是集合A的凝聚點(diǎn)，即d(A)=X. 現(xiàn)在我們來指出，在這個(gè)拓?fù)淇臻gX中，定理的逆命題不成立.設(shè)'€X.令A(yù)=X—{〔}，它是一個(gè)不可數(shù)集.根據(jù)(2)，我們有〔€d(A)，也就是說，［是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)；然而根據(jù)(1)，在A(=X-{:})中不可能有序列收斂于' 這個(gè)例子表明，在一般的拓?fù)淇臻g中不能像在數(shù)學(xué)分析中那樣通過序列收斂的性質(zhì)來刻畫凝聚點(diǎn). 定理設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X-Y.貝U (1)如果f在點(diǎn)'€X處連續(xù)，則X中的一個(gè)序列"收斂于1蘊(yùn)涵著丫中的序列 著丫中的序列 收斂于f(〔); ⑵如果f連續(xù)，則X中的一

66、個(gè)序列…收斂于x€X蘊(yùn)涵著Y中的序 收斂于f(x) 證明（1）設(shè)f在點(diǎn)'處連續(xù)，二是X中的一個(gè)收斂于的序列?如果U是f（'）的一個(gè)鄰域，貝U/（U）是'的一個(gè)鄰域?這時(shí)存在M€「使得當(dāng)i>m時(shí)有「■m（2）成立是因?yàn)檫B續(xù)即在每一點(diǎn)處連續(xù)（參見定理2.3.5）. 例定理的逆命題不成立. 現(xiàn)在設(shè)X是實(shí)數(shù)集合，并且考慮它的拓?fù)錇榭蓴?shù)補(bǔ)拓?fù)?考慮從拓?fù)淇臻gX到實(shí)數(shù)空間R的恒同映射i:XR由于如果拓?fù)淇臻gX中的序列…收斂于x€X,則有：存在M€：?使得當(dāng)i>M時(shí)有二x,因此此時(shí)序列J■在實(shí)數(shù)空間R中也收斂于x.這就是說映射i滿足定理 （1）或（2）中的后一個(gè)條件.但是這個(gè)映射i在X的任何一個(gè)點(diǎn)x€X處都不連續(xù).因?yàn)轱@然任何一個(gè)包含x€R的開區(qū)間U（它是x在實(shí)數(shù)空間中的一個(gè)鄰域），只要不是R本身，那么」'（U）=U在拓?fù)淇臻gX中不能包含任何一個(gè)開集（因?yàn)閁的補(bǔ)集一不是可數(shù)集），也就不能作為任何一個(gè)點(diǎn)的鄰域. 上述例子表明，在一般的拓?fù)淇臻g中不能像在數(shù)學(xué)分析中那樣通過序列收斂的性質(zhì)來刻畫映射的連續(xù)性. 至于在什么樣的條件下，定理和定理的逆命題成立，也就是說可以用序列收斂的性質(zhì)來刻畫凝聚