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1、
集合思想
1. 集合的概念。
把指定的具有某種性質(zhì)的事物看作一個(gè)整體,就是一個(gè)集合(簡(jiǎn)稱(chēng)集),其中每個(gè)事物叫做該集合的元素(簡(jiǎn)稱(chēng)元)。給定的集合,它的元素必須是確定的,即任何一個(gè)事物是否屬于這個(gè)集合,是明確的。如“學(xué)習(xí)成績(jī)好的同學(xué)”不能構(gòu)成一個(gè)集合,因?yàn)闃?gòu)成它的元素是不確定的;而“語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的平均成績(jī)?cè)?0分及以上的同學(xué)”就是一個(gè)集合。一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素不重復(fù)出現(xiàn)。只要兩個(gè)集合的元素完全相同,就說(shuō)這兩個(gè)集合相等。
集合的表示法一般用列舉法和描述法。列舉法就是把集合的元素一一列舉出來(lái),并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法。描述法就是在花括號(hào)內(nèi)寫(xiě)出規(guī)定這個(gè)
2、集合元素的特定性質(zhì)來(lái)表示集合的方法。列舉法的局限性在于當(dāng)集合的元素過(guò)多或者有無(wú)限多個(gè)時(shí),很難把所有的元素一一列舉出來(lái),這時(shí)描述法便體現(xiàn)出了優(yōu)越性。此外,有時(shí)也可以用封閉的曲線(xiàn)(文恩圖)來(lái)直觀地表示集合及集合間的關(guān)系,曲線(xiàn)的內(nèi)部表示集合的所有元素。
一一對(duì)應(yīng)是兩個(gè)集合之間元素(這種元素不一定是數(shù))的一對(duì)一的對(duì)應(yīng),也就是說(shuō)集合A中的任一元素a,在集合B中都有唯一的元素b與之對(duì)應(yīng);并且在集合B中的任一元素b,在集合A中也有唯一的元素a與之對(duì)應(yīng)。數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng),如正奇數(shù)集合和正偶數(shù)集合之間的元素可以建立一一對(duì)應(yīng)。其他集合之間也可以建立一一對(duì)應(yīng),如五(1)班有25個(gè)男生,25個(gè)女生,如果把男
3、生和女生各自看成一個(gè)集合,那么這兩個(gè)集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng);再如,中國(guó)、美國(guó)、俄羅斯、英國(guó)、法國(guó)、德國(guó)作為一個(gè)集合,北京、華盛頓、莫斯科、倫敦、巴黎、柏林作為一個(gè)集合,這兩個(gè)集合之間也可以建立一一對(duì)應(yīng)。
2. 集合思想的重要意義。
集合理論是數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ),從集合論的角度研究數(shù)學(xué),便于從整體和部分及二者的關(guān)系上研究數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)。如數(shù)系的擴(kuò)展,從小學(xué)的自然數(shù)到整數(shù),再到中學(xué)的有理數(shù)、無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù),都可以從集合的角度來(lái)描述。有時(shí)用集合語(yǔ)言來(lái)表述有關(guān)概念更為簡(jiǎn)潔,如全體偶數(shù)的集合可表示為{x|x=2k,k∈Z}。集合溝通了代數(shù)(數(shù))和幾何之間的關(guān)系,如y = kx ,既是正比例函數(shù),又
4、可以表示一條直線(xiàn);也就是說(shuō)在平面直角坐標(biāo)系上,這條直線(xiàn)是由滿(mǎn)足y = kx 的有序?qū)崝?shù)對(duì)所組成的點(diǎn)的集合。用集合圖描述概念的分類(lèi)及概念之間的關(guān)系,往往層次分明、直觀清晰,如四邊形的分類(lèi)可以用文恩圖表示。
3.集合思想的具體應(yīng)用。
集合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)的很多內(nèi)容中進(jìn)行了滲透。在數(shù)的概念方面,如自然數(shù)可以從對(duì)等集合基數(shù)(元素的個(gè)數(shù))的角度來(lái)理解,再如在一年級(jí)通過(guò)兩組數(shù)量相等的實(shí)物建立一一對(duì)應(yīng),讓學(xué)生理解“同樣多”的概念,實(shí)際上就是兩個(gè)對(duì)等集合的元素之間建立一一對(duì)應(yīng);數(shù)的運(yùn)算也可以從集合的角度來(lái)理解,如加法可以理解為兩個(gè)交集為空集的集合的并集,再如求兩數(shù)相差多少,通過(guò)把代表兩數(shù)的實(shí)物圖或直觀圖一
5、對(duì)一地比較,來(lái)幫助學(xué)生理解用減法計(jì)算的道理;實(shí)際上就是把代表兩數(shù)的實(shí)物分別看作集合A、B,通過(guò)把A的所有元素與B的部分元素建立一一對(duì)應(yīng),然后轉(zhuǎn)化為求B與其子集(與A等基)的差集的基數(shù)。此外,在小學(xué)數(shù)學(xué)中還經(jīng)常用集合圖表示概念之間的關(guān)系,如把所有三角形作為一個(gè)整體,看作一個(gè)集合,記為A;把銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形各自看作一個(gè)集合,分別記為B、C、D,這三個(gè)集合就是集合A的三個(gè)互不相交的子集,B、C、D的并集就是A。再如在學(xué)習(xí)公因數(shù)和公倍數(shù)時(shí),都是通過(guò)把兩個(gè)數(shù)各自的因數(shù)和倍數(shù)分別用集合圖表示,再求兩個(gè)集合的交集,直觀地表示了公因數(shù)和公倍數(shù)的概念。
4.集合思想的教學(xué)。
集合思想在小學(xué)
6、數(shù)學(xué)中廣泛滲透,在教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題。
第一,應(yīng)正確理解有關(guān)概念。我們知道,兩個(gè)數(shù)之間可以比較大小,但是兩個(gè)集合之間無(wú)法直接比較大小,也就是說(shuō)一般不說(shuō)兩個(gè)集合誰(shuí)大誰(shuí)小。如有兩個(gè)集合A、B,當(dāng)且僅當(dāng)它們有完全相同的元素時(shí),稱(chēng)A、B相等,記為A=B。 如A={2,3,5,7},B={ x|x是小于10的素?cái)?shù)}。集合之間可以有包含關(guān)系,如C={2, 3, 5, 7, 11},則A是C的真子集。集合之間可以比較基數(shù)的大小,也就是比較元素的個(gè)數(shù)的多少。只要兩個(gè)集合元素間能夠建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,那么就說(shuō)兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相等,就是基數(shù)相等,即等勢(shì)或等基。如果A是C的真子集, 就說(shuō)A的基數(shù)小于C的
7、基數(shù)。
對(duì)于有限集比較容易數(shù)出它的元素的個(gè)數(shù),而對(duì)于無(wú)限集,又怎樣比較它們?cè)貍€(gè)數(shù)的多少呢?如正整數(shù)集合與正偶數(shù)集合,它們的基數(shù)相等嗎?我們知道,兩個(gè)集合的元素,只要能夠建立一一對(duì)應(yīng)就基數(shù)相等。正整數(shù)集合與正偶數(shù)集合的元素之間可以建立如下的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。
1 2?。场。础。怠 々?
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
2?。础。丁。浮。保啊々?
因此,這兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相等,也就是它們的基數(shù)相等。
案例1:乒乓球比賽有16人參加A組的小組賽,規(guī)定采取淘汰賽決出小組第一名參加決賽。一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽?
分析:淘汰賽一般的規(guī)則是每?jī)蓚€(gè)人分為一組比賽一場(chǎng),勝者進(jìn)入下一輪繼續(xù)進(jìn)行兩人一組比賽;如果出現(xiàn)單
8、數(shù)就有一人輪空,直接進(jìn)入下一輪比賽。這樣一直進(jìn)行下去,直到?jīng)Q出第一名。按照這個(gè)思路解答,只需要把每一輪比賽的場(chǎng)數(shù)算出來(lái),最后加起來(lái)就行。第一輪共有8場(chǎng)比賽,第二輪共有4場(chǎng)比賽,第三輪共有2場(chǎng)比賽,第四輪共有1場(chǎng)比賽;所以總共有15(8+4+2+1=15)場(chǎng)比賽。
以上思路層次清楚、容易理解,小學(xué)生一般都可以接受,但是如果參加小組比賽的人比較多,計(jì)算起來(lái)就比較麻煩。下面用一一對(duì)應(yīng)的思想來(lái)分析:因?yàn)槊繄?chǎng)比賽淘汰一個(gè)人,有一場(chǎng)比賽就淘汰一個(gè)人,沒(méi)有比賽就不淘汰人,要想淘汰一個(gè)人就必須有一場(chǎng)比賽,也就是說(shuō)比賽的場(chǎng)數(shù)與被淘汰的人數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。在小組參賽的16人中,最后只有一人得第一名,要淘汰15人,
9、所以比賽的場(chǎng)數(shù)為15場(chǎng)。
第二,正確把握集合思想的教學(xué)要求。集合思想雖然在小學(xué)數(shù)學(xué)中廣泛滲透,但是集合的知識(shí)并不是小學(xué)數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容;因而應(yīng)注意把握好知識(shí)的難度和要求,盡量使用通俗易懂的語(yǔ)言滲透集合思想。集合除了可以表示概念系統(tǒng)及概念間的關(guān)系外,利用文恩圖進(jìn)行集合的直觀運(yùn)算,可以解決一些分類(lèi)計(jì)數(shù)的問(wèn)題。
案例2:六(1)班舉辦文藝活動(dòng),演出歌舞節(jié)目的有9人,演出小品等節(jié)目的有12人,兩類(lèi)節(jié)目都參加的有5人。該班共有多少人參加這兩類(lèi)節(jié)目的演出?
分析:為了便于理解集合的運(yùn)算
原理,我們借助文恩圖來(lái)分析。左邊
的圈里表示演出歌舞節(jié)目的人,右邊
圈里表示演出小品等節(jié)目的人。兩個(gè)
圈相交
10、的共有的部分有5人,表示這
5人既參加了歌舞節(jié)目,又參加了小品等節(jié)目的演出。左邊圈中沒(méi)跟另一個(gè)圈相交的單獨(dú)的部分有4人,表示這4人只參加了歌舞節(jié)目的演出。因此,參加歌舞節(jié)目演出的9人由兩部分組成:一部分是只參加歌舞節(jié)目演出的4人,另一部分是既參加歌舞節(jié)目又參加小品等節(jié)目演出的5人。同樣道理,參加小品等節(jié)目演出的12人由兩部分組成:一部分是只參加小品等節(jié)目演出的7人,另一部分是既參加小品等節(jié)目又參加歌舞節(jié)目演出的5人。綜合以上分析,可以得出:該班參加這兩類(lèi)節(jié)目演出的人數(shù)是4+5+7=16,或9+12-5=16。
第三,集合思想的教學(xué)要貫徹小學(xué)數(shù)學(xué)的始終。如上所述,集合思想在一年級(jí)學(xué)習(xí)之初,學(xué)生在學(xué)習(xí)認(rèn)數(shù)和分類(lèi)等知識(shí)中就已經(jīng)有所接觸,一直到高年級(jí)學(xué)習(xí)公因數(shù)和公倍數(shù)、三角形和四邊形的分類(lèi)、數(shù)的分類(lèi)(正數(shù)、0、負(fù)數(shù))等等,不同年級(jí)和不同知識(shí)領(lǐng)域都有所滲透。這里涉及了用集合語(yǔ)言表示概念及概念間的關(guān)系、集合的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、集合的運(yùn)算等等。因此,集合思想的滲透不是一朝一夕的事情,而是堅(jiān)持不懈的長(zhǎng)期的過(guò)程。
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