《高等數(shù)學(xué)試卷:98級(jí)高等數(shù)學(xué)(上)期中試題》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)試卷:98級(jí)高等數(shù)學(xué)(上)期中試題(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、98級(jí)高等數(shù)學(xué)(上)期中試題
一、填空題(3×8=24分)
1..
解:∵ ,,
∴。
2.若在內(nèi)連續(xù),則 -2 。
解:,
∴。
3.若,其中可導(dǎo),則.
解:
.
4.若,則 1 .
解:
。
5.函數(shù)由方程確定,則。
解:,
,。
6.函數(shù)的帶拉格朗日余項(xiàng)的三階麥克勞林公式為
。
解:,
,,,
∴
(在與之間)。
7.若,則。
解:,。
8.曲線的單增區(qū)間為,下凸區(qū)間為。
解:的定義域?yàn)椋?
,,
令,得;令,得。
1
2、
2
+
0
-
-
-
-
-
-
0
+
二、選擇題(4×4=16分)
9.當(dāng)時(shí),與為等價(jià)無(wú)窮小,則必有( A )
(A),; (B),;
(C),; (D),。
解:,。
10.函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( C )
(A)3; (B)2; (C)1; (D)0。
解:的可能不可導(dǎo)點(diǎn)為,。
∵,
,
∴。
∵,
,
∴不存在。
11.曲線( C )
(A)沒(méi)有漸近線; (B)有一條漸近線;
(C)有二條漸近線; (D)有三條漸近線。
3、
解:∵,∴曲線無(wú)水平漸近線;
∵, ∴直線是曲線的垂直漸近線;
∵,,
∴直線是曲線的斜漸近線。
12.已知在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且,則在處( D )
(A)不可導(dǎo); (B)可導(dǎo)且;
(C)取得極大值; (D)取得極小值。
解:∵在連續(xù),∴,
∵,∴,
∴當(dāng)時(shí),。故應(yīng)選(D)。
三、解答題 (30分)
13.設(shè),求(6分)
解:,,。
14.求極限:(6分)
解:
。
15.設(shè)函數(shù)由方程確定, 試求它的駐點(diǎn),并判定
它是否為極值點(diǎn),如果是極值點(diǎn),是極大點(diǎn)還是極小點(diǎn)?(8分)
解:,
4、即, ①
令,得,代入原方程,得,
,得唯一駐點(diǎn),此時(shí),
再對(duì)①式兩邊求導(dǎo),得
,
, ②
把,,代入②式,得,∴是極小值點(diǎn)。
16.試確定的范圍,使方程有實(shí)根。(10分)
解題思路:設(shè),。當(dāng)且僅屬于函數(shù)的值
域時(shí),方程有實(shí)根。首先確定在內(nèi)的值
域。為此需要求的極值。
,令,得唯一駐點(diǎn),
∵,∴是極小值,也是最小值,
又∵,,
∴的值域是,
∴當(dāng)時(shí),直線才能與曲線相交,
這時(shí)方程才能有實(shí)根。
四、應(yīng)用題(2×10=20分)
17.設(shè)某銀行中的總存款量與銀行付給存戶年利率的平方成正比。
5、若銀行以
的年利率把總存款的貸出,問(wèn)銀行給存戶的年利率定為多少,它才
能獲得最大利潤(rùn)?
解:設(shè)銀行付給存戶的年利率為,總存款量為,總利潤(rùn)為,則
(為常數(shù)),,即
,
,,
令,得,(應(yīng)舍去)。
∵,∴是極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn)。
∴當(dāng)銀行給存戶的年利率定為時(shí),才能獲得最大利潤(rùn)。
18.一盞高的路燈照在一個(gè)距燈遠(yuǎn),從高處自由下落的球上,球的影子
沿水平地面移動(dòng),求當(dāng)球離地面高時(shí)影子移動(dòng)的速度(空氣阻力忽略不計(jì))。
解:以燈柱與地面的交點(diǎn)為原點(diǎn),燈柱所在的直線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系。
燈的位置為,球的初始位置為。
設(shè)球下落離地面時(shí),
影子距原點(diǎn)的,則有
,,∴,
∵,,
∴當(dāng)時(shí),由,得,。
∴所求影子移動(dòng)的速度為。
五、證明題(10分)
19.設(shè)在連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),,
試證:,使。
分析:即證。這題是要證明存在兩個(gè)中間值,,滿足等
式。由于用一次中值定理只能找到一個(gè)中間值,故要用兩次
中值定理才能解決問(wèn)題。
證明:設(shè) ,,
∵和在上滿足中值定理,
∴,使,,
∵,
∴,從而。
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