2018年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)一遍過 專題54 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 理

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1、 專題54 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡單的實(shí)際問題. 一、條件概率與相互獨(dú)立事件的概率 1．條件概率及其性質(zhì) （1）對于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P(B|A)來表示，其公式為()． 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個(gè)數(shù)，則(n(AB)表示A，B共同發(fā)生的基本事件的個(gè)數(shù))． （2）條件概率具有的性質(zhì) ①； ②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則. 2．相互獨(dú)立事件 （1）對于事件A，B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A

2、，B是相互獨(dú)立事件． （2）若A與B相互獨(dú)立，則． （3）若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也都相互獨(dú)立． （4）若，則A與B相互獨(dú)立． 【注】①中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A∪B； ②都發(fā)生的事件為AB； ③都不發(fā)生的事件為； ④恰有一個(gè)發(fā)生的事件為； ⑤至多有一個(gè)發(fā)生的事件為. 二、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)． 若表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則. 【注】獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中各事件發(fā)生的概率都是一樣的． 2．二項(xiàng)分布

3、 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率. 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為． 考向一 條件概率 條件概率的兩種解法： (1)定義法：先求和，再由求． (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)，再求事件A發(fā)生的條件下事件B包含的基本事件數(shù)，得. 典例1 從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A=“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B=“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則等于 A． B．

4、 C． D． 【答案】B 解法二：，n(AB)=1，∴P(B|A)==，故選B． 1．如圖，四邊形是以為圓心、半徑為2的圓的內(nèi)接正方形，四邊形是正方形的內(nèi)接正方形，且分別為的中點(diǎn).將一枚針隨機(jī)擲到圓內(nèi)，用表示事件“針落在正方形內(nèi)”，表示事件“針落在正方形內(nèi)”，則 A．???? B． C．???? D．? 考向二 相互獨(dú)立事件的概率 求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法 (1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解； (2)正面計(jì)算較繁瑣或難以入手時(shí)，可從其對立事件入手計(jì)算． 典例2

5、 已知甲射擊命中目標(biāo)的概率是，乙命中目標(biāo)的概率是，丙命中目標(biāo)的概率是．現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為 A． B． C． D． 【答案】A 2．在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表： 作物產(chǎn)量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市場價(jià)格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 （1）設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列； （2）若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，

6、求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率． 考向三 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問題的常見類型及解題策略： (1)在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率即可． (2)根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，求得概率． 典例3 設(shè)隨機(jī)變量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)=，則P(η≥2)的值為 A． B． C． D． 【答案】B 3．某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))

7、A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p. （1）若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值； （2）設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望． 1．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則等于 A． B． C． D． 2．已知P(B|A)=，P(A)=，則P(AB)等于 A． B． C． D． 3．甲、乙兩人同時(shí)報(bào)考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為 A．0.12

8、B．0.42 C．0.46 D．0.88 4．已知某品種的幼苗每株成活率為，則栽種3株這種幼苗恰好成活2株的概率為 A． B． C． D． 5．設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且期望，，則方差等于 A． B． C． D． 6．盒中裝有10只乒乓球，其中6只新球，4只舊球，不放回地依次摸出2個(gè)球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也摸出新球的概率為 A． B． C． D． 7．如圖，現(xiàn)有一迷失方向的小青蛙在3處，它每跳動(dòng)一次可以等機(jī)會(huì)地進(jìn)入

9、相鄰的任意一格（如若它在5處，跳動(dòng)一次，只能進(jìn)入3處，若在3處，則跳動(dòng)一次可以等機(jī)會(huì)進(jìn)入l，2，4，5處），則它在第三次跳動(dòng)后，進(jìn)入5處的概率是 A． B． C． D． 8．集裝箱有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個(gè)球，從箱中一次摸出兩個(gè)球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng).若有4人參與摸獎(jiǎng)，恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率是 A． B． C． D． 9．如圖所示，在邊長為1的正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，用表示事件“點(diǎn)恰好取自由曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形內(nèi)”，表示事件“點(diǎn)恰好取自陰影

10、部分內(nèi)”，則等于 A． B． C． D． 10．為了響應(yīng)國家發(fā)展足球的戰(zhàn)略，某校在秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)中，安排了足球射門比賽.現(xiàn)有10名同學(xué)參加足球射門比賽，已知每名同學(xué)踢進(jìn)的概率均為，每名同學(xué)有2次射門機(jī)會(huì)，且各同學(xué)射門之間沒有影響.現(xiàn)規(guī)定：踢進(jìn)兩個(gè)得10分，踢進(jìn)一個(gè)得5分，一個(gè)未進(jìn)得0分，記為10個(gè)同學(xué)的得分總和，則的數(shù)學(xué)期望為 A．30 B．40 C．60 D．80 11．某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過2個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，則這名學(xué)

11、生在上學(xué)路上到第二個(gè)路口時(shí)第一次遇到紅燈的概率是__________． 12．某校高三年級要從名男生和名女生中任選名代表參加數(shù)學(xué)競賽（每人被選中的機(jī)會(huì)均等），則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是__________． 13．已知某智能手機(jī)制作完成之后還需要依次通過三道嚴(yán)格的審核程序，第一道審核、第二道審核、第三道審核通過的概率分別為，，，每道程序是相互獨(dú)立的，且一旦審核不通過就停止審核，每部手機(jī)只有三道程序都通過才能出廠銷售． （1）求審核過程中只通過兩道程序的概率； （2）現(xiàn)有3部該智能手機(jī)進(jìn)入審核，記這3部手機(jī)可以出廠銷售的部數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

12、 14．甲、乙、丙三人組成一個(gè)小組參加電視臺(tái)舉辦的聽曲猜歌名活動(dòng)，在每一輪活動(dòng)中，依次播放三首樂曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯(cuò)，則活動(dòng)立即結(jié)束；若三人均猜對，則該小組進(jìn)入下一輪，該小組最多參加三輪活動(dòng)．已知每一輪甲猜對歌名的概率是，乙猜對歌名的概率是，丙猜對歌名的概率是，甲、乙、丙猜對與否互不影響． （1）求該小組未能進(jìn)入第二輪的概率； （2）記乙猜歌曲的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望． 15．統(tǒng)計(jì)全國高三學(xué)生的視力情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的

13、頻率成等比數(shù)列，后6組的頻率成等差數(shù)列. （1）求出視力在[4.7，4.8)的頻率； （2）現(xiàn)從全國的高三學(xué)生中隨機(jī)地抽取4人，用表示視力在[4.3，4.7)的學(xué)生人數(shù)，寫出的分布列，并求出的期望與方差. 1．(2015年高考新課標(biāo)Ⅰ卷)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為 A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 2．（2014年高考新課標(biāo)Ⅱ卷）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為

14、優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是 A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 3．(2017年高考新課標(biāo)Ⅱ卷)一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則____________． 4．(2016年高考四川卷)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是 . 5．(2015年高考廣東卷)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若，則

15、. 6．（2016年高考新課標(biāo)Ⅱ卷）某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位：元），繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 5 保 費(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 5 概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 （1）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率； （2）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)

16、高出60%的概率； （3）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值. 7．（2016年高考山東卷）甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求： （1）“星隊(duì)”至少猜對3個(gè)成語的概率； （2）“星隊(duì)”兩輪得分之和為的分布列和數(shù)學(xué)期望. 8．（2015年高考湖南卷）某商場舉行

17、有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng).每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球.在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng). （1）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率； （2）若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 變式拓展 1．【答案】C? 2．【答案】（1）見解析；（2）． 【解析】（1）設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場價(jià)格為6元/kg”，由題設(shè)知，

18、， 因?yàn)槔麧?產(chǎn)量×市場價(jià)格?成本， 所以X所有可能的取值情況為： ，. 則， ， ， 所以X的分布列為 X 4000 2000 800 P 0.3 0.5 0.2 所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率為. 3．【答案】（1）；（2）見解析. 【解析】（1）設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么，解得p=. （2）由題意得，ξ的所有可能取值為， 則P(ξ=0)=C3=， P(ξ=1)=C2×=， P(ξ=2)=C××2=， P(ξ=3)=C3=. 所以，隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P

19、 . （或，則） 考點(diǎn)沖關(guān) 1．【答案】C 【解析】由二項(xiàng)分布可知，選C. 2．【答案】C 【解析】由題意，又P(B|A)=，P(A)=，所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=. 3．【答案】D 【解析】至少有一人被錄取的概率為 4．【答案】D 5．【答案】C 【解析】由于二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望，所以二項(xiàng)分布的方差 ，應(yīng)選C. 6．【答案】B 【解析】設(shè)“第一次摸出新球”為事件，“第二次摸出新球”為事件，則，故選B. 7．【答案】C 【解析】小青蛙的跳動(dòng)路線：第一次跳動(dòng)后由3到1，2，4，5的任意位置，第二次跳回3，第三次跳回5，依據(jù)相互獨(dú)

20、立事件同時(shí)發(fā)生的概率可知所求概率為. 8．【答案】B 【解析】獲獎(jiǎng)的概率為，記獲獎(jiǎng)的人數(shù)為，則，所以4人中恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率為，故選B. 9．【答案】A ，故選A． 10．【答案】C 【解析】由題意知每個(gè)學(xué)生的進(jìn)球個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，其中，所以由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式可得每個(gè)學(xué)生進(jìn)球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，因此10個(gè)同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望是，應(yīng)選C. 11．【答案】 【解析】根據(jù)題意，設(shè)“這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個(gè)路口首次遇到紅燈”為事件，則所求概率為，故答案為. 12．【答案】 【解析】男生甲被選中記作事件A，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中記作事件B，則，，由條件概率公式可得：

21、 . 13．【答案】（1） ；（2）見解析. 【解析】（1）設(shè)“審核過程中只通過兩道程序”為事件，則. . 所以的分布列為： 故. (或，則). 【思路分析】（1）根據(jù)題意只通過兩道程序是指前兩道通過，第三道未通過，利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求出結(jié)果； （2）計(jì)算出每部智能手機(jī)可以出廠銷售的概率為，的取值是，根據(jù)互斥事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率列出分布列，最后求出分布列和期望即可. 14．【答案】（1）；（2）見解析. ， ， ， ， ∴的分布列為 . 【思路點(diǎn)睛】（1）分別將甲、乙、

22、丙第次猜對歌名記為事件，，，則，，相互獨(dú)立，由此可得出該小組未能進(jìn)入第二輪的概率. （2）利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、對立事件的概率計(jì)算公式即可得出． 15．【答案】（1）；（2）見解析. ， 所以， ， ， ， ， 所以的分布列為： 0 1 2 3 4 ， . 【思路點(diǎn)睛】（1）結(jié)合頻率分布直方圖和題意，分別求出前4組的頻率以及后6組的頻率之和，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出公差，再算出視力在[4.7，4.8)內(nèi)的頻率； （2）求出視力在[4.3，4.7)內(nèi)的頻率，學(xué)生人數(shù)服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式求出分布列

23、，再算出期望與方差. 直通高考 1．【答案】A 【解析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得，該同學(xué)通過測試的概率為=0.648，故選A. 2．【答案】A 【解析】記事件A表示“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，事件B表示“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則，P(AB)=0.6，由條件概率公式P(B|A)=，可得所求概率為=0.8，故選A． 3．【答案】 【名師點(diǎn)睛】判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)： ①是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是否均為p； ②隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)，且表示在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率． 4．【答案】

24、 【解析】由題意知，試驗(yàn)成功的概率，故，. 5．【答案】 【解析】依題意可得且，解得. 6．【答案】（1）；（2）；（3）1.23. 【解析】（1）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故 （3）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為，則的分布列為 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為 【名師點(diǎn)睛】條件概率的求法： (1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝，求出P(B|A)； (2)基本事件法：當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時(shí)，可借助古典概型概率公式，

25、先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝. 求離散型隨機(jī)變量均值的步驟： (1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X可能取得的全部值； (2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率； (3)寫出X的分布列； (4)由均值定義求出EX． 7．【答案】（1）；（2）分布列見解析，. 【解析】（1）記事件A:“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”， 記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”， 記事件E：“‘星隊(duì)’至少猜對3個(gè)成語”. 由題意， 由事件的獨(dú)立性與互斥性，得 ， 所以“星隊(duì)

26、”至少猜對3個(gè)成語的概率為. . 可得隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學(xué)期望. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù)，利用獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本題較難，能很好地考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、基本運(yùn)算求解能力等. 8．【答案】（1）；（2）見解析. =×(1?)+(1?)×. 故所求概率為P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+. （2）顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3

27、次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由（1）知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為， 所以X~B(3，). 于是P(X=0)=()0()3=， P(X=1)=()1()2=， P(X=2)=()2()1=， P(X=3)=()3()0=. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3×. 【思路分析】本題考查相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率和離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查考生的運(yùn)算求解能力及分析問題、解決問題的能力. 第（1）問利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；第（2）問離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，進(jìn)而利用公式得相應(yīng)的概率，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望. 22