2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第36講 數(shù)列通項的求法一(歸納法、定義法、公式法、累加法、累乘法)

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2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第36講 數(shù)列通項的求法一(歸納法、定義法、公式法、累加法、累乘法)_第1頁
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1、 第36講 數(shù)列通項的求法一(歸納法、定義法、公式法、累加法、累乘法) 【知識要點】 一、數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列的第項和項數(shù)之間的關(guān)系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.即.不是每一個數(shù)列都有通項公式.不是每一個數(shù)列只有一個通項公式. 二、數(shù)列的通項的常見求法:通項五法 1、歸納法:先通過計算數(shù)列的前幾項,再觀察數(shù)列中的項與系數(shù),根據(jù)與項數(shù)的關(guān)系,猜想數(shù)列的通項公式,最后再證明. 2、公式法:若在已知數(shù)列中存在:的關(guān)系,可采用求等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式的求法,確定數(shù)列的通項;若在已知數(shù)列中存在:的關(guān)系,可以利用項和公式,求數(shù)列的通項. 3、累加

2、法:若在已知數(shù)列中相鄰兩項存在:的關(guān)系,可用“累加法”求通項. 4、累乘法:若在已知數(shù)列中相鄰兩項存在:的關(guān)系,可用“累乘法”求通項. 5、構(gòu)造法:(見下一講) 【方法講評】 方法一 歸納法 使用情景 已知數(shù)列的首項和遞推公式 解題步驟 觀察、歸納、猜想、證明. 【例1】在數(shù)列{}中,,且, (1)求的值; (2)猜測數(shù)列{}的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 【點評】(1)本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項,進(jìn)而猜出數(shù)列的通項公式,最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.(2)歸納法在主觀題中一般用的比較少,一是因為它要給予嚴(yán)格的證明,二

3、是有時數(shù)列的通項并不好猜想.如果其它方法實在不行,再考慮利用歸納法. 【反饋檢測1】在單調(diào)遞增數(shù)列中,,,且成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,. (1)分別計算,和,的值; (2)求數(shù)列的通項公式(將用表示); (3)設(shè)數(shù)列的前項和為,證明:,. 方法二 公式法 使用情景 已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或已知. 解題步驟 已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,先求出等差(比)數(shù)列的基本量,再代入等差(比)數(shù)列的通項公式;已知的關(guān)系,可以利用項和公式,求數(shù)列的通項. 【例2】已知數(shù)列,是其前項的和,且滿足,對一切都有成立,設(shè). (1)求;(2)求證:數(shù)列 是

4、等比數(shù)列; (3)求使成立的最小正整數(shù)的值. 【點評】利用定義法求數(shù)列通項時要注意不用錯定義,設(shè)法求出首項與公差(公比)后再寫出通項. 【反饋檢測2】已知等比數(shù)列{}中,,公比,又分別是某等差數(shù)列的第項,第項,第項. (1)求;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和. 【例3】數(shù)列{}的前n項和為,=1, ( n∈),求{}的通項公式. 【點評】(1)已知,一般利用和差法.如果已知也可 以采用和差法.(2)利用此法求數(shù)列的通項時,一定要注意檢驗是否滿足,能并則并,不并則分. 【例4】已知函數(shù) ,是數(shù)列的前項和,點()在曲線上.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)若,,且是數(shù)列的前項和.

5、 試問是否存在最大值?若存在,請求出的最大值;若不存在,請說明理由. 【解析】(Ⅰ)因為點在曲線上,又,所以. 當(dāng)時,. 當(dāng)時, 所以. (Ⅱ)因為 ①所以 ② ③ ②-③得 . 整理得, ④ 方法一 利用差值比較法 由④式得,所以 因為,所以. 又,所以所以, 所以. 所以Tn存在最大值 方法三 利用放縮法 由①式得,又因為是數(shù)列的前項和, 所以. 所以 所以存在最大值. 【反饋檢測3】已知數(shù)列{}的前n項和(),求{}的通項公式. 方

6、法三 累加法 使用情景 在已知數(shù)列中相鄰兩項存在:的關(guān)系 解題步驟 先給遞推式中的從2開始賦值,一直到,一共得到個式子,再把這個式子左右兩邊對應(yīng)相加化簡,即得到數(shù)列的通項. 【例4】已知數(shù)列,,,,,為數(shù)列的前項和,為數(shù)列的前項和. (1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和;(3)求證:. 【解析】(1)法一:, 【點評】(1)本題,符合累加法的使用情景,所以用累加法求數(shù)列的通項.(2)使用累加法時,注意等式的個數(shù),是個,不是個. 【反饋檢測4】已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式. 方法四 累乘法 使用情景 若在已知數(shù)列中相鄰兩項存在:的關(guān)系. 解

7、題步驟 先給遞推式中的從2開始賦值,一直到,一共得到個式子,再把這個式子左右兩邊對應(yīng)相乘化簡,即得到數(shù)列的通項. 【例5】已知數(shù)列滿足 【點評】(1)由已知得符合累乘法求數(shù)列通項的情景,所以使用累乘法求該數(shù)列的通項.(2)使用累乘法求數(shù)列的通項時,只要寫出個等式就可以了,不必寫個等式. 【反饋檢測5】 已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式. 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第36講: 數(shù)列通項的求法一(歸納法、定義法、公式法、累加法、累乘法)參考答案 【反饋檢測1答案】,,,. ①當(dāng)時,,,猜想成立; ②假設(shè)時,猜想成立,即,,那么 , ∴時,猜想也成立.由

8、①②,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理,對任意的,猜想成立. ∴當(dāng)為奇數(shù)時,; 當(dāng)為偶數(shù)時,. 即數(shù)列的通項公式為. (方法2)由(2)得. 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明,. ①當(dāng)時,; 當(dāng)時,.∴時,不等式成立. ②假設(shè)時,不等式成立,即, 那么,當(dāng)為奇數(shù)時, ; 當(dāng)為偶數(shù)時, .∴時,不等式也成立. 綜上所述: 【反饋檢測2答案】(1);(2) =. 【反饋檢測3答案】 【反饋檢測4答案】 【反饋檢測4詳細(xì)解析】由得則 所以 【反饋檢測5答案】 【反饋檢測5詳細(xì)解析】因為,所以,則, 故 所以數(shù)列的通項公式為 13

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