2018年高考數(shù)學 立體幾何：空間向量在求空間角及距離中的應用題源探究

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1、 空間向量在求空間角及距離中的應用 【考點梳理】 1.異面直線所成的角 設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則 a與b的夾角β l1與l2所成的角θ 范圍 (0，π) 求法 cos β＝ cos θ＝|cos β|＝ 2.求直線與平面所成的角 設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈a，n〉|＝. 3.求二面角的大小 (1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉. (2)如圖②③，n

2、1，n2 分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角). 4.利用空間向量求距離 （1）兩點間的距離 設點，點，則 ． （2）點到平面的距離 如圖所示，設為平面的一條斜線段，為平面的法向量，則點到平面的距離． 【教材改編】 1．(選修2－1 P111A組T1改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M為棱CC1上的中點，則A1M與D1C所成的角為(　　) A．30° B．45° C．60°

3、 D．90° 答案] B 解析] 以，，為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系， 設正方體棱長為2，則D1(0,0,2)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，M(0,2,1)， ∴＝(－2,2，－1)，＝(0,2，－2)， 設A1M與D1C所成角為θ， ∴cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝， ∴θ＝45°. 2. (選修2－1 P118A組T10改編)如圖，棱長為a的正方體OEAC-BFGD中，P是AB上的一點，Q是CD上的一點．當點P為對角線AB的中點，點Q在棱CD上運動時，則PQ的最小值為(　　) A．a(chǎn)

4、 B.a C.a D.a 答案] B 解析] 建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz， 當點P為對角線AB的中點時，點P的坐標是. 因為點Q在線段CD上，設Q(0，a，z)． PQ＝ ＝ . 當z＝時，PQ的最小值為a. 即點Q在棱CD的中點時，PQ有最小值a.故選B. 3．(選修2－1 P112A組T4改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為(　　) A.

5、 B. C. D. 答案] B 解析] 以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz， 設棱長為1，則A1(0，0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)， ∴＝(0,1，－1)，＝， 所以有， 即解得 ∴＝(1,2,2)． ∵平面ABCD的一個法向量為＝(0,0,1)， ∴cos〈，〉＝＝. 即所成的銳二面角的余弦值為. 4．(選修2－1 P97練習T3改編)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M是AB的中點，則D1B與CM所成角的余弦值為(　　) A.

6、 B. C. D. 答案] C 解析] 建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz. 設正方體棱長為2，則M(2,1,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)， ∴＝(2，－1，0)，＝(2,2，－2)， cos〈，〉＝＝＝. ∴D1B與CM所成角的余弦值為，故選C. 5．(選修2－1 P111練習T3改編)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC1的中點，則DE與平面BCC1B1所成角的正切值為(　　) A.

7、 B. C. D. 答案] C 解析] 設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2， 以D為原點，以DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系， ∵E為BC1的中點，∴D(0,0,0)，E(1,2,1)，∴＝(1,2,1)， 設DE與平面BCC1B1所成角的平面角為θ， ∵平面BCC1B1的法向量＝(0,1,0)， ∴sin θ＝|cos〈，〉|＝＝， ∴cos θ＝＝， ∴tan θ＝＝，故選C. 6．(選修2－1 P98A組T4改編)正四面體

8、ABCD棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD中點，則EF的長為________． 答案] 解析] ||2＝2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2， ∴||＝，∴EF的長為. 7.(選修2－1 P118A組T12改編)如圖將正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，點E、F分別為AD、BC的中點，O是原正方形ABCD的中心，則折疊后∠EOF的大小為________． 答案] 解析] 如圖所示，以，，方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系， 設正方形邊長為2，則A(2,

9、0,0)，B(0,2,0)，C(－2,0,0)，D(0,0,2) ∴E(1,0,1)，F(xiàn)(－1,1,0)， ∴＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)， ∴cos〈，〉＝＝＝－， ∴∠EOF＝120°. 8．(選修2－1 P117A組T5改編)已知三點A(0,2,3)，B(－2，1,6)，C(1，－1,5)，則△ABC的面積為________． 答案] 解析] ＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)， ∴||＝，||＝. ∴cos〈，〉＝＝＝. 則sin〈，〉＝. ∴S△ABC＝||·||sin〈，〉＝×××＝. 9. (選修2－1 P11

10、2A組T6改編)如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，則點A到平面MBC的距離為________，平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值為________． 答案] 解析] 取CD的中點O，連接OB，OM，則OB⊥CD， OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，則MO⊥平面BCD. 以O為原點，直線OC，BO，OM為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系， OB＝OM＝，則各點的坐標分別為O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)． ①設＝(x，

11、y，z)是平面MBC的法向量，則＝(1，，0)，＝(0，，)． 由⊥，得x＋y＝0； 由⊥，得y＋z＝0. ?。?，－1,1)，＝(0,0,2)，則距離d＝＝. ②＝(－1,0，)，＝(－1，－，2)． 設平面ACM的法向量為＝(x，y，z)， 由得 解得x＝z，y＝z，?。?，1,1)． 平面BCD的法向量為＝(0,0,1)， 則cos〈，〉＝＝. 設所求二面角為θ，則sin θ＝＝. 10．(選修2－1 P118A組T11改編)某幾何體ABC-A1B1C1的三視圖和直觀圖如圖所示． (1)求證：A1C⊥平面AB1C1； (2)求二

12、面角C1-AB1-C的余弦值． 解析] (1)證明：由三視圖可知，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1， B1C1⊥A1C1，且|AA1|＝|AC|＝4，|BC|＝3. 以點C為原點，分別以CA、CB、CC1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示． 由已知可得A(4,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,0)，A1(4,0,4)，B1(0,3,4)，C1(0,0,4)． ∴＝(－4,0，－4)，＝(4,0，－4)，＝(0,3,0)． ∴·＝0，·＝0. ∴A1C⊥C1A，A1C⊥C1B1. 又C1A

13、∩C1B1＝C1， ∴A1C⊥平面AB1C1. (2)由(1)得，＝(4,0,0)，＝(0,3,4)． 設平面AB1C的法向量為＝(x，y，z)，則⊥，⊥. ∴，即. 令y＝4，得平面AB1C的一個法向量為＝(0,4，－3)． 由(1)知，是平面AB1C1的一個法向量． ∴cos〈，〉＝＝＝. 故二面角C1-AB1-C的余弦值為. 11．(選修2－1 P119B組T3改編)在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠CDA＝90°，SA⊥平面ABCD，CD＝2AB，E為SC中點． (1)求證：BE∥平面SAD； (2)若SA＝AD＝2，且平面SBC與平面S

14、AD所成的二面角的余弦值為，求四棱錐S-ABCD的體積． 解析] (1)證明：設點F為SD的中點，連接AF，EF， ∵E點為SC的中點， ∴EF為△SDC的中位線， ∴EFDC， 又∵∠DAB＝∠CDA＝90°且CD＝2AB， ∴ABCD， ∴ABEF，∴四邊形ABEF為平行四邊形， ∴BE∥AF，又∵AF?平面SAD，BE?平面SAD， ∴BE∥平面SAD. (2)∵SA⊥平面ABCD，則可建以A為原點的空間直角坐標系(如圖所示)，SA＝AD＝2， ∴A(0,0,0)，D(－2,0,0)，S(0,0,2)， 設B(0，m,0)，∴C(－2,2m,0)，∴＝(0，m，－2)，＝(－2，m,0)， 設平面SBC的法向量為＝(x，y，z)且SB∩BC＝B，∴，∴＝(，1，)， 顯然，平面SAD的法向量為＝(0，m,0)， 又∵平面SBC與平面SAD所成的二面角的余弦值為，∴|cos〈，〉|＝， ∴＝，∴m＝1，∴|AB|＝1，|CD|＝2， ∴S直角梯形ABCD＝3，∴V四棱錐S-ABCD＝×3×2＝2. 11