2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-文科 第四章 三角函數(shù)第4節(jié)解三角形

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1、 第四章 三角函數(shù) 第4節(jié) 解三角形 題型58 正弦定理的應(yīng)用 1. （2013山東文7）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，若，， ，則（ ）. A. B. C. D. 1.分析 先利用正弦定理，求出角，進(jìn)而求出角和角，得出角為直角，從而利用勾 股定理求出邊. 解析 由正弦定理得：，因?yàn)?，所? 因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以.所以.又，所以， 所以.所以，所以為直角三角形. 由勾股定理得.故選B. 2. (2013安徽文9） 設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，若 ，則角（ ）. A.

2、 B. C. D. 2. 解析 同理科卷12題.答案B. 3.（2013浙江文3）若，則“”是“”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 3.分析 分別判斷能否推出和能否推出. 解析 若，則，所以，即； 但當(dāng)時(shí)，有，此時(shí).所以是的充分不必要條件.故選A. 4. (2013湖南文5）在銳角中，角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為. 若，則角等于（ ）. A. B. C.

3、 D. 4.分析 利用正弦定理將邊化為角的正弦. 解析 在中，. 因?yàn)椋?所以.又為銳角三角形，所以.故選A. 5.（2014廣東文7）在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為則“”是“”的（ ）. A. 充分必要條件 B.充分非必要條件 C.必要非充分條件 D.非充分非必要條件 6.（2014江西文5）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的值為（ ）. A. B. C. D. 7.（2015安徽文）在中，，，，則 . 7.解析 由正弦定理可得，即，解得

4、. 8.（2015福建文）若在中，，，，則_______． 8.解析 由題意得． 由正弦定理得，則. 9.(2015北京文)在中，，，， . 9.解析 在中，由正弦定理知，得，， 又，得. 10.（2015全國(guó)1文）已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，. （1）若，求； （2）設(shè)，且，求的面積. 10.解析 （1由正弦定理得，.又，所以，即. 則. （2）解法一：因?yàn)?，所以? 即，亦即. 又因?yàn)樵谥校?，所以? 則，得.所以為等腰直角三角形， 得，所以. 解法二：由（1）可知，① 因?yàn)?，所以，? 將②代入①得，則，所以. 11.（2015山東文）在

5、△中，角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為. 已知，，，求和的值. 11.解析 在中，由，得. 因?yàn)?，所? 因?yàn)?，所以，可得為銳角，所以， 因此. 由，可得. 又，所以. 12.（2016全國(guó)丙文9）在中，，邊上的高等于，則（ ）. A. B. C. D. 12. D 解析 解法一：，， 由正弦定理得，即，所以，所以，.故選D. 解法二：如圖所示，由，知. 由，則，. 由正弦定理知，則.故選D. 13.（2016北京文13）在中，，，則________. 13.解析 由正弦定理及題設(shè)，可

6、得， 所以，則.由，得，，，. 14.（2016全國(guó)甲文15）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.若，，，則_______. 14.解析 解法一：由題可知，. 由正弦定理可得.由射影定理可得. 解法二：同解法一，可得.又 ，由余弦定理可得. 解法三：因?yàn)椋?，，? . 由正弦定理得，，解得. 15.（2016江蘇15）在中，，，. （1）求的長(zhǎng)；（2）求的值. 15. 解析 （1）因?yàn)?，而，所? 由正弦定理，故. （2）因?yàn)?，所? 又，所以.故 . 16.（2016天津文15）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，， 已知. （1）求； （2）若，求的值. 16

7、.分析 （1）利用正弦定理，將邊化為角：，再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍化簡(jiǎn)得，；（2）已知兩角，求第三角，利用三角形內(nèi)角和為，將所求角化為兩已知角的和，再根據(jù)兩角和的正弦公式求解. 解析 （1）在中，由正弦定理化簡(jiǎn)， 得，所以，得. （2）由，得，則， 所以. 17.（2016浙江文16）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知. （1）求證：； （2）若，求的值. 17.解析 （1）由正弦定理得， 故， 于是.又，故， 所以或，因此（舍去）或，所以 （2）由，得，， 故，.. 18.（2017全國(guó)3文15）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，，，則_________. 1

8、8.解析 由正弦定理有，所以，又，所以， 所以. 評(píng)注 考查用正、余弦定理解三角形問(wèn)題以及三角形的內(nèi)角和定理，難度偏低. 題型59 余弦定理的應(yīng)用 1.（2014福建文14）在中，，則等于 . 2.（2015廣東文）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，，且，則（ ）. 2.解析 由余弦定理得， 所以， 即，解得或.因?yàn)?，所?故選C． 3.（2015重慶文）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，，則________. 3.解析 因?yàn)椋愿鶕?jù)正弦定理得．又因?yàn)椋? 所以．因?yàn)?，所以，代入解得? 4.（2015江蘇文）在中，已知，，． （

9、1）求的長(zhǎng)； （2）求的值． 4.解析 （1）由余弦定理， 解得． （2）， 因?yàn)椋剩? 故． 評(píng)注 在運(yùn)算的過(guò)程中類似，可不化簡(jiǎn)，有時(shí)候會(huì)利于下面的運(yùn)算． 5.（2015全國(guó)2文）中，是上的點(diǎn)，平分， . (1)求； (2)若，求. 5.分析 (1)根據(jù)題意，由正弦定理可得. (2)由誘導(dǎo)公式可得，由(1)可知，所以，. 解析 (1)由正弦定理得，，. 因?yàn)槠椒?，，所? (2)因?yàn)?，? 所以. 由(1)知，所以，即. 評(píng)注 三角是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，在高考中主要是利用三角函數(shù)，三角恒等變換及解三角形的正弦定理及余弦定理，在求解時(shí)，注意角的轉(zhuǎn)化及

10、定理的使用. 6.（2015陜西文）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，向量與平行. （1）求； （2）若，，求的面積. 6.解析 (1)因?yàn)?，所? 由正弦定理得， 將式代入式，又，得到，由于，所以. (2)解法一：由余弦定理得，，而，，， 得，即.因?yàn)?，所以? 故的面積為. 解法二：由正弦定理，得，從而. 又由知，所以. 故， 所以面積為. 7（2015四川文）已知為的內(nèi)角，，是關(guān)于方程的兩個(gè)實(shí)根. （1）求C的大小； （2）若，，求p的值. 7.解析 （1）由題意可得方程的判別式，所以或. 由韋達(dá)定理，得，， 所以，

11、可得. 所以，所以. （2）由正弦定理，可得， 解得或（舍去）.所以. 則. 所以. 8.（2015天津文）在中，內(nèi)角，， 所對(duì)的邊分別為，，，已知的面積為，，. （1）求和的值； （2）求 的值. 8.分析 （1）由面積公式可得，結(jié)合，可解得，.再由余弦定理求得.最后由正弦定理求的值；（2）直接展開求值. 解析 （1）中，由，得， 由，得，又由，解得，. 由，可得. 又由，得. （2） . 9.（2015浙江文）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知. (1)求的值； (2)若，求的面積. 9.解析 (1) ，得. . (2) ，.由正弦定理得，，

12、所以， 又， 所以. 10.（2016全國(guó)乙文4）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，，，則（ ）. A. B. C. D. 10. D 解析 由余弦定理得，即， 整理得，解得.故選D. 11.（2016山東文8）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，已知，，則（ ）. A. B. C. D. 11. C解析 由余弦定理，得. 因?yàn)椋? 由已知得，所以， 所以.因?yàn)?，所?故選C. 評(píng)注 考試的時(shí)候得到，若尋找不到因式分解可考慮代入選項(xiàng)檢驗(yàn). 題型60 判

13、斷三角形的形狀 1. (2013陜西文9）設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的形狀為（ ）. A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 不確定 1.分析 利用余弦定理的變形將角的余弦值轉(zhuǎn)化為三角形邊之間的關(guān)系． 解析 因?yàn)? ,所以. 因?yàn)?，所以，即是直角三角形．故選B. 題型61 解三角形的綜合應(yīng)用 1. （2013江西文17）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知. （1）求證：成等差數(shù)列； （2）若，求的值. 1.分析 （1）根據(jù)正弦定理把已知條件中的角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，從而證明成等 差數(shù)列；（2）應(yīng)用

14、（1）的結(jié)論和余弦定理得出的關(guān)系式，從而求出結(jié)論. 解析 （1）由已知得.因?yàn)?，所? 由正弦定理得，即成等差數(shù)列. （2）由及余弦定理得，即有，所以. 2. (2013天津文16）在中， 內(nèi)角所對(duì)的邊分別是. 已知，， . （1）求的值; （2）求的值. 2.分析 （1）先用正弦定理求出，再用余弦定理求出；（2）用二倍角公式和兩角差公式求值. 解析 （1）在△中，由可得又由 可得.又故由可得 （2）由得進(jìn)而得 所以 3.（2013湖北文18） 在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別是，，. 已知． （1）求角的大小； （2）若的面積，，求的值． 3.分析 利用倍角

15、公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知條件，求得的值，即得角的大小；由面 積求出邊，再利用余弦定理求出邊，最后利用正弦定理求出的值. 解析 （1）由，得，即，解得.因?yàn)?，所? （2）由，得，又，所以. 由余弦定理得，所以. 從而由正弦定理得. 4. （2013四川文17）在中，角的對(duì)邊分別為，且 . （1）求的值；推導(dǎo)的前項(xiàng)和公式； （2）若，求向量在方向上的投影. 4.分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理得，即，然后利用兩角 和的余弦公式求得. （2）借助正、余弦定理求角后再利用向量投影公式求解． 解析 （1）由，得.則，即. 又，則. （2）由正弦定理，有，所以. 故題意知，

16、則，故. 根據(jù)余弦定理，有.解得或（負(fù)值舍去）. 故向量在方向上的投影為. 5. (2013浙江文18）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且. （1）求角的大??； （2）若，，求的面積. 5.分析 （1）利用已知條件和正弦定理可求出，進(jìn)而求出；（2）利用余弦定理求出 ，再用面積公式求面積. 解析 （1）由及正弦定理，得.因?yàn)槭卿J角， 所以. （2）由余弦定理，得. 又，所以. 由三角形面積公式，得的面積為. 6.（2014四川文8）如圖所示，從氣球上測(cè)得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，，此時(shí)氣球的高是，則河流的寬度等于（ ）. A.

17、 B. C. D. 7.（2014新課標(biāo)Ⅰ文16）如圖所示，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測(cè)得.已知山高， 則山高 . 8．（2014湖北文13）在中，角所對(duì)的邊分別為. 輸入 開始 否 是 結(jié)束 輸出 已知，，，則 . 9.（2014北京文12）在中，，，，則 ； . 9. 解析 由余弦定理知，

18、故；由，，知，由知. 10.（2014陜西文16）（本小題滿分12分） 的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為. （1）若成等差數(shù)列，求證：； （2）若成等比數(shù)列，且，求的值. 11. （2014安徽文16）（本小題滿分12分） 設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是，且，，的面積為，求與的值. 11. 解析 由三角形面積公式，得，故.因?yàn)?，所? ①當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，所以. ②當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，所以. 評(píng)注 本題考查解三角形，解題時(shí)要注意已知求時(shí)有兩解，防止漏解. 12.（2014大綱文18）（本小題滿分12分） 的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，求B. 13.（2014遼

19、寧文17）（本小題滿分12分） 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，已知，，，求： （1）和的值； （2）的值. 14.（2014山東文17）（本小題滿分12分） 中，角所對(duì)的邊分別為. 已知. （1）求的值； （2）求的面積. 15.（2014浙江文18）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知. （1）求角的大??； （2）已知，的面積為，求邊長(zhǎng)的值. 16.（2014重慶文18）（本小題滿分12分） 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且. （1）若，求的值； （2）若，且的面積，求和的值. 17. （2014新課標(biāo)Ⅱ文17）（本小題滿分12分） 四邊形的內(nèi)角與互補(bǔ)，，，. （

20、1）求和； （2）求四邊形的面積. 18.（2014湖南文19）（本小題滿分13分） 如圖所示，在平面四邊形中，，. （1）求的值； （2）求的長(zhǎng). 19.（2015湖北文）如圖所示，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂在西偏北的方向上，行駛m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度= m. 19.解析 中，，，所以， 因?yàn)?，由正弦定理可得，即m，在中，因?yàn)?，，所以，所以m. 20.（2015湖南）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，. （1）證明：； （2）若，且為鈍

21、角，求，，. 20.解析 （1）由及正弦定理，得，所以. （2）因?yàn)? 所以 . 由（1）知，因此，所以， 又為鈍角，故，由知， 從而. 綜上所述，，，. 21.（2016上海文10）已知的三邊長(zhǎng)分別為，，，則該三角形的外接圓半徑等于 . 21.解析 不妨設(shè)，，，則，故，因此. 22.（2016四川文18）在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且. （1）求證：； （2）若，求. 22.解析 （1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)，則，，. 代入中，有， 可變形得 在中，由，有， 所以 （2）由已知，根據(jù)余弦定理，有. 所以.由（1）得，， 所以，故

22、23.（2017全國(guó)1文11）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，則（ ）. A． B． C． D． 23.解析 由題意得 ， 即，所以. 由正弦定理，得，即，得.故選B. 24.（2017全國(guó)2文16）的內(nèi)角，B，C的對(duì)邊分別為，，，若，則 . 24.解析 解法一:由正弦定理可得 . 解法二：如圖所示，由射影定理知，，所以，所以，所以.. 25.（2017山東文17）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，求和. 25.解析 因?yàn)?，所以，?，所以， 因此， 且，所以.又，所以. 由余弦定理，得， 所

23、以. 26.（2017天津文15）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，. （1）求的值； （2）求的值. 26.解析 （1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，則. 又因?yàn)?，所以由余弦定理? （2）因?yàn)?，所以，? 因?yàn)?，所以由正弦定理? 又因?yàn)椋?，所以? 所以， 所以. 27.（2017浙江14）已知，，.?點(diǎn)為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)，則的面積是___________，__________. 27.解析 如圖所示，取的中點(diǎn)為，在等腰中,，所以，， 所以的面積為．因?yàn)?，所以是等腰三角形，所以，，解得? 28.（2017江蘇18）如圖所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四

24、棱臺(tái)形玻璃容器的高均為，容器的底面對(duì)角線的長(zhǎng)為，容器的兩底面對(duì)角線，的長(zhǎng)分別為和． 分別在容器和容器中注入水，水深均為． 現(xiàn)有一根玻璃棒，其長(zhǎng)度為（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）. （1）將放在容器中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒(méi)入水中部分 的長(zhǎng)度； （2） 將放在容器中，的一端置于點(diǎn)處，另一端置于側(cè)棱上，求沒(méi)入水中部 分的長(zhǎng)度． 28.解析 （1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，． 記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處，如圖所示為截面的平面圖形．因?yàn)椋?，所以，從?記與水面的交點(diǎn)為， 過(guò)點(diǎn)作，為垂足，則平面，故，從而． 答：玻璃棒沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度為．

25、 （2）如圖所示為截面的平面圖形，，是正棱臺(tái)兩底面的中心． 由正棱臺(tái)的定義，平面， 所以平面平面，． 同理，平面平面，． 記玻璃棒的另一端落在上點(diǎn)處． 過(guò)作，為垂足，則． 因?yàn)?，，所以? 從而． 設(shè)，，則． 因?yàn)椋裕? 在中，由正弦定理可得，解得． 因?yàn)?，所以? 于是 ． 記與水面的交點(diǎn)為，過(guò)作，為垂足，則平面， 故，從而． 答：玻璃棒沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度為． 評(píng)注 此題本質(zhì)上考查解三角形的知識(shí)，但在這樣的大背景下構(gòu)造的應(yīng)用題讓學(xué)生有畏懼之感，且該應(yīng)用題的實(shí)際應(yīng)用性也不強(qiáng)． 也有學(xué)生第（1）問(wèn)采用相似法解決，解法如下： ，，所以，， 所以由，，即，解得． 答：玻璃棒沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度為． 題型 正、余弦定理與向量的綜合——暫無(wú)