高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)練習(xí)第4講基本不等式

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1、 第4講 基本不等式 一、選擇題 1.若x>0,則x+的最小值為(  ). A.2 B.3 C.2 D.4 解析 ∵x>0,∴x+≥4. 答案 D 2.已知a>0,b>0,a+b=2,則y=+的最小值是(  ). A. B.4 C. D.5 解析 依題意得+=(a+b)=≥=,當(dāng)且僅當(dāng),即a=, b=時(shí)取等號(hào),即+的最小值是. 答案 C 3.小王從甲地到乙地的時(shí)速分別為a和b(a

2、B.v= C.=0,∴v>a. 答案 A 4.若正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=1,則(  ). A.+有最大值4 B.a(chǎn)b有最小值 C.+有最大值 D.a(chǎn)2+b2有最小值 解析 由基本不等式,得ab≤=,所以ab≤,故B錯(cuò);+==≥4,故A錯(cuò);由基本不等式得≤ = ,即+≤ ,故C正確;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=,故D錯(cuò). 答案 C 5.已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2+2m

3、恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (  ). A.(-∞,-2]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞) C.(-2,4) D.(-4,2) 解析 ∵x>0,y>0且+=1, ∴x+2y=(x+2y)=4++ ≥4+2 =8,當(dāng)且僅當(dāng)=, 即x=4,y=2時(shí)取等號(hào), ∴(x+2y)min=8,要使x+2y>m2+2m恒成立, 只需(x+2y)min>m2+2m恒成立, 即8>m2+2m,解得-40),l1與函數(shù)y=|log2x|的圖象從左至右相交

4、于點(diǎn)A,B,l2與函數(shù)y=|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)C,D.記線段AC和BD在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a,b.當(dāng)m變化時(shí),的最小值為 (  ). A.16 B.8 C.8 D.4 解析 如圖,作出y=|log2x|的圖象,由圖可知A,C點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間(0,1)內(nèi),B,D點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi),而且xC-xA與xB-xD同號(hào),所以=,根據(jù)已知|log2xA|=m,即-log2xA=m,所以xA=2-m.同理可得xC=2-,xB=2m,xD=2,所以====2+m,由于+m=+-≥4-=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即2m+1=4,即

5、m=時(shí)等號(hào)成立,故的最小值為2=8. 答案 B 二、填空題 7.設(shè)x,y為實(shí)數(shù).若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是________. 解析 依題意有(2x+y)2=1+3xy=1+×2x×y≤1+·2,得(2x+y)2≤1,即|2x+y|≤.當(dāng)且僅當(dāng)2x=y(tǒng)=時(shí),2x+y取最大值. 答案  8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f(x)=的圖象交于P,Q兩點(diǎn),則線段PQ長(zhǎng)的最小值是________. 解析 假設(shè)直線與函數(shù)f(x)=的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P,在第三象限內(nèi)的交點(diǎn)為Q,由題意知線段PQ的長(zhǎng)為OP長(zhǎng)的2倍. 假設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為,則|PQ|

6、=2|OP|=2≥4.當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x0=時(shí),取“=”號(hào). 答案 4 9.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是________. 解析 由a,b∈R+,由基本不等式得a+b≥2, 則ab=a+b+3≥2+3, 即ab-2-3≥0?(-3)(+1)≥0? ≥3, ∴ab≥9. 答案 [9,+∞) 10.已知兩正數(shù)x,y滿足x+y=1,則z=的最小值為_(kāi)_______。 解析 z==xy+++=xy++=+xy-2,令t=xy,則0

7、答題 11.設(shè)a,b,c都是正數(shù),求證:++≥a+b+c. 證明 ∵a,b,c都是正數(shù),∴,,都是正數(shù). ∴+≥2c,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立, +≥2a,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立, +≥2b,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立. 三式相加,得2(++)≥2(a+b+c), 即++≥a+b+c. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立. 12.已知x>0,y>0,且2x+5y=20. (1)求u=lg x+lg y的最大值; (2)求+的最小值. 解 (1)∵x>0,y>0, ∴由基本不等式,得2x+5y≥2. ∵2x+5y=20,∴2≤20,xy≤10,當(dāng)且僅當(dāng)2x=5y時(shí),等號(hào)成立

8、. 因此有解得 此時(shí)xy有最大值10. ∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1. ∴當(dāng)x=5,y=2時(shí),u=lg x+lg y有最大值1. (2)∵x>0,y>0,∴+=·= ≥=,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號(hào)成立. 由解得 ∴+的最小值為. 13.設(shè)f(x)=(x>0). (1)求f(x)的最大值; (2)證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,恒有f(a)

9、大值2, ∴對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,恒有f(a)

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