高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)練習(xí)第4講古典概型

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1、 第4講 古典概型 一、選擇題 1.將一顆質(zhì)地均勻的骰子(它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6的正方體玩具)先后拋擲3次,至少出現(xiàn)一次5點(diǎn)向上的概率是(  ) A. B. C. D. 解析 拋擲3次,共有6×6×6=216個(gè)事件.一次也不出現(xiàn)5,則每次拋擲都有5種可能,故一次也未出現(xiàn)5的事件總數(shù)為5×5×5=125.于是沒(méi)有出現(xiàn)一次5點(diǎn)向上的概率P=,所求的概率為1-=. 答案 D 2.一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球,其中有3個(gè)黑球與2個(gè)紅球,如果從中任取兩個(gè)球,則恰好取到兩個(gè)同色球的概率是

2、 (  ). A. B. C. D. 解析 基本事件有C=10個(gè),其中為同色球的有C+C=4個(gè),故所求概率為=. 答案 C 3.甲、乙兩人各寫(xiě)一張賀年卡,隨意送給丙、丁兩人中的一人,則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是 (  ). A. B. C. D. 解析 (甲送給丙,乙送給丁),(甲送給丁,乙送給丙),(甲、乙都送給丙),(甲、乙都送給丁),共四種情況,其中甲、乙將賀年卡送給同一人的情況有兩種,所以P==. 答案 A 4.甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線,乙從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線,則所得

3、的兩條直線相互垂直的概率是(  ) A.          B. C. D. 解析 正方形四個(gè)頂點(diǎn)可以確定6條直線,甲乙各自任選一條共有36個(gè)等可能的基本事件.兩條直線相互垂直的情況有5種(4組鄰邊和對(duì)角線),包括10個(gè)基本事件,所以概率等于. 答案 C 5.一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成1 000個(gè)大小相同的小正方體,若將這些小正方體均勻地?cái)嚮煸谝黄?,則任意取出一個(gè)正方體其三面涂有油漆的概率是(  ). A. B. C.

4、 D. 解析 小正方體三面涂有油漆的有8種情況,故所求其概率為:=. 答案 D 6.將號(hào)碼分別為1,2,3,4的四個(gè)小球放入一個(gè)袋中,這些小球僅號(hào)碼不同,其余完全相同,甲從袋中摸出一個(gè)小球,其號(hào)碼為a,放回后,乙從此口袋中再摸出一個(gè)小球,其號(hào)碼為b,則使不等式a-2b+4<0成立的事件發(fā)生的概率為 (  ). A. B. C. D. 解析 由題意知(a,b)的所有可能結(jié)果有4×4=16個(gè).其中滿足a-2b+4<0的有(1,3),(1,4),(2,4),(3,4),共4個(gè),所以所求概率為. 答案 C 二、填空題 7.在

5、集合A={2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m,在集合B={1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n,得到點(diǎn)P(m,n),則點(diǎn)P在圓x2+y2=9內(nèi)部的概率為_(kāi)_______. 解析 由題意得到的P(m,n)有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6個(gè),在圓x2+y2=9的內(nèi)部的點(diǎn)有(2,1),(2,2),所以概率為=. 答案  8. 現(xiàn)有10個(gè)數(shù),它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),則它小于8的概率是 . 解析 組成滿足條件的數(shù)列為:從中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)共有取法種,其中小于的取法共有種,因此取出的這個(gè)數(shù)小于的概率為

6、. 答案 9.甲、乙二人參加普法知識(shí)競(jìng)答,共有10個(gè)不同的題目,其中6個(gè)選擇題,4 個(gè)判斷題,甲、乙二人依次各抽一題,則甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是________. 解析 方法1:設(shè)事件A:甲乙兩人中至少有一人抽到選擇題.將A分拆為B:“甲選乙判”,C:“甲選乙選”,D:“甲判乙選”三個(gè)互斥事件, 則P(A)=P(B)+P(C)+P(D). 而P(B)=,P(C)=,P(D)=, ∴P(A)=++==. 方法2:設(shè)事件A:甲乙兩人中至少有一人抽到選擇題,則其對(duì)立事件為: 甲乙兩人均抽判斷題.∴P()==,∴P(A)=1-==. 故甲、乙兩人中至少有一

7、人抽到選擇題的概率為. 答案   10.三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽.若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目,則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示). 解析 根據(jù)條件求出基本事件的個(gè)數(shù),再利用古典概型的概率計(jì)算公式求解.因?yàn)槊咳硕紡娜齻€(gè)項(xiàng)目中選擇兩個(gè),有(C)3種選法,其中“有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同”的基本事件有CCC個(gè),故所求概率為=. 答案  三、解答題 11.某地區(qū)有小學(xué)21所,中學(xué)14所,大學(xué)7所,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查. (1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目; (2)若從抽取

8、的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析, ①列出所有可能的抽取結(jié)果; ②求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率. 解 (1)由分層抽樣的定義知,從小學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×=3;從中學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×=2;從大學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×=1.故從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1. (2)①在抽取到的6所學(xué)校中,3所小學(xué)分別記為A1,A2,A3,2所中學(xué)分別記為A4,A5,1所大學(xué)記為A6,則抽取2所學(xué)校的所有可能結(jié)果為(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,

9、A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共15種. ②從6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)(記為事件B)的所有可能結(jié)果為(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3種. 所以P(B)==. 12.從某小組的2名女生和3名男生中任選2人去參加一項(xiàng)公益活動(dòng). (1)求所選2人中恰有一名男生的概率; (2)求所選2人中至少有一名女生的概率. 解析 設(shè)2名女生為a1,a2,3名男生為b1,b2,b3,從中選出2人的基本事件有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),

10、(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共10種. (1) 設(shè)“所選2人中恰有一名男生”的事件為A,則A包含的事件有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共6種, ∴P(A)==, 故所選2人中恰有一名男生的概率為. (2)設(shè)“所選2人中至少有一名女生”的事件為B,則B包含的事件有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),共7種, ∴P(B)=, 故所選2人中至少有一名女生的概率為. 13.袋內(nèi)裝有6個(gè)球,這些球依次被編號(hào)為1,2,3

11、,…,6,設(shè)編號(hào)為n的球重n2-6n+12(單位:克),這些球等可能地從袋里取出(不受重量、編號(hào)的影響). (1)從袋中任意取出一個(gè)球,求其重量大于其編號(hào)的概率; (2)如果不放回的任意取出2個(gè)球,求它們重量相等的概率. 解 (1)若編號(hào)為n的球的重量大于其編號(hào). 則n2-6n+12>n,即n2-7n+12>0. 解得n<3或n>4. ∴n=1,2,5,6.∴從袋中任意取出一個(gè)球,其重量大于其編號(hào)的概率P==. (2)不放回的任意取出2個(gè)球,這兩個(gè)球編號(hào)的所有可能情形共有C=15種. 設(shè)編號(hào)分別為m與n(m,n∈{1,2,3,4,5,6},且m≠n)球的重量相等,則有m2-6m

12、+12=n2-6n+12,即有(m-n)(m+n-6)=0. ∴m=n(舍去)或m+n=6. 滿足m+n=6的情形為(1,5),(2,4),共2種情形. 由古典概型,所求事件的概率為. 14.某省實(shí)驗(yàn)中學(xué)共有特級(jí)教師10名,其中男性6名,女性4名,現(xiàn)在要從中抽調(diào)4名特級(jí)教師擔(dān)任青年教師培訓(xùn)班的指導(dǎo)教師,由于工作需要,其中男教師甲和女教師乙不能同時(shí)被抽調(diào). (1)求抽調(diào)的4名教師中含有女教師丙,且4名教師中恰有2名男教師、2名女教師的概率; (2)若抽到的女教師的人數(shù)為ξ,求P(ξ≤2). 解 由于男教師甲和女教師乙不能同時(shí)被抽調(diào),所以可分以下兩種情況: ①若甲和乙都不被抽調(diào),有

13、C種方法; ②若甲和乙中只有一人被抽調(diào),有CC種方法,故從10名教師中抽調(diào)4人,且甲和乙不同時(shí)被抽調(diào)的方法總數(shù)為C+CC=70+112=182.這就是基本事件總數(shù). (1)記事件“抽調(diào)的4名教師中含有女教師丙,且恰有2名男教師,2名女教師”為A,因?yàn)楹信處煴栽購(gòu)呐處熤谐槿∫蝗?,若抽到的是女教師乙,則男教師甲不能被抽取,抽調(diào)方法數(shù)是C;若女教師中抽到的不是乙,則女教師的抽取方法有C種,男教師的抽取方法有C種,抽調(diào)的方法數(shù)是CC.故隨機(jī)事件“抽調(diào)的4名教師中含有女教師丙,且4名教師中恰有2名男教師、2名女教師”含有的基本事件的個(gè)數(shù)是C+CC=40. 根據(jù)古典概型概率的計(jì)算公式得P(A)==. (2)ξ的可能取值為0,1,2,3,4,所以P(ξ≤2)=1-P(ξ>2)=1-P(ξ=3)-P(ξ=4),若ξ=3,則選出的4人中,可以含有女教師乙,這時(shí)取法為CC種,也可以不含女教師乙,這時(shí)有CC種,故P(ξ=3)===; 若ξ=4,則選出的4名教師全是女教師,必含有乙,有C種方法,故P(ξ=4)==,于是P(ξ≤2)=1--==.

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