【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練:第9篇 步驟規(guī)范練——統(tǒng)計(jì)與概率數(shù)學(xué)大師 高考

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1、步驟規(guī)范練——統(tǒng)計(jì)與概率 (建議用時(shí):90分鐘) 一、選擇題 1.(2014·石家莊調(diào)研)某校高三年級(jí)有男生500人,女生400人,為了解該年級(jí)學(xué)生的健康情況,從男生中任意抽取25人,從女生中任意抽取20人進(jìn)行調(diào)查.這種抽樣方法是 (  ). A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法 B.抽簽法 C.隨機(jī)數(shù)表法 D.分層抽樣法 解析 總體由差異明顯的幾部分組成、按比例抽樣,為分層抽樣. 答案 D 2.(2014·廣州月考)某射手在一次射擊中,射中10環(huán),9環(huán),8環(huán)的概率分別是0.20,0.30,0.10,則此射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為 (  ). A.0.40 B.0.30  C.0.6

2、0 D.0.90 解析 一次射擊不夠8環(huán)的概率為:1-0.2-0.3-0.1=0.4. 答案 A 3.(2012·湖北卷)容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后的頻數(shù)如下表: 分組 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 頻數(shù) 2 3 4 5 4 2 則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為 (  ). A.0.35 B.0.45   C.0.55 D.0.65 解析 數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)內(nèi)的頻數(shù)為9,樣本容量為20,所求頻率為=0.45. 答案 B 4.(2014·沈陽(yáng)模擬)第十二屆全運(yùn)會(huì)于2

3、013年8月31日在沈陽(yáng)舉行,運(yùn)動(dòng)會(huì)期間從來(lái)自A大學(xué)的2名志愿者和來(lái)自B大學(xué)的4名志愿者中隨機(jī)抽取2人到體操比賽場(chǎng)館服務(wù),至少有一名A大學(xué)志愿者的概率是 (  ). A. B.   C. D. 解析 記2名來(lái)自A大學(xué)的志愿者為A1,A2,4名來(lái)自B大學(xué)的志愿者為B1,B2,B3,B4.從這6名志愿者中選出2名的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4),共15種.其中至少有一名A大學(xué)

4、志愿者的事件有9種.故所求概率為=. 答案 C 5.(2014·江西八校聯(lián)考)已知數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn分別是某省普通職工n(n≥3,n∈N*)個(gè)人的年收入,設(shè)這n個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x,平均數(shù)為y,方差為z,如果再加上世界首富的年收入xn+1,則這n+1個(gè)數(shù)據(jù)中,下列說(shuō)法正確的是 (  ). A.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)一定變大,方差可能不變 B.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差變大 C.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差也不變 D.年收入平均數(shù)可能不變,中位數(shù)可能不變,方差可能不變 解析 由于世界首富的年收入xn+1較大,故平均數(shù)一定會(huì)增大,差距會(huì)

5、拉大,因此方差也會(huì)變大,選B. 答案 B 6.(2014·萍鄉(xiāng)模擬)一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球,其中有3個(gè)黑球與2個(gè)紅球,如果從中任取兩個(gè)球,則恰好取到兩個(gè)同色球的概率是 (  ). A. B.   C. D. 解析 基本事件有(黑1,黑2), (黑1,黑3),(黑2,黑3),(紅1,紅2),(黑1,紅1),(黑1,紅2),(黑2,紅1),(黑2,紅2), (黑3,紅1),(黑3,紅2),共10個(gè),其中為同色球的有4個(gè),故所求概率為=. 答案 C 7.(2014·江西九校聯(lián)考)在區(qū)間[-3,3]上,隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)x,y,則x-y>2的概率是 (  ). A. B.   C

6、. D. 解析 取出的數(shù)對(duì)(x,y)組成平面區(qū)域{(x,y)|-3≤x≤3,-3≤y≤3},其中x-y>2表示的區(qū)域是圖中的陰影部分(如圖),故所求的概率為=. 答案 A 8.(2014·陜西五校聯(lián)考)為了普及環(huán)保知識(shí),增強(qiáng)環(huán)保意識(shí),某大學(xué)從理工類專業(yè)的A班和文史類專業(yè)的B班各抽取20名同學(xué)參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試.統(tǒng)計(jì)得到成績(jī)與專業(yè)的列聯(lián)表: 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計(jì) A班 14 6 20 B班 7 13 20 總計(jì) 21 19 40 則下列說(shuō)法正確的是 (  ). A.有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)有關(guān) B.有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)

7、與專業(yè)無(wú)關(guān) C.有95%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)有關(guān) D.有95%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)無(wú)關(guān) 解析 χ2=≈4.9 123,因?yàn)?.9 123>3.841,所以有95%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)有關(guān). 答案 C 9.(2014·杭州二檢)用莖葉圖記錄甲、乙兩人在5次體能綜合測(cè)評(píng)中的成績(jī)(成績(jī)?yōu)閮晌徽麛?shù)),若乙有一次不少于90分的成績(jī)未記錄,則甲的平均成績(jī)超過(guò)乙的平均成績(jī)的概率為 (  ). A. B.   C. D. 解析 顯然甲的平均成績(jī)是90分,乙的平均成績(jī)要低于90分,則乙的未記錄的成績(jī)不超過(guò)97分,90~97共有8個(gè)成績(jī),故滿足要求的概率為

8、=. 答案 C 10.(2014·南昌模擬)在區(qū)間[0,π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則事件“sin x+cos x≥”發(fā)生的概率為 (  ). A. B.   C. D. 解析 因?yàn)樗裕础躼≤.根據(jù)幾何概型的計(jì)算方法,所以所求的概率為P==. 答案 B 二、填空題 11.(2014·咸陽(yáng)模擬)某個(gè)年級(jí)有男生560人,女生420人,用分層抽樣的方法從該年級(jí)全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為280的樣本,則此樣本中男生人數(shù)為_(kāi)_______. 解析 設(shè)樣本中男生人數(shù)為n,則有=,解得n=160. 答案 160 12.(2014·渭南模擬)統(tǒng)計(jì)某校1 000名學(xué)生的數(shù)學(xué)會(huì)考成績(jī),得到樣本

9、頻率分布直方圖如圖所示,規(guī)定不低于60分為及格,則及格人數(shù)是________名. 解析 [1-(0.005+0.015)×10]×1 000=800. 答案 800 13.(2014·上饒模擬)假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)y(萬(wàn)元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料: 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費(fèi)用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 由資料可知y和x呈線性相關(guān)關(guān)系,由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程=x+中的=1.23,據(jù)此估計(jì),使用年限為10年時(shí)的維修費(fèi)用是________萬(wàn)元. 解析 由題意知=4,=5,即回歸直線過(guò)點(diǎn)(4,5),代入回歸直線方程

10、得=0.08,即回歸直線方程為=1.23x+0.08,所以當(dāng)x=10時(shí),=1.23×10+0.08=12.38(萬(wàn)元). 答案 12.38 14.(2014·廣州二模)如圖所示,一個(gè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為2,分別以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心,1為半徑在三角形內(nèi)作圓弧,三段圓弧與斜邊圍成區(qū)域M(圖中白色部分).若在此三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落在區(qū)域M內(nèi)的概率為_(kāi)_______. 解析 ∵S扇形=2××12×+×π×12=, ∴SM=×2×2-S扇形=2-, ∴所求概率為P==1-. 答案 1- 三、解答題 15.(2013·廣東卷)從一批蘋果中,隨機(jī)抽取50個(gè),其重量(單位:克)

11、的頻數(shù)分布表如下: 分組(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 頻數(shù)(個(gè)) 5 10 20 15 (1)根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算蘋果的重量在[90,95)的頻率; (2)用分層抽樣的方法從重量在[80,85)和[95,100)的蘋果中共抽取4個(gè),其中重量在[80,85)的有幾個(gè)? (3)在(2)中抽出的4個(gè)蘋果中,任取2個(gè),求重量在[80,85)和[95,100)中各有1個(gè)的概率. 解 (1)由題意知蘋果的樣本總數(shù)n=50,在[90,95)的頻數(shù)是20,∴蘋果的重量在[90,95)的頻率是=0.4. (2)設(shè)從重量在[80,85)的蘋

12、果中抽取x個(gè),則從重量在[95,100)的蘋果中抽取(4-x)個(gè). ∵表格中[80,85),[95,100)的頻數(shù)分別是5,15, ∴5∶15=x∶(4-x),解得x=1. 即重量在[80,85)的有1個(gè). (3)在(2)中抽出的4個(gè)蘋果中,重量在[80,85)中有1個(gè),記為a,重量在[95,100)中有3個(gè),記為b1,b2,b3,任取2個(gè),有ab1,ab2,ab3,b1b2,b1b3,b2b3共6種不同方法.記基本事件總數(shù)為n,則n=6,其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1個(gè)的事件記為A,事件A包含的基本事件為ab1,ab2,ab3,共3個(gè), 由古典概型的概率計(jì)算公式

13、得P(A)==. 16.(2013·安徽卷)為調(diào)查甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)情況,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,從這兩校中各抽取30名高三年級(jí)學(xué)生,以他們的數(shù)學(xué)成績(jī)(百分制)作為樣本,樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示: (1)若甲校高三年級(jí)每位學(xué)生被抽取的概率為0.05,求甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù),并估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率(60分及60分以上為及格); (2)設(shè)甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成績(jī)分別為1,2,估計(jì)1-2的值. 解 (1)設(shè)甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)為n.由題意知,=0.05,即n=600. 樣本中甲校高三年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不及格人數(shù)為5,據(jù)此估計(jì)甲校高三年

14、級(jí)此次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(jī)及格率為1-=. (2)設(shè)甲、乙兩校樣本平均數(shù)分別為,,根據(jù)樣本莖葉圖可知,30(-)=30-30 =(7-5)+(50+13-14)+(-60+24-17)+(-70+26-33)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15. 因此-=0.5.故1-2的估計(jì)值為0.5分. 17.(2013·陜西卷)有7位歌手(1至7號(hào))參加一場(chǎng)歌唱比賽,由500名大眾評(píng)委現(xiàn)場(chǎng)投票決定歌手名次.根據(jù)年齡將大眾評(píng)委分為五組,各組的人數(shù)如下: 組別 A B C D E 人數(shù) 50 100 150 150 50 (1)為了調(diào)查評(píng)委對(duì)7位歌手的支持情

15、況,現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評(píng)委,其中從B組抽取了6人,請(qǐng)將其余各組抽取的人數(shù)填入下表. 組別 A B C D E 人數(shù) 50 100 150 150 50 抽取人數(shù) 6 (2)在(1)中,若A,B兩組被抽到的評(píng)委中各有2人支持1號(hào)歌手,現(xiàn)從這兩組被抽到的評(píng)委中分別任選1人,求這2人都支持1號(hào)歌手的概率. 解 (1)由題設(shè)知,分層抽樣的抽取比例為6%,所以各組抽取的人數(shù)如下表: 組別 A B C D E 人數(shù) 50 100 150 150 50 抽取人數(shù) 3 6 9 9 3 (2)記從A組抽到的3個(gè)評(píng)

16、委為a1,a2,a3,其中a1,a2支持1號(hào)歌手;從B組抽到的6個(gè)評(píng)委為b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中b1,b2支持1號(hào)歌手.從{a1,a2,a3}和{b1,b2,b3,b4,b5,b6}中各抽取1人的所有結(jié)果為: 由以上樹狀圖知所有結(jié)果共18種,其中2人都支持1號(hào)歌手的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2共4種,故所求概率P==. 18.(2012·湖南卷)某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示. 一次購(gòu)物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件 及以

17、上 顧客數(shù)/人 x 30 25 y 10 結(jié)算時(shí)間/(分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%. (1)確定x,y的值,并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值; (2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率.(將頻率視為概率) 解 (1)由已知得25+y+10=55,x+30=45, 所以x=15,y=20. 該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體,所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì),其估計(jì)值為 =1.9(分鐘). (2)記A為事件“一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘”,A1,A2,A3分別表示事件“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘”“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1.5分鐘”“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘”.將頻率視為概率得 P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==. 因?yàn)锳=A1+A2+A3,且A1,A2,A3是互斥事件, 所以P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) =++=. 故一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率為.

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