【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練：第9篇 第6講 模擬方法——概率的應(yīng)用數(shù)學(xué)大師 高考

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1、第6講　模擬方法——概率的應(yīng)用 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒，當(dāng)某人到達(dá)路口時(shí)看見的是紅燈的概率是 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　以時(shí)間的長(zhǎng)短進(jìn)行度量，故P＝＝. 答案　B 2．取一根長(zhǎng)度為4 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1 m的概率是 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　把繩子4等分，當(dāng)剪斷點(diǎn)位于中間兩部分時(shí)，兩段繩子都不少于1 m，故所求概率為P＝＝. 答案　C 3．(2014·江西九校聯(lián)考)點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的

2、正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離|PA|≤1的概率為 (　　)． A. B．　　 C. D．π 解析　如圖，滿足|PA|≤1的點(diǎn)P在如圖所示陰影部分運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離|PA|≤1的概率為＝＝. 答案　C 4．(2012·遼寧卷)在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積大于20 cm2的概率為 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　設(shè)AC＝x cm,0＜x＜12，則CB＝(12－x)cm，要使矩形面積大于20 cm2，只要x(12－x)＞20，則x2－12x＋20＜0，解得2＜x＜10

3、，所求概率為P＝＝. 答案　C 5．一只蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為 (　　)． A. B．　　 C. D． 解析　由已知條件，可知蜜蜂只能在一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體內(nèi)飛行，結(jié)合幾何概型，可得蜜蜂“安全飛行”的概率為P＝＝. 答案　C 二、填空題 6．點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為________． 解析　如圖可設(shè)與的長(zhǎng)度等于1，則由幾何概型可知其整體事件是其周長(zhǎng)3，則其概率是. 答案　 7．已知

4、如圖所示的矩形，長(zhǎng)為12，寬為5，在矩形內(nèi)隨機(jī)地投擲1 000粒黃豆，落在陰影部分的黃豆為600粒，則可以估計(jì)出陰影部分的面積為________． 解析　設(shè)所求的面積為S，由題意，得＝，則S＝36. 答案　36 8．(2014·成都模擬)在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，cos x的值介于0至之間的概率為________． 解析　由0≤cos x≤，x∈，可得－≤x≤－，或≤x≤，結(jié)合幾何概型的概率公式可得所求的概率為P＝＝. 答案　 三、解答題 9．在1升高產(chǎn)小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？從中隨機(jī)取出30毫升，含有麥銹病種子的概率

5、是多少？ 解　1升＝1 000毫升，記事件A：“取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子”． 則P(A)＝＝0.01，即取出10毫升種子含有這粒帶麥銹病的種子的概率為0.01. 記事件B：“取30毫升種子含有帶麥銹病的種子”． 則P(B)＝＝0.03，即取30毫升種子含有帶麥銹病的種子的概率為0.03. 10．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù)，求方程有實(shí)根的概率． 解　設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”．當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b. 試驗(yàn)的全部結(jié)

6、果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，根據(jù)條件畫出構(gòu)成的區(qū)域(略)，可得所求的概率為P(A)＝＝. 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、選擇題 1.如圖所示，設(shè)M是半徑為R的圓周上一個(gè)定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)N，連接MN，則弦MN的長(zhǎng)超過(guò) R的概率為(　　)． A. B．　　 C. D． 解析　如圖，在圓上過(guò)圓心O作與OM垂直的直徑CD，則MD＝MC＝R，當(dāng)點(diǎn)N不在半圓弧上時(shí)，MN＞R，故所求的概率P(A)＝＝. 答案　D 2．(2012·湖北卷)如圖，在圓心角為直角的扇形OA

7、B中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓． 在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是(　　)． A.－　　　　 B．　　 C．1－　　　　 D． 解析　如圖，設(shè)OA＝2，S扇形AOB＝π，S△OCD＝×1×1＝，S扇形OCD＝，∴在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1＝－2＝1，所有陰影面積為π－2.故所求概率P＝＝1－. 答案　C 二、填空題 3．(2014·寶雞模擬)已知正三棱錐S－ABC的底邊長(zhǎng)為4，高為3，在三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP－ABC

8、VS－ABC就是三棱錐P－ABC的高小于三棱錐S－ABC的高的一半，過(guò)高的中點(diǎn)作一平行底面的截面，這個(gè)截面下任取一點(diǎn)都符合題意，設(shè)底面ABC的面積為S，三棱錐S－ABC的高為h，則所求概率為： P＝＝. 答案　 三、解答題 4．設(shè)AB＝6，在線段AB上任取兩點(diǎn)(端點(diǎn)A，B除外)，將線段AB分成了三條線段， (1)若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率； (2)若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率． 解　(1)若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，則三條線段的長(zhǎng)度所有可能情況是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3種情況，其中只有三條線段長(zhǎng)為2,2,2時(shí)能構(gòu)成三角形，故構(gòu)成三角形的概率為P＝. (2)設(shè)其中兩條線段長(zhǎng)度分別為x，y，則第三條線段長(zhǎng)度為6－x－y，故全部試驗(yàn)結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? 即 所表示的平面區(qū)域?yàn)椤鱋AB. 若三條線段x，y,6－x－y能構(gòu)成三角形， 則還要滿足 即為 所表示的平面區(qū)域?yàn)椤鱀EF， 由幾何概型知，所求概率為P＝＝.