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1、
第31講 解三角形題型的解法
【知識(shí)要點(diǎn)】
一、直角三角形中各元素間的關(guān)系：
在中，
（1）三邊之間的關(guān)系：(勾股定理）
（2）銳角之間的關(guān)系：；
（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）
，，.
二、斜三角形中各元素間的關(guān)系：
在中，為其內(nèi)角，分別表示的對(duì)邊.
（1）三角形內(nèi)角和：.
（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等
（為外接圓半徑）
（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩
倍.
； ； .
三、三角形的面積公式：
（1）（分別表示的高）；
（2
2、）＝
四、解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問(wèn)題叫做解三角形．廣義地，這里所說(shuō)的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．主要類型：
（1）兩類正弦定理解三角形的問(wèn)題：
第1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.
第2、已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.
（2）兩類余弦定理解三角形的問(wèn)題：
第1、已知三邊求三角.
第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.
解三角形如果出現(xiàn)多解，要利用三角形內(nèi)角和定理或三角形邊角不等關(guān)系來(lái)檢驗(yàn).
五、三角形中的三角變換
3、
三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn).
（1）角的變換
因?yàn)樵谥校?，所以；?
；.
（2）判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.
六、求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：
（1）分析：分析題意，弄清已知和所求；
（2）建模：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，寫(xiě)出已知與所求，并畫(huà)出示意圖；
（3）求解：正確運(yùn)用正、余弦定理求解；
（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求是否符合實(shí)際意義.
七、解應(yīng)用題中的幾個(gè)角的概念
（1）仰角、俯角的概念：
在測(cè)量時(shí)，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫
4、做俯角.如圖：
（2）方向角：相對(duì)于某正方向的水平角.如南偏西等.
（3）方位角：指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的夾角.
【方法講評(píng)】
題型一
求三角形的角和邊
使用情景
解三角形
解題步驟
一般利用正弦定理、余弦定理和三角恒等變形來(lái)解答.
【例1】在中，已知，，，求．
【點(diǎn)評(píng)】（1）利用正弦定理和余弦定理時(shí)，注意使用的數(shù)學(xué)情景，知道兩邊和其中一邊的對(duì)角一般利用正弦定理解答；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，一般要討論，利用三角形內(nèi)角和定理或三角形邊角不等關(guān)系定理檢驗(yàn).
【反饋檢測(cè)1】在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
（1）求角的大小；
（2
5、）若，，求，的值．
題型二
求三角形的面積
使用情景
解三角形
解題步驟
利用公式解答.
【例2】 在中，角的對(duì)邊分別為，且.
（1）求角的值；
（2）若角，邊上的中線，求的面積.
【點(diǎn)評(píng)】求三角形的面積一般利用公式解答，注意靈活選用公式.
【反饋檢測(cè)2】在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，已知，．
（Ⅰ）若的面積等于，求；
（Ⅱ）若，求的面積．
題型三
判斷三角形的形狀
使用情景
解三角形
解題步驟
一般利用正弦定理或余弦定理邊化角或角化邊.
【例3】在中，若，則的形狀是（ ）
A．直角三角形
6、 B．等腰或直角三角形
C．不能確定 D．等腰三角形
【點(diǎn)評(píng)】（1）判斷三角形的形狀，一般利用正弦定理或余弦定理邊化角或角化邊.（2）得到或，不要漏了.
【反饋檢測(cè)3】已知分別是 中角的對(duì)邊.
（1）求的值；
（2）圓為的外接圓（在內(nèi)部）, 的面積為,判斷的形狀, 并說(shuō)明理由.
題型四
解三角形的應(yīng)用
使用情景
解三角形的應(yīng)用
解題步驟
先畫(huà)圖，把條件標(biāo)記到圖形中，然后轉(zhuǎn)化成解三角形的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解.
【例4】已知甲船正在大海上航行，當(dāng)它位于A處時(shí)獲悉，在其正東方
7、向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即以10海里/小時(shí)的速度勻速前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里C處的乙船，乙船當(dāng)即決定勻速前往救援，并且與甲船同時(shí)到達(dá).（供參考使用：）.
(1)試問(wèn)乙船航行速度的大??；(2)試問(wèn)乙船航行的方向(試用方位角表示，如北偏東…度).
【解析】依題意畫(huà)出的方位圖，如下
【點(diǎn)評(píng)】（1）解三角形的應(yīng)用題，一般先畫(huà)圖，把條件標(biāo)記到圖形中，然后轉(zhuǎn)化成解三角形的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解.（2）解三角形的一般規(guī)律：必須知道三個(gè)幾何元素，至少一個(gè)為邊，對(duì)于不知道的邊或角可以放到其它三角形中去解.
【反饋檢測(cè)4】在海岸處，發(fā)現(xiàn)北
8、偏西75°的方向，與距離2海里的處有一艘走私船，在處北偏東45°方向，與距離(－1)海里的處的緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船．此時(shí)，走私船正以10海里/小時(shí)的速度從向北偏西30°方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？
題型五
取值范圍或最值問(wèn)題
使用情景
求變量的取值范圍或最值.
解題步驟
一般先建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求函數(shù)的取值范圍或最值.
【例5】在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知，.
（1）若的面積等于，求；
（2）求的取值范圍.
9、
【點(diǎn)評(píng)】本題第2問(wèn)，利用正弦定理建立三角函數(shù)模型后，要注意角的范圍，不能簡(jiǎn)單地根據(jù)“銳
角”，把角A的范圍定為,銳角三角形指的是每一個(gè)內(nèi)角都是銳角，所以要考慮
,才能得到角A的準(zhǔn)確范圍.
【反饋檢測(cè)5】在中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為，，，其中，且
(1)求證：是直角三角形；
(2)設(shè)圓過(guò)三點(diǎn)，點(diǎn)位于劣弧上，，用的三角函數(shù)表示三角形的面積，并求面積最大值.
高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型解法歸納及反饋檢測(cè)第31講：
解三角形問(wèn)題的處理參考答案
【反饋檢測(cè)1答案】（1）；（2），.
【反饋檢測(cè)2答案】（1），
10、; （2）
【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解析】（Ⅰ）由余弦定理及已知條件得，，
又因?yàn)榈拿娣e等于，所以，得．
聯(lián)立方程組解得，．
（Ⅱ）由題意得，
即，
當(dāng)時(shí)，，，，，
當(dāng)時(shí)，得，由正弦定理得，
聯(lián)立方程組解得，．
所以的面積．
【反饋檢測(cè)3答案】（1）；（2）等邊三角形.
【反饋檢測(cè)4答案】緝私船沿北偏西的方向能最快追上走私船
【反饋檢測(cè)4詳細(xì)解析】由已知條件得，，
∴.
在中，，解得，∴，
∴為水平線，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間小時(shí)后，緝私船追上走私船，則在中，
，
，
∴，∴緝私船沿北偏西的方向能最快追上走私船．
【反饋檢測(cè)5答案】（1）證明略；（2）時(shí)， 最大值等于.
【反饋檢測(cè)5詳細(xì)解析】(1)證明：由正弦定理得，整理為，即sin2A＝sin2B ∴2A＝2B或2A＋2B＝π,即A＝B或A＋B＝∵，∴A＝B舍去.由A＋B＝可知c＝，∴ΔABC是直角三角形
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