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1、
第33講 不等式的證明方法
【知識要點(diǎn)】
不等式的證明常用的有六種方法（不等式證明六法：比綜分放數(shù)反）
一、比較法
包括比差和比商兩種方法.
比差的一般步驟是：作差→變形（配方、因式分解、通分等）→與零比→下結(jié)論；比商的一般步驟是：作商→變形（配方、因式分解、通分等）→與1比→下結(jié)論.
如果兩個數(shù)都是正數(shù)，一般用比商，其它一般用比差.
二、綜合法
證明不等式時，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、定理、法則等，逐步推導(dǎo)出要證明的命題的方法稱為綜合法，它是由因?qū)Ч姆椒?
三、分析法
證明不等式時，從待證命題出發(fā)，分析使其成立的充分條件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后
2、將命題成立的條件歸結(jié)為一個已經(jīng)證明過的定理、簡單事實(shí)或題設(shè)的條件，這種證明的方法稱為分析法，它是執(zhí)果索因的方法.
用分析法證明時，要注意格式，一般格式是“要證明，只需證明……”.
一般用分析法尋找思路，用綜合法寫出證明過程.
四、放縮法
證明不等式時，有時根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小，使其化繁為簡，化難為易，達(dá)到證明的目的，這種方法稱為放縮法.
放縮的常見技巧：
①添加或舍去一些項，如：
②將分子或分母放大或縮小，如：
③利用基本不等式等，如：
五、數(shù)學(xué)歸納法
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論.
在證明第二步時，一般多用到比較法、放縮法和分析法.
3、
六、反證法
證明不等式時，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡單事實(shí)相矛盾的結(jié)論，以此說明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法.
如果命題中含有“至少”或“唯一”或其它否定詞時，一般用反證法.
【方法講評】
方法一
比較法
使用情景
一般是兩個實(shí)數(shù)
解題方法
包括比差和比商兩種方法.
比差的一般步驟是：作差→變形（配方、因式分解、通分等）→與零比→下結(jié)論；比商的一般步驟是：作商→變形（配方、因式分解、通分等）→與1比→下結(jié)論.
如果
4、兩個數(shù)都是正數(shù)，一般用比商，其它一般用比差.
【例1】已知，則.
【方法點(diǎn)評】比差的一般步驟是：作差→變形（配方、因式分解、通分等）→與零比→下結(jié)論.
【例2】設(shè)，求證：
【證明】作商：
當(dāng)時，
當(dāng)時，
當(dāng)時，
∴
【點(diǎn)評】比商的一般步驟是：作商→變形（配方、因式分解、通分等）→與1比→下結(jié)論.
【反饋檢測1】已知、、是實(shí)數(shù)，試比較與的大小．
方法二
綜合法
使用情景
一般題設(shè)較簡單，題目較簡單.
解題方法
證明不等式時，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、定理、法則等，逐步推導(dǎo)出要證明的命題的方法稱為綜合法，它是由因?qū)Ч姆椒?
【例
5、3】 設(shè)為正實(shí)數(shù)，求證：．
【點(diǎn)評】該題主要是利用三元均值不等式和二元均值不等式解答.
【反饋檢測2】已知是不全相等的正數(shù)，求證：
方法三
分析法
使用情景
一般從題設(shè)入手比較難.
解題方法
證明不等式時，從待證命題出發(fā)，分析使其成立的充分條件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后將命題成立的條件歸結(jié)為一個已經(jīng)證明過的定理、簡單事實(shí)或題設(shè)的條件，這種證明的方法稱為分析法，它是執(zhí)果索因的方法.
【例4】求證: ,求證:
【點(diǎn)評】用分析法證明時，要注意格式，一般格式是“要證明，只需證明……”.一般用分析法尋找思路，用綜合法寫出證明過程.
【反饋
6、檢測3】設(shè)為實(shí)數(shù)，求證：
方法四
放縮法
使用情景
一般不方便用其它方法，用放縮法比較簡單.
解題方法
證明不等式時，有時根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小，使其化繁為簡，化難為易，達(dá)到證明的目的.
【例5】設(shè)，
求證：
【證明】
【點(diǎn)評】由于這是一個數(shù)列的問題，所以先要對數(shù)列的通項進(jìn)行放縮.
【例6】設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）證明：對一切正整數(shù)，有
（2）證明：當(dāng)；
當(dāng)；
7、
【點(diǎn)評】本題的放縮是一個難點(diǎn)，放縮一定要適當(dāng)，有時需要數(shù)列的第一項不放縮其他項放縮，有時需要數(shù)列的前兩項不放縮其他項放縮，有時需要數(shù)列的前三項不放縮其他項放縮，……，才能放縮出要證明的結(jié)果.這需要大家平時的訓(xùn)練和積累.
【反饋檢測4】已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性與極值點(diǎn)；
（2）若，證明：當(dāng)時，的圖象恒在的圖象上方；
（3）證明：.
方法五
數(shù)學(xué)歸納法
使用情景
一般是與正整數(shù)有關(guān)的命題.
解題方法
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論.
在證明第二步時，一般多用到比較法、放縮法和分析法.
【例7】證明不等式()
【證明】(1)當(dāng)?shù)?/p>
8、于1時，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；
(2)假設(shè)（)時，不等式成立，即1+＜2，
∴當(dāng)時，不等式成立.
綜合(1)、(2)得：當(dāng)時，都有1+＜2.
【點(diǎn)評】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論.在證明第二步時，一般多用到比較法、放縮法和分析法.是證明的關(guān)鍵.
【反饋檢測5】數(shù)列{}由下列條件決定：
（1）證明：對 總有
（2）證明：對 總有.
方法六
反證法
使用情景
一般從正面著手比較困難.
解題方法
證明不等式時，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個
9、與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡單事實(shí)相矛盾的結(jié)論，以此說明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法.
【例7】 已知，，，求證：，，中至少有一個小于等于.
【點(diǎn)評】如果命題中含有“至少”或“唯一”或其它否定詞時，一般用反證法.
【反饋檢測6】已知中至少有一個小于2.
高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第33講：
不等式的證明方法參考答案
【反饋檢測1答案】見解析
【反饋檢測1詳細(xì)解析】
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
∴．
【反饋檢測2答案】見解析
【反饋檢測3答案】見解析
【反饋檢測3詳細(xì)解析】當(dāng)時，∵，∴成立．
當(dāng)時，
10、用分析法證明如下：
要證，只需證，
即證，即證：，
∵對一切實(shí)數(shù)恒成立，∴成立．
綜上所述，對任意實(shí)數(shù)不等式都成立．
【反饋檢測4答案】（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)；（2）見解析；（3）見解析.
（2）當(dāng)時，令，
，當(dāng)時，，時，，
∴在上遞減，在上遞增，∴，∴時，恒成立.
即時，恒成立，∴當(dāng)時，的圖象恒在的圖象上方.
（3）由（2）知，即，∵，∴，
令，則，∴
∴
∴不等式成立.
【反饋檢測5答案】見解析
【反饋檢測6答案】見解析
【反饋檢測6詳細(xì)解析】假設(shè) 都不小于2，則
因為，所以，
所以
即，這與已知相矛盾，故假設(shè)不成立.
所以中至少有一個小于2.
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