備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué) 解答題高分寶典 專題05 解析幾何（核心考點(diǎn)）理

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1、 專題05解析幾何 核心考點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是圓錐曲線中的重要問題,也是高考考查的熱點(diǎn),研究此類一般要用到方程思想,常見類型為交點(diǎn)個數(shù)、切線、弦長、對稱等問題. 【經(jīng)典示例】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N,連接ON并延長交C于點(diǎn)H. (1)求； (2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說明理由． 答題模板 解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟 第一步,聯(lián)立方程,得關(guān)于x或y的一元二次方程； 第二步,寫出根與系數(shù)的關(guān)系,并求出Δ>0時參數(shù)范

2、圍(或指出直線過曲線內(nèi)一點(diǎn))； 第三步,根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2,x1＋x2(或y1y2,y1＋y2)的關(guān)系式,求得結(jié)果； 第四步,反思回顧,查看有無忽略特殊情況. 【滿分答案】(1)由已知得M(0,t),P, 又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn),故N,ON的方程為y＝x,代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0,解得x1＝0,x2＝,因此H. 所以N為OH的中點(diǎn),即＝2. (2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn),理由如下： 直線MH的方程為y－t＝x,即x＝(y－t)． 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0,解得y1＝y(tǒng)2＝2t,即直線MH與C只有一個公共點(diǎn),所以除H以

3、外直線MH與C沒有其他公共點(diǎn)． 【解題技巧】 1.將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,消去一個變量得到關(guān)于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． 若a≠0,可考慮一元二次方程的判別式Δ,有 ①Δ>0?直線與圓錐曲線相交； ②Δ＝0?直線與圓錐曲線相切； ③Δ<0?直線與圓錐曲線相離． 2.判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個數(shù)時,可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo),也可利用消元后的一元二次方程根的判別式來確定,需注意利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為0. 3.依據(jù)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)時,聯(lián)立方程并消元,得到一元方程,此時注意觀察方程的二次項系數(shù)是否為0,若

4、為0,則方程為一次方程；若不為0,則將方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為判別式與0的大小關(guān)系求解． 4.設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|. 5.有關(guān)圓錐曲線弦長問題的求解方法 涉及弦長的問題中,應(yīng)熟練的利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法計算弦長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題,可考慮用圓錐曲線的定義求解． 6.處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法 (1)點(diǎn)差法：即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1＋x2,y1＋y2,三個未知量,這樣就直

5、接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率,借用中點(diǎn)公式即可求得斜率． (2)根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后,由根與系數(shù)的關(guān)系求解． (3)解決對稱問題除掌握解決中點(diǎn)弦問題的方法外,還要注意：如果點(diǎn)A,B關(guān)于直線l對稱,則l垂直直線AB且A,B的中點(diǎn)在直線l上的應(yīng)用． 模擬訓(xùn)練 1．已知點(diǎn)P是圓O：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q,延長QP到點(diǎn)M,使＝. (1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程； (2)過點(diǎn)C(m,0)作圓O的切線l,交(1)中曲線E于A,B兩點(diǎn),求△AOB面積的最大值． (2)由題意可知直線l不與y軸垂直, 故可設(shè)l：x＝t

6、y＋m,t∈R,A(x1,y1),B(x2,y2)． ∵l與圓O：x2＋y2＝1相切,∴＝1,即m2＝t2＋1.① 聯(lián)立消去x,得(t2＋4)y2＋2mty＋m2－4＝0. 其中Δ＝(2mt)2－4(t2＋4)(m2－4)＝16(t2－m2)＋64＝48>0. ∴y1＋y2＝－,y1y2＝.② ∴|AB|＝＝＝. 將①②代入上式得 |AB|＝＝,|m|≥1, ∴S△AOB＝|AB|·1＝×＝≤＝1, 當(dāng)且僅當(dāng)|m|＝,即m＝±時,等號成立．∴(S△AOB)max＝1. 核心考點(diǎn)二圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題 以直線與圓錐曲線為載體,結(jié)合其他條件探究直線或曲線過定點(diǎn),或與動點(diǎn)

7、有關(guān)的定值問題,一般常出現(xiàn)在解答題第二問中,難度多為中等. 【經(jīng)典示例】已知橢圓＋＝1(a>0,b>0)過點(diǎn)(0,1),其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列．直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點(diǎn)Q、P,與橢圓分別交于點(diǎn)M、N,各點(diǎn)均不重合且滿足＝λ1,＝λ2. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若λ1＋λ2＝－3,試證明：直線l過定點(diǎn)并求此定點(diǎn)． 答題模板 證明直線過定點(diǎn)的步驟： 第一步,設(shè)出直線方程為(或)；. 第二步,證明 (或)；. 第三步,確定直線過點(diǎn) (或). 【滿分答案】(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由題意知b＝1,且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2, 又a2

8、＝b2＋c2,∴a2＝3. ∴橢圓的方程為＋y2＝1. (2)證明　由題意設(shè)P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1), N(x2,y2),設(shè)l方程為x＝t(y－m), 由＝λ1知(x1,y1－m)＝λ1(x0－x1,－y1), ∴y1－m＝－y1λ1,由題意y1≠0,∴λ1＝－1. 同理由＝λ2知λ2＝－1. ∵λ1＋λ2＝－3,∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0,① 聯(lián)立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0, ∴由題意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0,② 且有y1＋y2＝,y1y2＝,③ ③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0, ∴

9、(mt)2＝1, 由題意mt<0,∴mt＝－1,滿足②, 得直線l方程為x＝ty＋1,過定點(diǎn)(1,0),即Q為定點(diǎn)． 【解題技巧】 1.圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法 (1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系,找到定點(diǎn)． (2)特殊到一般法：根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn),再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)． 2.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略 (1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式、化簡即可得出定值； (2)求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設(shè)條件

10、化簡、變形求得； (3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式,再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得． 模擬訓(xùn)練 2．如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)F(,0),直線l：x＝－,點(diǎn)P在直線l上移動,R是線段PF與y軸的交點(diǎn),RQ⊥FP,PQ⊥l. (1)求動點(diǎn)Q的軌跡C的方程； (2)設(shè)圓M過A(1,0),且圓心M在曲線C上,TS是圓M在y軸上截得的弦,當(dāng)M運(yùn)動時,弦長|TS|是否為定值？請說明理由． (2)弦長|TS|為定值．理由如下： 取曲線C上點(diǎn)M(x0,y0),M到y(tǒng)軸的距離為d＝|x0|＝x0,圓的半徑r＝|MA|＝, 則|TS|＝2＝2, ∵點(diǎn)

11、M在曲線C上,∴x0＝, ∴|TS|＝2＝2是定值． 核心考點(diǎn)三圓錐曲線中的最值、范圍問題 以直線與圓錐曲線為載體,結(jié)合其他條件求某些量的最值與范圍,一般常出現(xiàn)在解答題第二問中,最值問題是高考中的熱點(diǎn)問題,常涉及不等式、函數(shù)的值域問題,綜合性比較強(qiáng),解法靈活多變,求解此類問題一般把所求量表示為某些量的函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域或利用基本不等式求最值,此類問題一般運(yùn)算量較大,要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性. 【經(jīng)典示例】已知△ABP的三個頂點(diǎn)都在拋物線C：x2＝4y上,F為拋物線C的焦點(diǎn),點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),＝3. (1)若|PF|＝3,求點(diǎn)M的坐標(biāo)； (2)求△ABP面積的最大值． 答題模板

12、 求△ABP面積的最大值的步驟 第一步,設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m,并確定k,m的關(guān)系； 第二步,把面積表示為m的函數(shù)； 第三步,求最大值； 第四步,由最大值確定△ABP面積的最大值. 【滿分答案】(1)由題意知焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線方程為y＝－1. 設(shè)P(x0,y0),由拋物線定義知|PF|＝y(tǒng)0＋1,得y0＝2, 所以P(2,2)或P(－2,2), 由＝3,得M或M. (2)設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 由得x2－4kx－4m＝0. 于是Δ＝16k2＋16m>0,x1＋x2＝4k,x1x2＝－4m, 所

13、以AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2k,2k2＋m)． 由＝3,得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1), 所以 由x＝4y0得k2＝－m＋, 由Δ>0,k2≥0,得－f＝. 所以當(dāng)m＝時,f(m)取到最大值,此時k＝±. 所以△ABP面積的最大值為. 【解題技巧】 1.解

14、決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面 (1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍； (2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系； (3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍； (4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍； (5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍． 2.處理圓錐曲線最值問題的求解方法 圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法,即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面

15、幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法,即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式),然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解． 模擬訓(xùn)練 3．已知橢圓M：＋＝1(a>0)的一個焦點(diǎn)為F(－1,0),左、右頂點(diǎn)分別為A,B.經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于C,D兩點(diǎn)． (1)當(dāng)直線l的傾斜角為45°時,求線段CD的長； (2)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2,求|S1－S2|的最大值． 消去y,得7x2＋8x－8＝0, 設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),Δ＝288,x1＋x2＝－,x1x2＝－, 所以|CD|＝|x1－x2|＝＝. (2

16、)當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線方程為x＝－1, 此時△ABD與△ABC面積相等,|S1－S2|＝0； 當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線方程為y＝k(x＋1)(k≠0), 聯(lián)立方程,得 消去y,得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0, Δ>0,且x1＋x2＝－,x1x2＝, 此時|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y2＋y1|＝2|k(x2＋1)＋k(x1＋1)|＝2|k(x2＋x1)＋2k|＝, 因為k≠0,上式＝≤＝＝當(dāng)且僅當(dāng)k＝±時等號成立, 所以|S1－S2|的最大值為. 核心考點(diǎn)四軌跡問題 軌跡問題一般出現(xiàn)在解答題的第一問,難度中等或中等以下,求解軌

17、跡問題關(guān)鍵是建立關(guān)于x,y的等式,求解過程中要注意變形的等價性,同時需注意軌跡的完備性. 【經(jīng)典示例】如圖所示,拋物線C1：x2＝4y,C2：x2＝－2py(p>0)．點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點(diǎn)為A,B(M為原點(diǎn)O時,A,B重合于O)．當(dāng)x0＝1－時,切線MA的斜率為－. (1)求p的值； (2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動時,求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A,B重合于O時,中點(diǎn)為O)． 答題模板 “相關(guān)點(diǎn)法”的基本步驟利用向量求空間角的步驟 第一步,設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),主動點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)； 第二步,求關(guān)系式：求出兩個動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式；

18、 第三步,代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程,便可得到所求動點(diǎn)的軌跡方程 第四步,反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯點(diǎn)和答題規(guī)范 【滿分答案】(1)因為拋物線C1：x2＝4y上任意一點(diǎn)(x,y)的切線斜率為y′＝, 且切線MA的斜率為－, 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,), 故切線MA的方程為y＝－(x＋1)＋. 因為點(diǎn)M(1－,y0)在切線MA及拋物線C2上, 所以y0＝－×(2－)＋ ＝－,① y0＝－＝－.② 由①②得p＝2. (2)設(shè)N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1≠x2. 由N為線段AB的中點(diǎn),知 x＝,③ y＝.④ 所以切線MA,MB的方程分別為

19、y＝(x－x1)＋,⑤ y＝(x－x2)＋.⑥ 由⑤⑥得MA,MB的交點(diǎn)M(x0,y0)的坐標(biāo)為 x0＝,y0＝. 因為點(diǎn)M(x0,y0)在C2上,即x＝－4y0, 所以x1x2＝－.⑦ 由③④⑦得x2＝y(tǒng),x≠0. 當(dāng)x1＝x2時,A,B重合于原點(diǎn)O, AB的中點(diǎn)N為點(diǎn)O,坐標(biāo)滿足x2＝y(tǒng). 因此AB的中點(diǎn)N的軌跡方程是x2＝y(tǒng). 【解題技巧】 1.直接法求曲線方程時最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程,要注意翻譯的等價性．通常將步驟簡記為建系設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡、證明這五個步驟,但最后的證明可以省略,如果給出了直角坐標(biāo)系則可省去建系這一步,求出曲線的方程后

20、還需注意檢驗方程的純粹性和完備性． 2.應(yīng)用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動點(diǎn)的等量關(guān)系式,由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線,再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,用待定系數(shù)法求解 模擬訓(xùn)練 4．如圖,已知圓E：(x＋)2＋y2＝16,點(diǎn)F(,0),P是圓E上任意一點(diǎn),線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于點(diǎn)Q. (1)求動點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程； (2)設(shè)直線l與(1)中軌跡Γ相交于A,B兩點(diǎn),直線OA,l,OB的斜率分別為k1,k,k2(其中k>0),△OAB的面積為S,以O(shè)A,OB為直徑的圓的面積分別為S1,S2,若k1,k,k2恰好構(gòu)成等比數(shù)列,求的取值范圍． 【解析】(1)連接

21、QF,根據(jù)題意, |QP|＝|QF|, 則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP| ＝4>|EF|＝2, 故動點(diǎn)Q的軌跡Γ是以E,F為焦點(diǎn), 長軸長為4的橢圓． 設(shè)其方程為＋＝1(a>b>0), 可知a＝2,c＝＝,則b＝1, ∴點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程為＋y2＝1. ∵k1,k,k2構(gòu)成等比數(shù)列, ∴k2＝k1k2＝, 整理得km(x1＋x2)＋m2＝0, ∴＋m2＝0,解得k2＝. ∵k>0,∴k＝. 此時Δ＝16(2－m2)>0, 解得m∈(－,)． 又由A,O,B三點(diǎn)不共線得m≠0, 從而m∈(－,0)∪(0,)． 故S＝|AB|d＝|x1－x2|· ＝ ＝|m|. 又＋y＝＋y＝1, 則S1＋S2＝(x＋y＋x＋y) ＝(x＋x＋2) ＝ [(x1＋x2)2－2x1x2]＋＝為定值． ∴＝×≥, 當(dāng)且僅當(dāng)m＝±1時等號成立． 綜上,∈[,＋∞)． 12