《2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第37講 數(shù)列通項的求法二(構(gòu)造法)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第37講 數(shù)列通項的求法二(構(gòu)造法)(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第37講 數(shù)列通項的求法二(構(gòu)造法)
【知識要點】
一、數(shù)列的通項公式
如果數(shù)列的第項和項數(shù)之間的關(guān)系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.即.不是每一個數(shù)列都有通項公式.不是每一個數(shù)列只有一個通項公式.
二、構(gòu)造法求數(shù)列的通項
類型一:已知,一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項.
類型二:已知數(shù)列,一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項.
類型三:已知,一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比或等差數(shù)列求通項.
類型四:已知,一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項.
類型五:已知,一般利用倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列的通項.
類型六:已知,一般利用取對數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列.
2、
【方法講評】
類型一
構(gòu)造法一
使用情景
已知
解題步驟
一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項.
【例1】已知數(shù)列{}滿足=1,= (),求數(shù)列{}的通項公式.
【點評】(1)已知,一般可以利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列,其公比為(2)注意數(shù)列的首項為,不是對新數(shù)列的首項要弄準確.
【反饋檢測1】已知數(shù)列{}中,=2,= ,求{}的通項公式.
類型二
構(gòu)造法二
使用情景
已知數(shù)列
解題步驟
一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項.
【例2 】已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式.
由及⑨式,得
則,故數(shù)列為以為首項,以2為公比的等比數(shù)列,因此,則.
3、
【點評】本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為,其中要用到待定系數(shù)法,從而可知數(shù)列是等比數(shù)列,進而求出數(shù)列的通項公式,最后再求出數(shù)列的通項公式.
【反饋檢測2】 在數(shù)列{}中,,=6 ,求通項公式.
類型三
構(gòu)造法三
使用情景
已知
解題步驟
一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比或等差數(shù)列求通項.
【例3 】已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式.
【點評】(1)本題的一個關(guān)鍵是先要把變成,這樣才便于后面構(gòu)造數(shù)列,否則不方便構(gòu)造. (2)換元之后原等式變成,即型,又可以利用前面的構(gòu)造方法構(gòu)造一個等比數(shù)列求數(shù)列通項.
【反饋檢測3】已知數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項公式.
【例4】
4、 已知數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項公式.
【點評】(1)本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為,說明數(shù)列是等差數(shù)列,再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出,進而求出數(shù)列的通項公式.(2)已知,有時可以構(gòu)造等比數(shù)列,有時可以構(gòu)造等差數(shù)列,本題是構(gòu)造等比數(shù)列,此時的系數(shù)和指數(shù)函數(shù)的底數(shù)相同.
【反饋檢測4】數(shù)列{}滿足且.
求、、; 是否存在一個實數(shù),使此數(shù)列為等差數(shù)列?若存在求出的值及;若不存在,說明理由.
類型四
構(gòu)造法四
使用情景
已知
解題步驟
一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求通項.
【例5】 數(shù)列中,,求數(shù)列的通項公式.
【解析】
比較系數(shù)得
若取
【
5、點評】(1)遞推式為時,可以設(shè),其待定系數(shù)求出,從而得到一個等比數(shù)列.(2)這種特征的構(gòu)造一般要結(jié)合其它方法才能得出結(jié)果.此題就結(jié)合了累差法.
【反饋檢測5】在數(shù)列{}中,,當, ① 求通項公式.
類型五
構(gòu)造法五
使用情景
已知
解題步驟
一般利用倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列的通項.
【例6】已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式.
【解析】取倒數(shù)
∴
【點評】(1)形如遞推式,考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有
型.(2)對于形如
的也可以在方程的兩邊同時除以,再構(gòu)造等差數(shù)列.
【反饋檢測6】 已知數(shù)列{}中,其中,且當時,,求通項公式.
類型六
構(gòu)造法六
6、使用情景
已知
解題步驟
一般利用取對數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列.
【例7】若數(shù)列{}中,=3且(是正整數(shù)),求它的通項公式是.
【反饋檢測7】已知數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項公式.
【反饋檢測8】設(shè)數(shù)列的各項都是正數(shù),為數(shù)列的前n項和,且對任意.都有 ,,. (e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828……)
(1)求數(shù)列、的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和;
(3)試探究是否存在整數(shù),使得對于任意,不等式恒成立?若
存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第37講:
數(shù)列通項的求法二(構(gòu)造法)參考答案
【反饋
7、檢測1答案】=
【反饋檢測2答案】
【反饋檢測2詳細解析】 ①式可化為:
②
比較系數(shù)可得:=-6,,② 式為
是一個等比數(shù)列,首項,公比為.∴
即 故.
【反饋檢測3答案】
【反饋檢測3詳細解析】在原等式兩邊同除以,得
【反饋檢測4答案】(1)=5;(2)=.
【反饋檢測5答案】
【反饋檢測5詳細解析】①式可化為:
比較系數(shù)得=-3或=-2,不妨取=-2.①式可化為:
則是一個等比數(shù)列,首項=2-2(-1)=4,公比為3.
∴.利用上題結(jié)果有:.
【反饋檢測6答案】
【反饋檢測6詳細
8、解析】將兩邊取倒數(shù)得:,這說明是一個等差數(shù)列,首項是,公差為2,所以,即.
【反饋檢測7答案】
【變式演練7詳細解析】因為,所以.在式兩邊取常用對數(shù)得 ①
設(shè) ②
所以數(shù)列是以為首項,以5為公比的等比數(shù)列,則,因此
則.
【反饋檢測8答案】(1),;(2);(3)時,原
不等式恒成立.
(2)由(1)知,,
所以,③
,④
由③-④得,
所以. (3)
由,得,
由可得,
即使得對于任意且,不等式恒成立等價于使得對于任意且,不等式恒成立.
.
(或用導(dǎo)數(shù)求在上的最大值.)
解得,所以當時,取最小值,最小值為,
所以時,原不等式恒成立.
11