2018年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)一遍過(guò) 專(zhuān)題49 二項(xiàng)式定理 理

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1、 專(zhuān)題49 二項(xiàng)式定理 （1）能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理. （2）會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題. 一、二項(xiàng)式定理 ，這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式，共有n+1項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù). 二項(xiàng)展開(kāi)式中的叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第項(xiàng)：. 注意：二項(xiàng)式系數(shù)是指，，…，，它是組合數(shù)，只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a， b的值有關(guān)．如的展開(kāi)式中，第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，而該項(xiàng)的系數(shù)是.當(dāng)然，某些特殊的二項(xiàng)展開(kāi)式如，各項(xiàng)的系數(shù)與二

2、項(xiàng)式系數(shù)是相等的． 二、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) （1）對(duì)稱(chēng)性.與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.事實(shí)上，這一性質(zhì)可直接由公式得到. （2）增減性與最大值.當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸減小的，因此二項(xiàng)式系數(shù)在中間取得最大值.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大. （3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和.已知.令，則.也就是說(shuō)，的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為. （4）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即. 三、必記結(jié)論 （1）是第k＋1項(xiàng)，而不是第k項(xiàng)． （2）通項(xiàng)公式中a，b的位置不能顛倒． （3）通

3、項(xiàng)公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五個(gè)元素，只要知道其中四個(gè)就可以求出第五個(gè)，即“知四求一”. 考向一 二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用 求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題,實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)的特點(diǎn),一般需要建立方程求k,再將k的值代回通項(xiàng)求解,注意k的取值范圍（）. （1）第項(xiàng)：：此時(shí)k+1=m,直接代入通項(xiàng). （2）常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變?cè)?令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為0建立方程. （3）有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為整數(shù)建立方程. 典例1 的展開(kāi)式中,的系數(shù)為 A．60 B．-60 C．240 D．-240 【答案】C 【解析】的展開(kāi)式中第項(xiàng)為,令r=4，可得的系數(shù)為 典例2

4、 若a=dx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則二項(xiàng)式(x-)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 A．-160 B．160 C．20 D．-20 【答案】A 【解析】由題意得a=dx=ln?x=2,則二項(xiàng)式(x-)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為第4項(xiàng), 所以其常數(shù)項(xiàng)為(-2)3=-160. 典例3 已知關(guān)于x的二項(xiàng)式(ax-)n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,常數(shù)項(xiàng)為112,則a的值為 A．1 B．±1 C．2 D．±2 【答案】D 1．在二項(xiàng)式(x-)n的展開(kāi)式中恰好第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是 A．-56 B．-35 C．35 D．56 2．若(x2-a)(x

5、+)10的展開(kāi)式中x6的系數(shù)為30,則a等于 A． B． C．1 D．2 3．已知在的展開(kāi)式中,第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng). (1)求; (2)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng). 考向二 求二項(xiàng)式系數(shù)和或各項(xiàng)的系數(shù)和 二項(xiàng)式定理給出的是一個(gè)恒等式,對(duì)于a,b的一切值都成立.因此,可將a,b設(shè)定為一些特殊的值.在使用賦值法時(shí),令a,b等于多少時(shí), 應(yīng)視具體情況而定,一般取“1,或0”,有時(shí)也取其他值. （1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可． （2）對(duì)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系

6、數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可． （3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)， 奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝， 偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝. 典例4 若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,則a1+a2+…+a11的值為 A．0 B．-5 C．5 D．255 【答案】C 典例5 已知(1-2x)n的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和是64,則n=　　　　;若(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,則|a0|+

7、|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=　　　　.? 【答案】6　729 【解析】由于二項(xiàng)式系數(shù)的和2n=64,所以n=6, 所以(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6, 所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=36=729. 典例6 在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中, (1)若所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為,求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)． (2)若前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列,求展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和. ∴n=8, 在中，令x=1，得各項(xiàng)系數(shù)和為 4．若(x+)9的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為-672,則其所有項(xiàng)的系數(shù)和為　　　　. 5．若(2x-1)6

8、=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6,則a1+a3+a5=　　　　.(用數(shù)字作答) 考向三 整除問(wèn)題 利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是要巧妙地構(gòu)造二項(xiàng)式，其基本思路是：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開(kāi)后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可.因此，一般要將被除式化為含相關(guān)除式的二項(xiàng)式，然后再展開(kāi). 典例7 利用二項(xiàng)式定理證明2n+2·3n+5n－4()能被25整除. n＝1時(shí)，2n+2·3n＋5n－4＝25. 所以，當(dāng)時(shí)，2n+2·3n＋5n－4能被25整除. 6．被49除所得的余數(shù)是 A．-14 B．0 C

9、．14 D．35 1．(1+x)7的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是 A．42　　　 B．35 C．28　　 D．21 2．二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第二項(xiàng)是 A．6x4 B．﹣6x4 C．12x4 D．﹣12x4 3．若實(shí)數(shù)a=2-,則a10-2a9+22a8-…+210= A．32 B．-32 C． 1024 D．512 4．設(shè)二項(xiàng)式(x-)6的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為m,則dx的值為 A． B． C． D． 5．已知x(x-)5的展開(kāi)式中含x4項(xiàng)的系數(shù)為30,則a= A． B．- C．-6 D．6 6．若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+

10、a5x5,則|a0?|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|= A．243 B．27 C．1 D．-1 7．在的展開(kāi)式中，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 A．135 B．105 C．30 D．15 8．已知(+)5的展開(kāi)式的第三項(xiàng)為10,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象的大致形狀為 A B C D 9．在(1-x)n=a0+a1x+a2x

11、2+a3x3+…+anxn中,若2a2+an-5=0,則自然數(shù)n的值是 A．10 B．9 C．8 D．7 10．若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,則log2(a1+a3+a5+…+a11)等于 A．27 B．28 C．7 D．8 11．若(-x)n的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為256,則(-x)n的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________. 12．的展開(kāi)式中的系數(shù)與的系數(shù)之和等于__________. 13．已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展開(kāi)式中x4的系數(shù)是-35,則a1+a2

12、+…+a7=__________.? 14．的二項(xiàng)式中不含的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________. 15．已知(+)n展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和與其各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為128,則n的值為_(kāi)_________. 16．(x2+2x-3y)5的展開(kāi)式中,x5y的系數(shù)為_(kāi)_________. 17．設(shè)(5x-)n的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M,二項(xiàng)式系數(shù)之和為N,若M-N=240,求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng). 18．求8912除以11的余數(shù). 19．在二項(xiàng)式(2x-3y)9的展開(kāi)式中,求: (1)二項(xiàng)式系數(shù)之和; (2)各項(xiàng)系數(shù)之和; (3)

13、各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和. 20．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中, (1)寫(xiě)出其中含的項(xiàng); (2)如果第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,求的值. 21．已知a>0,b>0,m≠0,n≠0,若二項(xiàng)式(axm+bxn)12的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)恰好是常數(shù)項(xiàng),且2m+n=0,求的取值范圍. 1．（2016四川理科）設(shè)i為虛數(shù)單位，則的展開(kāi)式中含x4的項(xiàng)為 A．－15x4 B．15x4 C．－20i x4 D．20i x4 2．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）展開(kāi)式中的系數(shù)為 A．15 B．20 C．30

14、D．35 3．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科）的展開(kāi)式中的系數(shù)為 A． B． C．40 D．80 4．（2017浙江理科）已知多項(xiàng)式，則=________，=________． 5．（2017山東理科）已知的展開(kāi)式中含有項(xiàng)的系數(shù)是，則 . 6．（2016新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科）的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是 .（用數(shù)字填寫(xiě)答案） 變式拓展 1．【答案】A 2．【答案】D 【解析】依題意,注意到(x+)10的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是Tr+1=·x10-r·()r=·x10-2r, (x+)10的展開(kāi)式中含x4(當(dāng)r=3時(shí)),x6(當(dāng)r=2時(shí))

15、項(xiàng)的系數(shù)分別為,, 因此由題意得-a=120-45a=30, 由此解得a=2,故選D． 3．【解析】(1) =. 由第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)得時(shí),,即得. (2)由已知得,則有. ,， 即得展開(kāi)式中的有理項(xiàng)為. 4．【答案】-1 【解析】(x+)9的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1=·x9-r·()r=·x9-3r·ar, 令9-3r=0,得r=3, 故·a3=-672,得a=-2. 令x=1,則(x+)9=(1-2)9=-1, 故(x+)9的所有項(xiàng)的系數(shù)和為-1. 5．【答案】364 6．【答案】B 【解析】由題可得，=++， 所以被49整除，所以余數(shù)為0.故選B． 考點(diǎn)

16、沖關(guān) 1．【答案】D 【解析】(1+x)7的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=xr, 令r=2,得x2的系數(shù)為=21. 2．【答案】D 【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式, 令,可得展開(kāi)式的第二項(xiàng)為=.選D． 3．【答案】A 【解析】因?yàn)?a-2)10=a10-2a9+22a8-…+210,a=2-, 所以a10-2a9+22a8-…+210=(-)10=32. 4．【答案】C 【解析】二項(xiàng)式(x-)6的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為m=x2(-)4=15, 所以dx=3xdx=cos 3x=cos-(cos 0)=,故選C． 5．【答案】C 6．【答案】D 【解析】由題意得|a0|

17、-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=(1-2)5=-1. 7．【答案】A 【解析】因?yàn)樵诘恼归_(kāi)式中，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，即2n=64，所以n=6， 二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)， 令， 則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 8．【答案】D 【解析】由題意得()5-2()2=10,故xy=1(x>0),得y=(x>0).故選D． 9．【答案】C 10．【答案】C 【解析】令x=-1,得a0+a1+a2+…+a12=28, 令x=-3,得a0-a1+a2-a3+…+a12=0, 將所得兩式作差得2(a1+a3+…+a11)=28, 所以a1

18、+a3+…+a11=27, 所以log2(a1+a3+…+a11)=7. 11．【答案】70 【解析】依題意得 2n=256,解得n=8, 所以Tr+1=()8-r·(-x)r=(-1)rx2r-8, 令2r-8=0,則r=4, 所以T5=(-1)4=70, 所以(-x)n的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為70. 12．【答案】 【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為 的系數(shù)與的系數(shù)之和等于. 故填. 13．【答案】1 14．【答案】 【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為, 令, 的二項(xiàng)式中不含的項(xiàng)的系數(shù)為. 15．【答案】7 【解析】令x=1,得(+)n的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為(1+3)n=

19、4n, 又(+)n的展開(kāi)式中的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n, 所以=128,所以2n=128,解得n=7. 16．【答案】-480 【解析】方法一：,其展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1=(-3y)r，r=0,1,2,3,4,5,欲求的展開(kāi)式中x5y的系數(shù),只需令r=1,則(-3y)1展開(kāi)式中,x5y的系數(shù)為-323=-480. 方法二：要得到x5y的系數(shù),第一步,從5個(gè)小括號(hào)(x2+2x-3y)中取一個(gè)二次項(xiàng)x2；第二步,從余下四個(gè)小括號(hào)(x2+2x-3y)中取三個(gè)一次項(xiàng)2x；第三步,從余下一個(gè)小括號(hào)(x2+2x-3y)中取一個(gè)一次項(xiàng)-3y，即×23×(-3)=-480. 17．【解析】依題意得,M

20、=4n=(2n)2,N=2n,于是有(2n)2-2n=240,(2n+15)(2n-16)=0, ∴2n=16=24,解得n=4. 要使二項(xiàng)式系數(shù)最大,則k=2, 故展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)3=(5x)2·(-)2=150x3. 18．【解析】8912＝(1＋88)12. 由于上式除第一項(xiàng)外，各項(xiàng)都能被88整除，也就都能被11整除， 故8912除以11的余數(shù)是1. 20．【解析】(1)展開(kāi)式的通項(xiàng), 令10-k=2得k=6. ∴含的項(xiàng)是==. (2)∵=，∴3r-1=r+1或 3r-1+r+1=10, ∴r=1或r=（舍去）. ∴r=1. 又a>0,b>

21、0,則,所以. 直通高考 1．【答案】A 【解析】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，故展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，故選A． 【名師點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算也是高考的熱點(diǎn)，幾乎是每年必考的內(nèi)容，屬于容易題.一般來(lái)說(shuō)，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運(yùn)算即可．二項(xiàng)式可以寫(xiě)為，則其通項(xiàng)為，則含的項(xiàng)為． 2．【答案】C 【解析】因?yàn)?，所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，故的系數(shù)為，選C． 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的問(wèn)題，用第一個(gè)二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以第二個(gè)二項(xiàng)式的每項(xiàng)，分析含的項(xiàng)共有幾項(xiàng)，進(jìn)行相加即可.這類(lèi)問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項(xiàng)的具體情況，尤其是兩個(gè)

22、二項(xiàng)展開(kāi)式中的不同. 3．【答案】C 故選C． 【名師點(diǎn)睛】（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類(lèi)問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng). （2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理討論求解. 4．【答案】16，4 【解析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式可得通項(xiàng)公式為：，分別取和可得，取，可得． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題． 二項(xiàng)展開(kāi)式定理的

23、問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）；（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用． 5．【答案】 【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，解得． 【名師點(diǎn)睛】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，確定二項(xiàng)式系數(shù)或確定二項(xiàng)展開(kāi)式中的指定項(xiàng)，是二項(xiàng)式定理問(wèn)題中的基本問(wèn)題，往往要綜合運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求解. 本題能較好地考查考生的思維能力、基本計(jì)算能力等. 6．【答案】 【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為(，1，2，…，5)，令得，所以的系數(shù)是. 【名師點(diǎn)睛】確定二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)通常是先寫(xiě)出通項(xiàng),再確定r的值,從而確定指定項(xiàng)系數(shù). 19