2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度5.6 圓錐曲線的探究、存在性問題大題狂練 理

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1、 命題角度5.6：圓錐曲線的探究、存在性問題 1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線不過原點(diǎn)，且與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn). （Ⅰ）求實(shí)數(shù)取值所組成的集合； （Ⅱ）是否存在定點(diǎn)使得任意的，都有直線的傾斜角互補(bǔ).若存在，求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 【答案】（I）；（II）或. 【解析】試題分析：（1）聯(lián)立直線與橢圓的方程運(yùn)用二次方程的判別式建立不等式進(jìn)行求解；（2）充分利用題設(shè)條件建立方程，借助坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算求解、推理論證： （II）假設(shè)存在定點(diǎn)使得任意的,都有直線的傾斜角互補(bǔ)， 即，令, 所以， 整理得：， 經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意， 所以存在定點(diǎn)使得任意的

2、,都有直線的傾斜角互補(bǔ)， 坐標(biāo)為或. 點(diǎn)睛：橢圓是典型的圓錐曲線代表之一，也高考必考的重要考點(diǎn)之一。本題的設(shè)置旨在考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本技能，同時(shí)檢測轉(zhuǎn)化化歸能力、運(yùn)算求解能力及數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)方程思想等數(shù)學(xué)思想和方法。求解第一問的思路是聯(lián)立直線與橢圓的位置關(guān)系的方程運(yùn)用二次方程的判別式建立不等式進(jìn)行求解；第二問的求解過程則充分利用題設(shè)條件進(jìn)行運(yùn)算求解、推理論證從而使得問題獲證。 2.已知橢圓 的左、右頂點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為、， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形的面積為，且該四邊形內(nèi)切圓的方程為． （Ⅰ）求橢圓的方程; （Ⅱ）若、是橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，直線、的斜率

3、之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由. 【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）. 【解析】試題分析： (1)利用題意求得， ，則橢圓的方程為： ； (2)分別考查斜率存在和斜率不存在兩種情況，求得的面積為定值. （Ⅱ）若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為， ， ， 由得： 直線與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)， 得： ③ 由韋達(dá)定理： 直線的斜率之積等于， 滿足③ 又到直線的距離為, 所以的面積 若直線的斜率不存在， 關(guān)于軸對稱 設(shè)， ，則， 又 在橢圓上， ， 所以的面積 綜上可知， 的面積為定值. 3.已知?jiǎng)訄A經(jīng)過

4、點(diǎn)，并且與圓相切. （1）求點(diǎn)的軌跡的方程； （2）設(shè)為軌跡內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交軌跡于兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)？ 是與無關(guān)的定值，并求出該值定值. 【答案】（1）；（2）見解析. 【解析】試題分析：（1）由橢圓定義易知軌跡為橢圓，確定， 即可； （2）設(shè)，直線，與橢圓聯(lián)立得，進(jìn)而通過韋達(dá)定理建立根與系數(shù)的關(guān)系， ，由，代入化簡即可求定值. 試題解析： （1）由題設(shè)得： ，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓， 橢圓方程為. （2）設(shè)，直線， 由得， . . 的值與無關(guān)， ， 解得.此時(shí). （方法：①當(dāng)時(shí)，…；②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線，…；可以減少計(jì)算量.）

5、4. 在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為． （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，與軸、軸分別交于兩點(diǎn)（且在之間或同時(shí)在之外）．問：是否存在定值，對于滿足條件的任意實(shí)數(shù)，都有的面積與的面積相等，若存在，求的值；若不存在，說明理由． 【答案】（1） ；（2）存在，． 試題解析：（1）設(shè)，則，整理得， ∴軌跡的方程為 （2）聯(lián)立消去得， ，由得． 設(shè)，則， 由題意，不妨設(shè)， 的面積與的面積總相等恒成立線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合 ∴，解得， 即存在定值，對于滿足條件，且（據(jù)（*）的任意實(shí)數(shù)， 都有的面積與的面積相等． 考

6、點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓的位置關(guān)系． 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了直線與圓錐曲線問題，其中解答中涉及到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，本題解答中利用直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系、韋達(dá)定理的應(yīng)用是解答關(guān)鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題． 5.已知橢圓： （）的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓與直線相切. （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）已知點(diǎn)為動(dòng)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，問:在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值？若存在，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值；若不存在,請說明理由. 【答案】

7、（Ⅰ）;（Ⅱ）. 【解析】試題分析：（1）由，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長半軸為半徑與直線相切，求出的值，由此可求出橢圓的方程； （2）由得，由此利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出在軸上存在點(diǎn)，使為定值，定點(diǎn)為。 （Ⅱ）由得，且 設(shè)，則， 根據(jù)題意，假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，則有 要使上式為定值，即與無關(guān)，則應(yīng)， 即，此時(shí)為定值，定點(diǎn)為. 點(diǎn)睛：本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，本題的解答中把直線方程

8、與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為方程的根與系數(shù)的關(guān)系、韋達(dá)定理的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵。 6.如圖，已知橢圓經(jīng)過不同的三點(diǎn)在第三象限），線段的中點(diǎn)在直線上． （Ⅰ）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)且直線分別交直線于兩點(diǎn)，問是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由． 【答案】（1）；（2）． 【解析】試題分析：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程就可求得方程，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)條件可得點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，BC中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的方程，兩方程聯(lián)立可求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，根據(jù)三點(diǎn)共線，用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，同理用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示。再求為定值，所以。 試題解析：（Ⅰ）由點(diǎn)在橢圓上，得解

9、得所以橢圓的方程為………………………3分 由已知，求得直線的方程為從而（1） 又點(diǎn)在橢圓上，故（2） 由（1）（2）解得（舍去）或從而 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為………………………………………6分 （Ⅱ）設(shè) 因三點(diǎn)共線，故整理得 因三點(diǎn)共線，故整理得……………10分 因點(diǎn)在橢圓上，故，即 從而 所以為定值． ………………………15分 【點(diǎn)睛】1.求點(diǎn)的坐標(biāo)可由條件得關(guān)于坐標(biāo)的兩個(gè)關(guān)系式，解方程組即可；2.因?yàn)閮牲c(diǎn)， 在直線上，設(shè)所以，再由條件找兩點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，可求為定值。 7.已知橢圓： 的左右焦點(diǎn)分別是，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 恰為橢

10、圓的上頂點(diǎn)，此時(shí)的面積為6. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，直線與直線分別相交于點(diǎn)，問當(dāng)變化時(shí)，以線段為直徑的圓被軸截得的弦長是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，說明理由. 【答案】（1）；（2）弦長為定值6． 【解析】試題分析：（1）根據(jù)時(shí)，直線的傾斜角為，又的周長為6，即可求得橢圓方程；（2）利用特殊位置猜想結(jié)論：當(dāng)時(shí)，直線的方程為： ，求得以為直徑的圓過右焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為6 ，猜測當(dāng)變化時(shí)，以為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為定值6，再進(jìn)行證明即可. 試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為，所以： 解得： ，所以橢圓方程是：； （2）當(dāng)

11、時(shí)，直線： ，此時(shí)，，，又點(diǎn)坐標(biāo)是，據(jù)此 可得，，故以為直徑的圓過右焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為6．由此猜測當(dāng)變化時(shí)，以為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為定值6．　 證明如下：設(shè)點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，則直線的方程是： ，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，同理，點(diǎn)的坐標(biāo)是， 由方程組　得到：， 所以：，　　從而： =0， 所以：以為直徑的圓一定過右焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為定值6． 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程方程、圓錐曲線的定值問題，屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：① 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；② 直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算

12、推理的過程中消去變量，從而得到定值. 8.已知， ，曲線上的任意一點(diǎn)滿足： . （1）求點(diǎn)的軌跡方程； （2）過點(diǎn)的直線與曲線交于， 兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)， ，試問是否為定值？如果是定值，請求出這個(gè)定值，如果不是定值，請說明理由. 【答案】（1）;（2）. 【解析】試題分析：（Ⅰ）求出向量的坐標(biāo)，利用條件化簡，即可求點(diǎn)的軌跡方程； （Ⅱ）分類討論，利用， ，結(jié)合韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論． 試題解析：（1）設(shè)，則， ， ， ∵，∴， 化簡得， 為所求點(diǎn)的軌跡方程. （2）設(shè)， . ①當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線的方程為， 則，從而， ，由得 ， ， ， 同理由得， ∴.①

13、 由，得. ∴， ， 代入①式得，∴. ②當(dāng)直線與軸重合時(shí)， ， ， . 由， ，得， ，∴， 綜上， 為定值. 點(diǎn)睛:定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn). 9.已知橢圓： （）的左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的離心率為半徑的圓相切． （Ⅰ）求該橢圓的方程； （Ⅱ）過點(diǎn)的直線交橢圓于， 兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為， 的垂直平

14、分線與軸和軸分別交于， 兩點(diǎn)．記的面積為， 的面積為．問：是否存在直線，使得，若存在，求直線的方程，若不存在，說明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析. 試題解析： （Ⅰ）由題意，得， ，即，∴， ∴所求橢圓的方程為． （Ⅱ）假設(shè)存在直線使，顯然直線不能與， 軸垂直． ∴直線的斜率存在，設(shè)其方程為（）， 將其代入整理得， 設(shè)， ， ， ， ∴， ∵，∴， 解得，即， ∵，∴，∴， 即，又∵，∴， ∴， 整理得因?yàn)榇朔匠虩o解，故不存在直線滿足． 10. 已知橢圓，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且 . （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，，是否存在以為直角頂點(diǎn)的內(nèi)接于橢圓的等腰直

15、角三角形？若存在，請求出共有幾個(gè)？若不存在，請說明理由. 【答案】（I）；（II）存在個(gè)，理由見解析． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓定義及性質(zhì)知，，在焦點(diǎn)三角形中，由余弦定理得：，得：，再有，得：；（Ⅱ）先分析特殊情況，當(dāng)中一個(gè)斜率為零，一個(gè)斜率不存在顯然不符合題意， 設(shè)，不妨設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓，利用直線和橢圓的位置關(guān)系得，從而，根據(jù),可得：，化簡求解，故存在個(gè)． （Ⅱ）當(dāng)中一個(gè)斜率為零，一個(gè)斜率不存在顯然不符合題意， 設(shè)，不妨設(shè)， 聯(lián)立直線和橢圓方程得， 解得兩根為， 所以，由，得 把中的換成，可得 由的，結(jié)合化簡得，整理得解得，均符合， 所以符合條件的的個(gè)數(shù)有個(gè). 考點(diǎn)：1、橢圓的簡單幾何性質(zhì)；2、直線和橢圓的位置關(guān)系． 【思路點(diǎn)晴】本題主要考查的是橢圓的方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題．解決本類問題時(shí)，注意使用橢圓的定義，焦點(diǎn)三角形中余弦定理及三角形面積公式，即可求得；存在性問題一般先假設(shè)存在然后去處理，本題注意先設(shè)一條直線，利用兩條直線垂直得另一條直線的斜率，類比的的方式去計(jì)算，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，討論其解的問題． - 17 -