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1、
第77講 軌跡方程的求法
【知識要點(diǎn)】
一、“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義
在直角坐標(biāo)系中,如果曲線上的點(diǎn)與一個二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系:(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解(純粹性);(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上(完備性).那么,這個方程叫做曲線的方程,這條曲線叫做方程的曲線.
二、求簡單的曲線方程的一般步驟:建設(shè)限代化
(1) 建立直角坐標(biāo)系:利用垂直性和對稱性建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;
(2) 設(shè)點(diǎn):用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(不要把其它的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)成);
(3) 列出動點(diǎn)滿足的限制條件:用坐標(biāo)表示條件,列出方程;
(4)
2、代點(diǎn)坐標(biāo)到方程;
(5) 化簡:化方程為最簡形式;
(6) 檢驗(yàn):檢驗(yàn)?zāi)承┨厥恻c(diǎn)是否滿足題意,把不滿足的點(diǎn)排除,把滿足的點(diǎn)補(bǔ)充上來.(可以省略)
三、求軌跡方程的四種主要方法 :軌跡四法 待代直參
(1)待定系數(shù)法:通過對已知條件的分析,發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)滿足某個曲線(圓、圓錐曲線)的定義,然后設(shè)出曲線的方程,求出其中的待定系數(shù),從而得到動點(diǎn)的軌跡方程.
(2)代入法:如果點(diǎn)的運(yùn)動是由于點(diǎn)的運(yùn)動引起的,可以先用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo),然后代入點(diǎn)滿足的方程,即得動點(diǎn)的軌跡方程.
(3)直接法:直接把已知的方程和條件化簡即得動點(diǎn)的軌跡方程.
(4)參數(shù)法:動點(diǎn)的運(yùn)動主要是由于某個參數(shù)的
3、變化引起的,可以選參、設(shè)參,然后用這個參數(shù)表示動點(diǎn)的坐標(biāo),即,再消參.
四、軌跡和軌跡方程
軌跡和軌跡方程是兩個不同的概念,軌跡表示的曲線的簡單特征的描述,而求軌跡方程只求那個方程即可,不需描述曲線的特征.
【方法講評】
方法一
直接法
使用情景
已知中或圖形中有動點(diǎn)滿足的方程.
解題步驟
直接把動點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知的方程化簡即可.
【例1】線段與互相垂直平分于點(diǎn),,,動點(diǎn)滿足,求動點(diǎn)的軌跡方程.
【解析】
【點(diǎn)評】(1)這種題目由于已知中沒有直角坐標(biāo)系,所以首先要根據(jù)垂直性和對稱性建立直角坐標(biāo)系,由于建立坐標(biāo)系的方法有多種,所以求出的
4、軌跡方程有多種,但是都是對的;(2)這道題是直接用坐標(biāo)化簡已知中的得到的軌跡方程,運(yùn)用的是直接法.
【例2】 已知圓: ,由動點(diǎn)向圓引兩條切線、,切點(diǎn)分別為、,并且,求點(diǎn)的軌跡.
【點(diǎn)評】(1)這道題運(yùn)用的是直接法,但是它是把已知條件轉(zhuǎn)化得到的一個等式,不是現(xiàn)存的等式.(2)軌跡和軌跡方程是兩個不同的概念,軌跡包含軌跡方程和對軌跡方程表示的曲線的簡單特征的描述,而求軌跡方程只求那個方程即可,不需描述曲線的特征.所以本題要描述軌跡的基本特征.
【反饋檢測1】在平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,動點(diǎn)滿足:直線與直線的斜率之積為.
(1)求動點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)為
5、動點(diǎn)的軌跡的左右頂點(diǎn),為直線上的一動點(diǎn)(點(diǎn)不在x軸上),連[交的軌跡于點(diǎn),連并延長交的軌跡于點(diǎn),試問直線是否過定點(diǎn)?若成立,請求出該定點(diǎn)坐標(biāo),若不成立,請說明理由.
【反饋檢測2】一條雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn),是雙曲線上不同的兩個動點(diǎn).
(1)求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程式;
(2)若過點(diǎn)()的兩條直線和與軌跡都只有一個交點(diǎn),且 ,求的值.
方法二
待定系數(shù)法
使用情景
通過已知條件的分析可以得到動點(diǎn)滿足某種曲線(圓、圓錐曲線)的定義.
解題步驟
(1)分析出動點(diǎn)滿足的方程;(2)證明動點(diǎn)滿足某曲線(圓、圓錐曲線)的定義;(3)
6、設(shè)出該曲線的待定系數(shù)方程;(4)求出待定系數(shù),即得所求的軌跡方程.
【例3】 已知動圓P與兩定圓和都外切,求動圓圓心的軌跡方程.
【點(diǎn)評】(1)此道題通過對已知的分析得到,即動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離的差是一個常數(shù),與雙曲線的定義相符,所以其軌跡是雙曲線的一支,利用的是待定系數(shù)法;(2)利用待定系數(shù)法求軌跡方程時,一定要比較全面地分析條件和曲線的定義,看是曲線的全部,還是曲線的部分,此題也不是雙曲線的全部,是雙曲線的一支.
【例4】已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到點(diǎn)到直線的距離小4;
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)若曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l:對稱,求直線的方程.
【解析】(1)結(jié)合圖形知
7、,點(diǎn)不可能在軸的左側(cè),即到點(diǎn)的距離等于到直線的距離的軌跡是拋物線,為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的軌跡方程是:
(2)設(shè)則 相減得
又的斜率為-4則
中點(diǎn)的坐標(biāo)為, 即
經(jīng)檢驗(yàn),此時,與拋物線有兩個不同的交點(diǎn),滿足題意.
【點(diǎn)評】(1)本題的第一問利用的就是待定系數(shù)法,通過對動點(diǎn)的分析,發(fā)現(xiàn)它滿足拋物線的定義,所以動點(diǎn)的軌跡是拋物線.(2)第二小問利用了點(diǎn)差法,可以提高解題效率.
【反饋檢測3】已知垂直平分線與交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)已知點(diǎn), 過點(diǎn)且斜率為()的直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn),直線,分別交直線于點(diǎn),,線段的中點(diǎn)為,記直線的斜率為.求證:為定值.
8、
方法三
代入法
使用情景
某被動點(diǎn)之所以在運(yùn)動,是因?yàn)橹鲃狱c(diǎn)在某曲線上運(yùn)動引起的.
解題步驟
(1)先利用被動點(diǎn)的坐標(biāo)表示主動點(diǎn)的坐標(biāo);(2)把動點(diǎn)的坐標(biāo)代入它滿足的方程化簡.
【例5】已知拋物線和點(diǎn),為拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)在線段上且,當(dāng)點(diǎn)在該拋物線上移動時,求點(diǎn)的軌跡方程.
【點(diǎn)評】點(diǎn)之所以在動,就是因?yàn)辄c(diǎn)在動,所以點(diǎn)是被動點(diǎn),點(diǎn)是主動點(diǎn),這種情景,應(yīng)該利用代入法求軌跡方程.
【反饋檢測4】 已知的頂點(diǎn),頂點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動,求的重心的軌跡方程.
方法四
消參法
使用情景
如果動點(diǎn)的運(yùn)動主要是由于某個參數(shù)的變化引起的.
9、
解題步驟
(1)選參設(shè)參;(2)用這個參數(shù)表示動點(diǎn)的坐標(biāo),即;(3)消去參數(shù),化簡.
【例6】已知曲線
(1)證明:當(dāng)時,曲線是一個圓;
(2)求證圓心在一條定直線上.
【點(diǎn)評】(1)此題求圓心在一定直線上,就是求動點(diǎn)的軌跡是一條直線;(2)圓心的運(yùn)動主要是因?yàn)閰?shù)引起的,所以選用消參法解答.
【反饋檢測5】 已知線段,直線垂直平分于,在上取兩點(diǎn),使有向線段滿足,求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程.
高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第77講:
軌跡方程的求法參考答案
【反饋檢測1答案】(1);(2)直線恒過定點(diǎn).
10、
【反饋檢測2答案】(1);(2).
【反饋檢測2詳細(xì)解析】由雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為得.
所以
兩式相乘得
而點(diǎn)在雙曲線上,所以即
故,即.
(2)設(shè),則由知,.
將代入得
,即,
由與E只有一個交點(diǎn)知,,即.
同理,由與E只有一個交點(diǎn)知,,消去得,即,從而,即.
【反饋檢測3答案】(1);(2).
(2)設(shè)過點(diǎn)(1,0),且斜率為()的直線方程為,設(shè)點(diǎn),點(diǎn),
將直線方程代入橢圓: ,
整理得:,
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi),所以直線和橢圓都相交,恒成立,
且.
直線的方程為,直線的方程為,
令,得點(diǎn),點(diǎn),
所以點(diǎn)的坐
直線的斜率為
.
將代入上式得,
. 所以為定值.
【反饋檢測4答案】
【反饋檢測5答案】
【反饋檢測5詳細(xì)解析】如圖2,以線段所在直線為軸,以線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系.
設(shè)點(diǎn),則由題意,得.
由點(diǎn)斜式得直線的方程分別為.
兩式相乘,消去,得.
這就是所求點(diǎn)的軌跡方程.
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