2018年高考數學 常見題型解法歸納反饋訓練 第11講 函數（三角函數、數列函數）模型及其應用

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1、 第11講 函數（三角函數、數列函數）模型及其應用 【知識要點】 一、在現實生活中有許多問題，往往隱含著量與量之間的關系，可通過建立變量之間的函數關系和對所得函數的研究，使問題得到解決． 數學模型方法是把實際問題加以抽象概括，建立相應的數學模型，利用這些模型來研究實際問題的一般數學方法；數學模型則是把實際問題用數學語言抽象概括，再從數學角度來反映或近似地反映實際問題時所得出的關于實際問題的數學描述． 數學模型來源于實際，它是對實際問題抽象概括加以數學描述后的產物，它又要回到實際中去檢驗，因此對實際問題有深刻的理解是運用數學模型方法的前提． 二、函數是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數學

2、模型，不同的變化現象需要用不同的函數模型來描述，數學應用題的建模過程就是信息的獲取、存儲、處理、綜合、輸出的過程，熟悉一些基本的數學模型，有助于提高我們解決實際問題的能力． 三、三角函數的應用一般是先根據題意建立三角函數模型，再根據題意結合三角函數的圖像和性質分析解答.一般根據函數的最值確定和，根據函數的最小正周期確定，根據函數的最值點確定. 四、數列的應用主要是從實際生活中抽象出一個等差、等比的數列問題解答，如果不是等差等比數列的，要轉化成等差等比數列的問題來解決.注意數列的項數. 五、解決實際問題的解題過程 （1）對實際問題進行抽象概括：研究實際問題中量與量之間的關系，確定變量之間

3、的主、被動關系，并用、分別表示問題中的變量； （2）建立函數模型：將變量表示為的函數，在中學數學內，我們建立的函數模型一般都是函數的解析式； （3）求解函數模型：根據實際問題所需要解決的目標及函數式的結構特點正確選擇函數知識求得函數模型的解，并還原為實際問題的解. 這些步驟用框圖表示： 六、解應用題的一般程序 （1）讀：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，理順數量關系，這一關是基礎； （2）建：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型．熟悉基本數學模型，正確進行建“?！笔顷P鍵的一關； （3）解：求解數學模型，得到數學結論.一要充分注意數學模型中元素的實

4、際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過程； （4）答：將數學結論還原給實際問題的結果． 【方法講評】 函數的模型一 三角函數模型 解題步驟 先建立對應的三角函數模型，再解答. 【例1】已知某海濱浴場的海浪高度（單位：米）與時間 （單位：時）的函數關系記作，下表是某日各時的浪高數據： (時) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 (米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 經長期觀測，的曲線可近似地看成是函數. （1）根據以上數據，求函數的最小正周期，振幅及函數表達式； （2）依據規(guī)定，當海浪高度高

5、于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據（1）的結論，判斷一天內的上午8∶00時至晚上20∶00時之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？ （2）由題知，當時才可對沖浪者開放，∴， 【點評】（1）首先要利用三角函數的圖像和性質求出三角函數的表達式，是函數的振幅，是相位，是初相.一般通過函數的最值求,通過周期求，通過最值點求.（2）解簡單的三角函數不等式主要是利用三角函數的圖像和數形結合的思想解答.三角不等式的解集中一般含有“”，最后給賦值和實際范圍求交集. 【反饋檢測1】海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠

6、近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天 從0時至24時的時間（單位：時）與水深（單位：米）的關系表： （1）請選用一個函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系； （2）一條貨輪的吃水深度（船體最低點與水面的距離）為12米，安全條例規(guī)定船體最低點與洋底間隙至少要有1.5米，請問該船何時能進出港口？在港口最多能停留多長時間？ 【例2】 某地有三家工廠，分別位于矩形的頂點，及的中點處，已知，，為了處理三家工廠的污水，現要在矩形的區(qū)域上（含邊界），且，與等距離的一點處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道，，，設排污管道

7、的總長為． （Ⅰ）按下列要求寫出函數關系式： ①設，將表示成的函數關系式； ②設，將表示成的函數關系式． （Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中的一個函數關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短． （Ⅱ）選擇函數模型①， 則. 令得，因為，所以， 當時，，是的減函數；當時，，是的增函數，所以當=時，．這時點位于線段的中垂線上，且距離邊處． 【點評】（1）本題主要考查根據實際意義建立函數模型、三角函數性質和解決最值問題的基本知識，考查了數形結合思想和分析問題、轉化求解的能力．（2）對于較復雜的三角函數的最值，一般利用導數來研究函數的單調性從而得到函數的最值.（3）一般

8、以平面幾何為背景的應用題，多以角為自變量建立三角函數模型，比以邊為自變量建立函數模型簡單. 【反饋檢測2】如圖所示，某園林單位準備綠化一塊直徑為的半圓形空地，外的地方種草，的內接正方形為一水池，其余地方種花. 若，，設的面積為，正方形的面積為. （1）（2） 函數的模型八 數列模型 解題步驟 先建立數列模型，再解答. 【例3 】 某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相同.為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛? （1）顯然，若，則，即，

9、 此時 要使對于任意正整數，均有恒成立， 即 對于任意正整數恒成立，解這個關于x的一元一次不等式 ， 得， 上式恒成立的條件為：，由于關于的函數單調遞 減，所以，. 【點評】（1）建立數列模型的關鍵是從已知中找到數列的遞推關系，，，再根據遞推關系求出數列的通項，再研究.（2）解答的關鍵是化歸為含參數的不等式恒成立問題，其分離變量后又轉化為函數的最值問題. 【例4】 廣州市某通訊設備廠為適應市場需求，提高效益，特投入98萬元引進世界先進設備奔騰6號，并馬上投入生產，第一年需要的各種費用是12萬元，從第二年開始，所需費用會比上一年增加4萬元，而每年因引進

10、該設備可獲得的年利潤為50萬元. （1）引進該設備多少年后，開始盈利？ （2）引進該設備若干年后，有兩種處理方案： 第一種：年平均盈利達到最大值時，以26萬元的價格賣出； 第二種：盈利總額達到最大值時，以8萬元的價格賣出.問哪種方案較為合算？并說明理由. 【解析】（1） 所以3年后開始盈利. 【點評】（1）建立數列模型的關鍵是理解數列函數的意義，再根據其意義求出表達式.（2）注意理解“年平均盈利”和“年盈利”的含義，年平均盈利= 年盈利= 【反饋檢測3】某企業(yè)2006年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產能力將逐年下降.若不能進行技術改造，預測從2007

11、年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第年（今年為第一年）的利潤為萬元（為正整數）.（Ⅰ）設從今年起的前年，若該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為萬元，進行技術改造后的累計純利潤為萬元（須扣除技術改造資金），求、的表達式；（Ⅱ）依上述預測，從今年起該企業(yè)至少經過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？ 高中數學常見題型解法歸納及反饋檢測第11講： 函數（三角函數、數列函數）模型及其應用參考答案 【反饋訓練1答案】（1）；（2）貨船在1點至5點可以進出港；或13點至17點可以進出港．每次可以在港口最多能停留4小時. 【反饋檢測2答案】（1）；（2） 【反饋檢測2詳細解析】（1）， （2） 【反饋檢測3答案】（1）=，=500－－10；（2）至少經過4年，該企業(yè)進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤. 答：至少經過4年，該企業(yè)進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤. 10