【創(chuàng)新方案】高考數學 理一輪突破熱點題型：第2章 第1節(jié)　函數及其表示

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1、 第一節(jié)　函數及其表示 考點一 函數的定義域 　 [例1]　(1)(20xx·南昌模擬)函數f(x)＝的定義域是(　　) A. 　　　　　 B. C. D. (2)已知函數f(x2－1)的定義域為[0,3]，則函數y＝f(x)的定義域為________． [自主解答]　(1)由題意得解得x>－且x≠1. (2)因為函數f(x2－1)的定義域為[0,3]，所以－1≤x2－1≤8，故函數y＝f(x)的定義域為[－1,8]． [答案]　(1)D　(2)[－1,8] 【互動探究】 本例(2)改為：f(x)的定義域為[0,3]，求y＝

2、f(x2－1)的定義域． 解：因為f(x)的定義域為[0,3]，所以0≤x2－1≤3，即1≤x2≤4，解得1≤x≤2或－2≤x≤－1，故函數y＝f(x2－1)的定義域為[－2，－1]∪[1,2]．　　　　　 【方法規(guī)律】 1．簡單函數定義域的求法 求函數的定義域，其實質就是以函數解析式所含運算有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可． 2．抽象函數的定義域 (1)若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函數f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]

3、時的值域． 1．(20xx·廣州模擬)如果函數f(x)＝ln(－2x＋a)的定義域為(－∞，1)，則實數a的值為(　　) A．－2　 　 B．－1 C．1 D．2 解析：選D　∵－2x＋a>0，∴x<，∴＝1，∴a＝2. 2．已知f(x)的定義域是[0,4]，則f(x＋1)＋f(x－1)的定義域是________． 解析：由f(x)的定義域為[0,4]，得解得1≤x≤3，即函數f(x＋1)＋f(x－1)的定義域為[1,3]． 答案：[1,3] 考點二 求函數解析式 　 [例2]　(1)已知f(2x＋1)＝4x2＋2x＋1，求f(x)的解

4、析式； (2)已知f(x)是二次函數，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)滿足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式． [自主解答]　(1)令t＝2x＋1，則x＝(t－1)，所以，f(t)＝42＋2×(t－1)＋1＝ (t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1.即f(x)＝x2－x＋1. (2)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx. 又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)

5、x＋1.所以所以a＝b＝. 因此f(x)＝x2＋x. (3)由2f(x)＋f＝3x，得2f＋f(x)＝.由得f(x)＝2x－(x≠0)． 【方法規(guī)律】 求函數解析式的常用方法 (1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式． (2)待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)，則可用待定系數法． (3)換元法：已知復合函數f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍． (4)解方程組法：已知關于f(x)與f或f(－x)的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式

6、組成方程組，通過解方程組求出f(x)． 求下列兩個函數的解析式： (1)f(＋1)＝x＋2； (2)定義在(－1,1)內，且函數f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)． 解：(1)法一：設t＝＋1，則x＝(t－1)2(t≥1)． 代入原式，有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1， ∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)當x∈(－1,1)時，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，① 以－x代

7、替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．② 由①②消去f(－x)，得f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)． 高頻考點 考點三 分 段 函 數 　 1．分段函數是一類重要的函數，是高考的命題熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現，試題難度不大，多為容易題或中檔題． 2．高考對分段函數的考查主要有以下幾個命題角度： (1)已知分段函數解析式，求函數值(或最值)； (2)已知分段函數解析式與方程，求參數的值； (3)已知分段函數解析式，求解不等式； (4)已知分段函數解析式，判斷函數的奇偶性； (5)新定義運算，分段函數與方程的交匯問題．

8、 [例3]　(1)(20xx·江西高考)函數f(x)＝則f(f(10))＝(　　) 　A．lg 101　 B．2 C．1 D．0 (2)(20xx·青島模擬)設函數f(x)＝則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是(　　) A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞) (3)已知實數a≠0，函數f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________． [自主解答]　(1)f(10)＝lg 10＝1，f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2. (2)當x≤1時，21－x≤2，解得x≥0，又因為x≤1，所以

9、0≤x≤1； 當x>1時，1－log2x≤2，解得x≥，又因為x>1，所以x>1. 故x的取值范圍是[0，＋∞)． (3)①當1－a＜1，即a＞0時，1＋a＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－(舍去)； ②當1－a＞1，即a＜0時，1＋a＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)， 得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，解得a＝－，符合題意． 綜上所述，a＝－. [答案]　(1)B　(2)D　(3)－ 分段函數問題的常見類型及解題策略 (1)求函數值．弄清自變量所在區(qū)間，然后代入對應的解析式，求“層層套”的函數值，要從最內層逐層

10、往外計算． (2)求函數最值．分別求出每個區(qū)間上的最值，然后比較大?。? (3)解不等式．根據分段函數中自變量取值范圍的界定，代入相應的解析式求解，但要注意取值范圍的大前提． (4)求參數．“分段處理”，采用代入法列出各區(qū)間上的方程． (5)奇偶性．利用奇函數(偶函數)的定義判斷． 1．(20xx·南平模擬)定義ab＝設函數f(x)＝ln xx，則f(2)＋f＝(　　) A．4ln 2 B．－4ln 2 C．2 D．0 解析：選D　由題意可得f(x)＝所以f(2)＋f＝2ln 2＋2ln＝0. 2．(20xx·永州模擬)設Q為有理數集

11、，函數f(x)＝g(x)＝，則函數h(x)＝f(x)·g(x)(　　) A．是奇函數但不是偶函數 B．是偶函數但不是奇函數 C．既是奇函數也是偶函數 D．既不是偶函數也不是奇函數 解析：選A　當x∈Q時，－x∈Q，∴f(－x)＝f(x)＝1；當x∈?RQ時，－x∈?RQ，∴f(－x)＝f(x)＝－1.綜上，對?x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故函數f(x)為偶函數． ∵g(－x)＝＝＝－＝－g(x)，∴函數g(x)為奇函數， ∴h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝f(x)·(－g(x))＝－f(x)g(x)＝－h(huán)(x)， ∴函數h(x)＝f(x)·g(x)是奇函數． 又因為

12、h(1)＝f(1)·g(1)＝，h(－1)＝f(－1)·g(－1)＝1×＝，∴h(－1)≠h(1)， ∴函數h(x)不是偶函數． 綜上可知，h(x)是奇函數但不是偶函數． 3．(20xx·日照模擬)已知函數f(x)＝2x－，且g(x)＝則函數g(x)的最小值是________． 解析：因為g(x)＝所以函數g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，在(－∞，0)上單調遞減，故函數g(x)的最小值為g(0)＝20－＝0. 答案：0 ———————————[課堂歸納——通法領悟]——————————— 4個準則——函數表達式有意義的準則 　函數表達式有意義的準則一般有：(1)分式中的分母

13、不為0；(2)偶次根式的被開方數非負；(3)y＝x0要求x≠0；(4)對數式中的真數大于0，底數大于0且不等于1. 4種方法——函數解析式的求法 　求函數解析式常用的方法有：(1)配湊法；(2)待定系數法；(3)換元法；(4)解方程組法．具體內容見例2[方法規(guī)律]． 4個注意點——求函數定義域應注意的問題 (1)如果沒有特別說明，函數的定義域就是能使解析式有意義的所有實數x的集合． (2)不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化． (3)當一個函數由兩個或兩個以上代數式的和、差、積、商的形式構成時，定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合． (4)定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數集，不能用“或”連接，而應該用并集符號“∪”連接．