【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪突破熱點(diǎn)題型：第2章 第9節(jié)　函數(shù)模型及其應(yīng)用

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1、 第九節(jié)　函數(shù)模型及其應(yīng)用 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)一 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型　　 1．以二次函數(shù)為模型的應(yīng)用題常出現(xiàn)在高考試題中，既有選擇題、填空題，也有解答題，難度適中，屬中檔題． 2．高考對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的考查主要有以下兩個(gè)命題角度： (1)單一考查一次函數(shù)或二次函數(shù)模型的建立及最值問(wèn)題； (2)以分段函數(shù)的形式考查一次函數(shù)和二次函數(shù)． [例1]　(1)(20xx·陜西高考)在如圖所示的銳角三角形空地中， 欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分), 則其邊長(zhǎng)x為_(kāi)_______m. (2)(20xx·湖北高考)提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行

2、能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度v(單位：千米/時(shí))是車(chē)流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù)． ①當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式； ②當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí)，車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時(shí)) [自主解答]　(1)設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長(zhǎng)為y，則由相似三角形性質(zhì)可得＝，解得y＝40－x

3、，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0

4、00時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333， 即當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/時(shí)． [答案]　(1)20 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略 (1)直接考查一次函數(shù)、二次函數(shù)模型．解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注意三點(diǎn)：①二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)；②確定一次函數(shù)模型時(shí)，一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來(lái)確定，常用待定系數(shù)法；③解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問(wèn)題． (2)以分段函數(shù)的形式考查．解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn)：①實(shí)際問(wèn)題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出

5、，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車(chē)票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解；②構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，做到分段合理、不重不漏；③分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)． 1．(20xx·上海高考)甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每一小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100元． (1)求證：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)為100a·元； (2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn)：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤(rùn)． 解：(1)證明：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所用的時(shí)間是 小時(shí)，∵每一小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100元，∴獲得的利潤(rùn)為

6、100× 元．因此生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)為100 a元． (2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)為90 000·元，1≤x≤10. 設(shè)f(x)＝－＋＋5,1≤x≤10.則f(x)＝－32＋＋5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝6取得最大值． 故獲得最大利潤(rùn)為90 000×＝457 500元．因此甲廠應(yīng)以6千克/小時(shí)的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤(rùn)457 500元． 2．據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過(guò)線段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過(guò) 的路程s(km)

7、． (1)當(dāng)t＝4時(shí)，求s的值； (2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來(lái)； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城，如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N城？如果不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)由圖象可知：當(dāng)t＝4時(shí)，v＝3×4＝12，∴s＝×4×12＝24. (2)當(dāng)0≤t≤10時(shí)，s＝·t·3t＝t2；當(dāng)10

8、)沙塵暴會(huì)侵襲到N城．∵t∈[0,10]時(shí)，smax＝×102＝150<650，t∈(10,20]時(shí)，smax＝30×20－150＝450<650，∴當(dāng)t∈(20,35]時(shí)，令－t2＋70t－550＝650.解得t1＝30，t2＝40. ∵20

9、＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和． (1)求k的值及f(x)的表達(dá)式； (2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值． [自主解答]　(1)由已知條件得C(0)＝8，則k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)． (2)f(x)＝6x＋10＋－10≥2 －10＝70(萬(wàn)元)， 當(dāng)且僅當(dāng)6x＋10＝，即x＝5時(shí)等號(hào)成立．所以當(dāng)隔熱層厚度為5 cm時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小值，最小值為70萬(wàn)元． 【方法規(guī)律】 把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化、建立數(shù)學(xué)模型一定要過(guò)好的三關(guān) (1)事

10、理關(guān)：通過(guò)閱讀、理解，明確問(wèn)題講的是什么，熟悉實(shí)際背景，為解題找出突破口； (2)文理關(guān)：將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系； (3)數(shù)理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，對(duì)已知數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢索，從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型． (20xx·杭州模擬)某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800 m2的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1 m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3 m寬的空地，當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大面積是多少？ 解：設(shè)溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為x m，則后側(cè)邊長(zhǎng)為 m. ∴蔬菜種植面積y＝(x－4)＝808－2(4

11、 ∵x＋≥2 ＝80，∴y≤808－2×80＝648.當(dāng)且僅當(dāng)x＝， 即x＝40時(shí)取等號(hào)，此時(shí)＝20，y最大值＝648(m2)． 即當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為40 m、20 m時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大面積是648 m2. 考點(diǎn)三 指數(shù)函數(shù)模型 　 [例3]　已知某物體的溫度θ(單位：攝氏度)隨時(shí)間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律是θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)． (1)如果m＝2，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，物體的溫度為5攝氏度； (2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍． [自主解答]　(1)若m＝2，則θ＝2·2t＋21－t＝2， 當(dāng)θ＝5時(shí)，2t＋＝，令2

12、t＝x(x≥1)，則x＋＝，即2x2－5x＋2＝0， 解得x＝2或x＝(舍去)，此時(shí)t＝1.所以經(jīng)過(guò)1分鐘，物體的溫度為5攝氏度． (2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即θ≥2恒成立，亦m·2t＋≥2恒成立． 亦即m≥2恒成立．令＝y(tǒng)，則0

13、再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型； (3)y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解． 一個(gè)人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過(guò)0.09 mg/mL，那么，此人至少經(jīng)過(guò)________小時(shí)才能開(kāi)車(chē)．(精確到1小時(shí)) 解析：設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)才能開(kāi)車(chē)．由題意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈5. 答案：5 —————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個(gè)防范——實(shí)際問(wèn)題的定義域 　要特別關(guān)注實(shí)際問(wèn)題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域． 1個(gè)步驟——解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟 　(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型； (2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)， 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； (3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論； (4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題的意義． 以上過(guò)程用框圖表示如下： 答