【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué) 北師大版一輪訓(xùn)練：第10篇 基礎(chǔ)回扣練推理證明、算法、復(fù)數(shù)

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1、 基礎(chǔ)回扣練——推理證明、算法、復(fù)數(shù) (建議用時：60分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·北京卷)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i(2－i)對應(yīng)的點位于 (　　)． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　因為i(2－i)＝1＋2i，所以對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(1,2)，該點在第一象限． 答案　A 2．(20xx·遼寧卷)復(fù)數(shù)z＝的模為 (　　)． A. B．　　 C. D．2 解析　z＝＝＝－－i， ∴|z|＝＝. 答案　B 3．(20xx·寶雞模擬)若a，b∈R，i為虛數(shù)單位，且(a＋i)i＝b＋，則a＋b＝(　　)． A．0 B．1　　 C．

2、2 D．－2 解析　由已知得ai＋i2＝b＋(2＋i)， 即－1＋ai＝(b＋2)＋i，∴∴ ∴a＋b＝1－3＝－2. 答案　D 4．(20xx·景德鎮(zhèn)模擬)已知復(fù)數(shù)z的實部為1，且|z|＝2，則復(fù)數(shù)z的虛部是(　　)． A．－ B．i　　 C．±i D．± 解析　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，由題意知a＝1， ∴1＋b2＝4，∴b2＝3，∴b＝±. 答案　D 5．(20xx·青島一模)某算法框圖如圖所示，若a＝3，則該程序運行后，輸出的x值為 (　　)． A．15 B．31　　 C．62 D．63 解析　第一次循環(huán)：x＝2×3＋1＝7，n＝2； 第二次循環(huán)

3、：x＝2×7＋1＝15，n＝3； 第三次循環(huán)：x＝2×15＋1＝31，n＝4. 此時不滿足條件，輸出x＝31. 答案　B 6．(20xx·南充月考)執(zhí)行如圖所示的算法框圖，則輸出n的值為(　　)． A．6 B．5　　 C．4 D．3 解析　第一次循環(huán)，n＝1，S＝1＋2＝3；第二次循環(huán)，n＝2，S＝2×3＋2＝8；第三次循環(huán)，n＝3，S＝3×8＋2＝26；第四次循環(huán)，n＝4，S＝4×26＋2＝106，此時滿足條件，輸出n＝4. 答案　C 7.(20xx·紹興模擬)已知某算法框圖如圖所示，當(dāng)輸入的x的值為5時，輸出的y的值恰好是，則在空白的賦值框處應(yīng)填入的關(guān)系式可以是 (　

4、　)． A．y＝x3 B．y＝x C．y＝3x D．y＝3－x 解析　由程序框圖可知，當(dāng)輸入的x的值為5時， 第一次運行，x＝5－2＝3； 第二次運行， x＝3－2＝1； 第三次運行，x＝1－2＝－1， 此時x≤0，退出循環(huán)，要使輸出的y的值為，只有C中的函數(shù)y＝3x符合要求． 答案　C 8.(20xx·廣元二診)某算法的算法框圖如圖所示，如果輸出的結(jié)果為5,57，則判斷框內(nèi)應(yīng)為 (　　)． A．k≤6？ B．k＞4? C．k＞5？ D．k≤5? 解析　當(dāng)k＝1時，S＝2×0＋1＝1；當(dāng)k＝2時，S＝2×1＋2＝4；當(dāng)k＝3時，S＝2×4＋3＝11；當(dāng)k＝4時

5、，S＝2×11＋4＝26；當(dāng)k＝5時，S＝2×26＋5＝57，由題意知此時退出循環(huán)，因而選B. 答案　B 9．(20xx·福州質(zhì)檢)將正奇數(shù)1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列規(guī)律，89所在的位置是 (　　)． A．第一列 B．第二列 C．第三列 D．第四列 解析　正奇數(shù)從小到大排，則89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列． 答案　D 10．(20xx·長沙模擬)我國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦．若a，b，c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則a2＋b2＝c2，稱這個定理為勾股定理．現(xiàn)將這一定理推

6、廣到立體幾何中：在四面體O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S為頂點O所對面的面積，S1，S2，S3分別為側(cè)面△OAB，△OAC，△OBC的面積，則下列選項中對于S，S1，S2，S3滿足的關(guān)系描述正確的為 (　　)． A．S2＝S＋S＋S B．S2＝＋＋ C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝＋＋ 解析　如圖，作OD⊥BC于點D，連接AD，由立體幾何知識知，AD⊥BC，從而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋ BC2·OD2＝2＋2＋2＝S＋S＋S. 答案　A 二、填空題 11．(20xx·九江模擬)已知i是虛數(shù)單位，

7、則＝________. 解析?。?－i. 答案　1－i 12．(20xx·西安中學(xué)模擬)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a＝________. 解析?。剑剑玦， 由題意知：＝0，∴a＝2. 答案　2 13．(20xx·浙江卷)若某算法框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值等于________． 解析　第一步：S＝1＋＝，k＝2； 第二步：S＝＋＝，k＝3； 第三步：S＝＋＝，k＝4； 第四步：S＝＋＝，k＝5， 結(jié)束循環(huán)．輸出S＝. 答案　 14．(20xx·安康中學(xué)模擬)若程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出k的值為________． 解析　第一次：n

8、＝3×5＋1＝16，k＝1； 第二次：n＝＝8，k＝2； 第三次：n＝＝4，k＝3； 第四次：n＝＝2，k＝4； 第五次：n＝＝1，k＝5， 此時滿足條件，輸出k＝5. 答案　5 15．(20xx·陜西卷)觀察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …… 照此規(guī)律，第n個等式可為________． 解析　觀察規(guī)律可知，第n個式子為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1. 答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 16．(20xx·蘭州質(zhì)檢)在平面幾何中有如下結(jié)

9、論：若正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則＝.推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體A－BCD的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則＝________. 解析　平面幾何中，圓的面積與圓的半徑的平方成正比，而在空間幾何中，球的體積與球的半徑的立方成正比，所以＝. 答案　 三、解答題 17．在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中，a1＝2，不等式(n＋1)an≥na2n對任意n∈N*都成立． (1)求a2的取值范圍； (2)判斷數(shù)列{an}能否為等比數(shù)列，并說明理由． 解　(1)因為{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以a2＞a1，即a2＞2. 又(n＋1)an≥na2n，令n＝1

10、，則有2a1≥a2，即a2≤4，所以a2∈(2,4]． (2)數(shù)列{an}不能為等比數(shù)列． 用反證法證明： 假設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，由a1＝2＞0，得an＝2qn－1. 因為數(shù)列{an}單調(diào)遞增，所以q＞1. 因為(n＋1)an≥na2n對任意n∈N*都成立， 所以對任意n∈N*，都有1＋≥qn.① 因為q＞1，所以存在n0∈N*， 使得當(dāng)n≥n0時，qn＞2. 因為1＋≤2(n∈N*)． 所以存在n0∈N*，使得當(dāng)n≥n0時，qn＞1＋，與①矛盾，故假設(shè)不成立． 18．(20xx·福州質(zhì)檢)閱讀下面材料： 根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有 sin(α＋β)

11、＝sin αcos β＋cos αsin β， ① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， ② 由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β， ③ 令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝， 代入③得sin A＋sin B＝2sin cos. (1)類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cos A－cos B＝－2sinsin； (2)若△ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C，試判斷△ABC的形狀． (提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及(1)中的結(jié)論) 解　(1)因為cos

12、(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，② ①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③ 令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝， 代入③得cos A－cos B＝－2sin sin. (2)由二倍角公式，cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C可化為1－2sin2A－1＋2sin2B＝1－1＋2sin2C， 所以sin2A＋sin2C＝sin2B. 設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c， 由正弦定理可得a2＋c2＝b2. 根據(jù)勾股定理的逆定理知△ABC為直角三角形．