【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學 北師大版一輪訓練：第3篇 第6講 正弦定理和余弦定理

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1、 第三篇 三角函數(shù)、解三角形 第6講　正弦定理和余弦定理 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·新余模擬)在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，則C＝ (　　)． A．30°　　 B．45°　　 C．60°　　 D．120° 解析　由a2－c2＋b2＝ab，得cos C＝＝＝，所以C＝30°. 答案　A 2．(20xx·西交大附中模擬)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為，則BC的長為 (　　)． A.　　 B．　　 C．2　　 D．2 解析　S＝×AB·ACsin 60°＝×2×AC＝，所

2、以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝. 答案　B 3．(20xx·新課標全國Ⅱ卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為 (　　)． A．2＋2　　 B．＋1 C．2－2　　 D．－1 解析　由正弦定理＝及已知條件得c＝2， 又sin A＝sin(B＋C)＝×＋×＝. 從而S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝＋1. 答案　B 4．(20xx·山東卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b， C.若B＝2A，a＝1，b＝，則c＝ (　　)． A．2

3、　　 B．2　　 C.　　 D．1 解析　由＝，得＝，所以＝，故cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝，B＝，C＝，c＝＝＝2. 答案　B 5．(20xx·陜西卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為 (　　)． A．直角三角形　　 B．銳角三角形 C．鈍角三角形　　 D．不確定 解析　由正弦定理及已知條件可知sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2 A，即sin(B＋C)＝sin2 A，而B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sin A，所以sin2 A＝sin A，又0＜A＜

4、π，sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝. 答案　A 二、填空題 6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，則角A的大小為________． 解析　由題意知，sin B＋cos B＝，所以sin＝，所以B＝，根據(jù)正弦定理可知＝，可得＝，所以sin A＝，又a＜b，故A＝. 答案　 7．(20xx·惠州模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b， C.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，則角B的值為________． 解析　由余弦定理，得＝cos B，結(jié)合已知等式得cos B·tan B＝，∴sin B＝，∴

5、B＝或. 答案　或 8．(20xx·煙臺一模)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝，則sin B等于________． 解析　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，即c＝2.由cos C＝得sin C＝.由正弦定理＝，得sin B＝＝×＝(或者因為c＝2，所以b＝c＝2，即三角形為等腰三角形，所以sin B＝sin C＝)． 答案　 三、解答題 9．(20xx·宜川質(zhì)檢)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且a＝c＋bcos C. (1)求角B的大??； (2)若S△ABC＝，b＝，求a＋c的值．

6、解　(1)由正弦定理，得sin A＝sin C＋sin Bcos C， 又因為A＝π－(B＋C)， 所以sin A＝sin(B＋C)， 可得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin C＋sin Bcos C， 即cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝. (2)因為S△ABC＝，所以acsin＝，所以ac＝4， 由余弦定理可知b2＝a2＋c2－ac， 所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝13＋12＝25，即a＋c＝5. 10．(20xx·萍鄉(xiāng)模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝3，b＝5，c＝7. (1)求角C的大??； (2)求sin的值．

7、 解　(1)由余弦定理，得cos C＝＝＝－.∵0＜C＜π，∴C＝. (2)由正弦定理＝，得 sin B＝＝＝， ∵C＝，∴B為銳角， ∴cos B＝＝＝. ∴sin＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝×＋×＝. 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·溫嶺中學模擬)在銳角△ABC中，若BC＝2，sin A＝，則·的最大值為 (　　)． A.　　 B．　　 C．1　　 D．3 解析　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc×＝4，由基本不等式可得4≥bc，即bc≤3，所以·＝bccos A＝bc≤1. 答案　C

8、2．(20xx·青島一中調(diào)研)在△ABC中，三邊長a，b，c滿足a3＋b3＝c3，那么 △ABC的形狀為 (　　)． A．銳角三角形　　 B．鈍角三角形 C．直角三角形　　 D．以上均有可能 解析　由題意可知c＞a，c＞b，即角C最大， 所以a3＋b3＝a·a2＋b·b2＜ca2＋cb2，即 c3＜ca2＋cb2，所以c2＜a2＋b2.根據(jù)余弦定理，得cos C＝＞0，所以0＜C＜，即三角形為銳角三角形． 答案　A 二、填空題 3．在△ABC中，B＝60°，AC＝，則AB＋2BC的最大值為________ . 解析　由正弦定理知＝＝， ∴AB＝2si

9、n C，BC＝2sin A. 又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C) ＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C) ＝2(sin C＋cos C＋sin C) ＝2(2sin C＋cos C)＝2sin(C＋α)， 其中tan α＝，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值2. 答案　2 三、解答題 4．(20xx·長沙模擬)在△ABC中，邊a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足bcos C＝(3a－c)cos B． (1)求cos B； (2)若·＝4，b＝4，求邊a，c的值． 解　(1)由正弦定理和bcos C＝(3a－c)cos B， 得sin Bcos C＝(3sin A－sin C)cos B， 化簡，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝3sin Acos B， 即sin(B＋C)＝3sin Acos B， 故sin A＝3sin Acos B，所以cos B＝. (2)因為·＝4，所以·＝||·||· cos B＝4，所以||·||＝12，即ac＝12.① 又因為cos B＝＝，整理得，a2＋c2＝40.② 聯(lián)立①②解得或