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1、
第3講 圓與圓的方程
基礎鞏固題組
(建議用時：40分鐘)
一、選擇題
1． (20xx·長春模擬)已知點A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是 ( )．
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
解析 AB的中點坐標為(0,0)，
|AB|＝＝2，
∴圓的方程為x2＋y2＝2.
答案 A
2．若圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，那么直線x＋ay＋b＝0一定不經(jīng)過 ( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 圓x2＋y2－2ax＋3by
2、＝0的圓心為，
則a＜0，b＞0.直線y＝－x－，k＝－＞0，－＞0，直線不經(jīng)過第四象限．
答案 D
3．(20xx·鎮(zhèn)安中學模擬)圓心在y軸上且過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是 ( )．
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
解析 設圓心為(0，b)，半徑為r，則r＝|b|，
∴圓的方程為x2＋(y－b)2＝b2，∵點(3,1)在圓上，
∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5，
∴圓的方程為x2＋y2－10y＝0.
答案 B
4．兩條直線y＝x＋2a，y＝2x＋a的交點P在圓(x
3、－1)2＋(y－1)2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是 ( )．
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪[1，＋∞)
解析 聯(lián)立解得P(a,3a)，
∴(a－1)2＋(3a－1)2＜4，∴－＜a＜1，故應選A.
答案 A
5．(20xx·西交大附中模擬)點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是 ( )．
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析 設圓上任一點為Q(x0，y0)，PQ的中點為M(x，y)，則解得因為點Q在圓x2＋y2
4、＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化簡得(x－2)2＋ (y＋1)2＝1.
答案 A
二、填空題
6．已知點M(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點，那么過點M的最短弦所在直線的方程是________．
解析 過點M的最短弦與CM垂直，圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直線的方程為y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案 x＋y－1＝0
7．(20xx·南京調(diào)研)已知直線l：x－y＋4＝0與圓C：(x－1)2＋(y－1) 2＝2，則圓C上各點到l的距離的最小值為______．
解
5、析 由題意得C上各點到直線l的距離的最小值等于圓心(1,1)到直線l的距離減去半徑，即－＝.
答案
8．若圓x2＋(y－1)2＝1上任意一點(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．
解析 據(jù)題意圓x2＋(y－1)2＝1上所有的點都在直線x＋y＋m＝0的右上方，所以有
解得m≥－1＋.故m的取值范圍是[－1＋，＋∞)．
答案 [－1＋，＋∞)
三、解答題
9．求適合下列條件的圓的方程：
(1)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)；
(2)過三點A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
解 (
6、1)法一 設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
則有
解得a＝1，b＝－4，r＝2.
∴圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二 過切點且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為(1，－4)．
∴半徑r＝＝2，
∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)法一 設圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
則
解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95.
∴所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0.
法二 由A(1,12)，B(7,10)，
得AB的中點坐標為(4,11)，kAB
7、＝－，
則AB的垂直平分線方程為3x－y－1＝0.
同理得AC的垂直平分線方程為x＋y－3＝0.
聯(lián)立得
即圓心坐標為(1,2)，半徑r＝＝10.
∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100.
10．設定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡．
解
如圖所示，設P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點坐標為
，線段MN的中點坐標為.由于平行四邊形的對角線互相平分，
故＝，＝.
從而
N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－
8、4)2＝4，
但應除去兩點和(點P在直線OM上時的情況)．
能力提升題組
(建議用時：25分鐘)
一、選擇題
1．(20xx·鷹潭模擬)已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點關于直線x－y＋3＝0對稱，則實數(shù)m的值為 ( )．
A．8 B．－4
C．6 D．無法確定
解析 圓上存在關于直線x－y＋3＝0對稱的兩點，則x－y＋3＝0過圓心，即－＋3＝0，∴m＝6.
答案 C
2．(20xx·西安中學模擬)已知拋物線y2＝2px(p＞0)上一點M(1，m)(m＞0)到其焦點F的距離為5，則以M為圓心且與y軸相切的圓的方程為 ( )．
A．(x－1)2＋(y
9、－4)2＝1
B．(x－1)2＋(y＋4)2＝1
C．(x－1)2＋(y－4)2＝16
D．(x－1)2＋(y＋4)2＝16
解析 拋物線的焦點為F，準線方程為x＝－，所以|MF|＝1－＝5，解得p＝8，即拋物線方程為y2＝16x，又m2＝16，m＞0，所以m＝4，即M(1,4)，所以半徑為1，所以圓的方程為(x－1)2＋(y－4)2＝1.
答案 A
二、填空題
3．已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為________．
解析 由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所構成的三角形及其內(nèi)部
10、，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，又△OPQ為直角三角形，故其圓心為斜邊PQ的中點(2,1)，半徑為＝，∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5
三、解答題
4．已知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直線x＋2y－3＝0交于P，Q兩點，且OP⊥OQ(O為坐標原點)，求該圓的圓心坐標及半徑．
解 法一 將x＝3－2y，
代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，
得5y2－20y＋12＋m＝0.
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則y1，y2滿足條件：
y1＋y2＝4，y1y2＝.
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.
11、而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2.
∵x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝.
故＋＝0，解得m＝3，
此時Δ＝202－4×5×(12＋m)＝20(8－m)＞0，圓心坐標為，半徑r＝.
法二 如圖所示，設弦PQ中點為M，且圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0的圓心為O1，
設M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由法一知，y1＋y2＝4，x1＋x2＝－2，
∴x0＝＝－1，y0＝＝2.
即M的坐標為(－1,2)．
則以PQ為直徑的圓可設為(x＋1)2＋(y－2)2＝r.
∵OP⊥OQ，∴點O在以PQ為直徑的圓上．
∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r，即r＝5，|MQ|2＝r.
在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2.
∴＝2＋(3－2)2＋5.
∴m＝3，∴圓心坐標為，半徑r＝.
【創(chuàng)新設計】高考數(shù)學 北師大版一輪訓練：第8篇 第3講 圓與圓的方程
