【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué) 北師大版一輪訓(xùn)練：第9篇 第3講 相關(guān)性、最小二乘估計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

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1、 第3講　相關(guān)性、最小二乘估計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是 (　　)． A．速度一定時(shí)，位移與時(shí)間 B．單位面積的產(chǎn)量為常數(shù)時(shí)，土地面積與總產(chǎn)量 C．身高與體重 D．電壓一定時(shí)，電流與電阻 解析　A、B、D中兩個(gè)變量間的關(guān)系都是確定的，所以是函數(shù)關(guān)系；C中的兩個(gè)變量間是相關(guān)關(guān)系，對(duì)于身高一樣的人，體重仍可以不同，故選C. 答案　C 2．設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個(gè)樣本點(diǎn)，直線l是由這些樣本點(diǎn)通過(guò)最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下結(jié)論正確的是

2、 (　　)． A．直線l過(guò)點(diǎn)(，) B．x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率 C．x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間 D．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同 解析　由樣本的中心(，)落在回歸直線上可知A正確；x和y的相關(guān)系數(shù)表示為x與y之間的線性相關(guān)程度，不表示直線l的斜率，故B錯(cuò)；x和y的相關(guān)系數(shù)應(yīng)在－1到1之間，故C錯(cuò)；分布在回歸直線兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)并不絕對(duì)平均，即無(wú)論樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，故D錯(cuò)． 答案　A 3．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1

3、，2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為 (　　)． A．－1 B．0　　 C. D．1 解析　所有點(diǎn)均在直線上，則樣本相關(guān)系數(shù)最大即為1，故選D. 答案　D 4．(20xx·九江模擬)對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下 x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根據(jù)上表，利用最小二乘法得它們的回歸直線方程為y＝10.5x＋a，據(jù)此模型來(lái)預(yù)測(cè)當(dāng)x＝20時(shí)，y的估計(jì)值為(　　)． A．210 B．210.5　　 C．211.5 D．212.5 解析　由數(shù)據(jù)中可知＝5，＝54，代入回歸直線方程得a＝

4、1.5，所以y＝10.5x＋1.5，當(dāng)x＝20時(shí)，y＝10.5×20＋1.5＝211.5. 答案　C 5．(20xx·延安模擬)某校為了研究學(xué)生的性別和對(duì)待某一活動(dòng)的態(tài)度(支持與不支持)的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算χ2＝7.069，則有多大把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)有關(guān)系”． (　　)． A．0.1% B．1%　　 C．99% D．99.9% 解析　因?yàn)棣?＝7.069＞6.635，所以P(χ2＞6.635)＝0.010，所以說(shuō)有99%的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)有關(guān)系”． 答案　C 二、填空題 6．已知施化肥量x與水稻產(chǎn)量y的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表，則變量x

5、與變量y是________相關(guān)(填“正”或“負(fù)”). 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455 解析　因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖能直觀地反映兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系，所以畫出散點(diǎn)圖如圖所示： 通過(guò)觀察圖像可知變量x與變量y是正相關(guān)． 答案　正 7．(20xx·濟(jì)南模擬)為了均衡教育資源，加大對(duì)偏遠(yuǎn)地區(qū)的教育投入，調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬(wàn)元)和年教育支出y(單位：萬(wàn)元)，調(diào)查顯示年收入x與年教育支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的回歸直線方程：y＝0.15x＋0

6、.2.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬(wàn)元，年教育支出平均增加________萬(wàn)元． 解析　回歸直線的斜率為0.15，所以家庭年收入每增加1萬(wàn)元，年教育支出平均增加0.15萬(wàn)元． 答案　0.15 8．為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到χ2＝≈4.844. 則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系的可能性約為_(kāi)_______． 解析　∵χ2≈4.844，根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷正確的可能性約為95

7、%. 答案　95% 三、解答題 9．某班主任對(duì)全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查．?dāng)?shù)據(jù)如下表： 認(rèn)為作業(yè)多 認(rèn)為作業(yè)不多 合計(jì) 喜歡玩游戲 18 9 不喜歡玩游戲 8 15 合計(jì) (1)請(qǐng)完善上表中所缺的有關(guān)數(shù)據(jù)； (2)試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明有多大把握認(rèn)為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系？ 解　(1) 認(rèn)為作業(yè)多 認(rèn)為作業(yè)不多 合計(jì) 喜歡玩游戲 18 9 27 不喜歡玩游戲 8 15 23 合計(jì) 26 24 50 (2)將表中的數(shù)據(jù)代入公式χ2＝＝≈5.059>3.841， 即說(shuō)明有95%以上的把握認(rèn)為喜歡

8、玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系． 10．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù). x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a； (3)已知該廠技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ (參考數(shù)值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解　(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖

9、如圖所示． (2)由對(duì)照數(shù)據(jù)，計(jì)算得：＝86， ＝＝4.5(噸)， ＝＝3.5(噸)． 已知iyi＝66.5， 所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為： b＝＝＝0.7， a＝－b＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的線性回歸方程為y＝0.7x＋0.35. (3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為： 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)． 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、選擇題 1．以下四個(gè)命題，其中正確的是 (　　)． ①?gòu)膭蛩賯鬟f的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每20分鐘

10、從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)，這樣的抽樣是分層抽樣； ②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1； ③在線性回歸方程y＝0.2x＋12中，當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量y平均增加0.2個(gè)單位； ④對(duì)分類變量X與Y，它們的隨機(jī)變量χ2值越小，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大． A．①④ B．②④　　 C．①③ D．②③ 解析　①是系統(tǒng)抽樣；對(duì)于④，隨機(jī)變量χ2值越小，說(shuō)明兩個(gè)相關(guān)變量有關(guān)系的把握程度越?。? 答案　D 2．變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(

11、10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則 (　　)． A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1 解析　對(duì)于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關(guān)，即r1＞0；對(duì)于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U負(fù)相關(guān)，即r2＜0，所以選C. 答案　C 二、填空題 3．(20xx·江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程y

12、＝0.67x＋54.9. 零件數(shù)x(個(gè)) 10 20 30 40 50 加工時(shí)間y(min) 62 75 81 89 現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為_(kāi)_______． 解析　由已知可計(jì)算求出＝30，而回歸直線方程必過(guò)點(diǎn)(，)，則＝0.67×30＋54.9＝75，設(shè)模糊數(shù)字為a，則 ＝75，計(jì)算得a＝68. 答案　68 三、解答題 4．電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖： 將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不

13、低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性． (1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？ 非體育迷 體育迷 合計(jì) 男 女 合計(jì) (2)將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級(jí)體育迷”，已知“超級(jí)體育迷”中有2名女性．若從“超級(jí)體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率． 解　(1)由所給的頻率分布直方圖知， “體育迷”人數(shù)為100×(10×0.020＋10×0.005)＝25， “非體育迷”人數(shù)為75，則據(jù)題意完成2×2列聯(lián)表： 非體育迷 體育迷

14、 合計(jì) 男 30 15 45 女 45 10 55 合計(jì) 75 25 100 將2×2列聯(lián)表的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算： χ2＝＝≈3.030. 因?yàn)?.030>2.706， 所以有90%的把握認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)． (2)由所給的頻率分布直方圖知 “超級(jí)體育迷”人數(shù)為100×(10×0.005)＝5， 記ai(i＝1,2,3)表示男性，bj(j＝1,2)表示女性，所有可能結(jié)果構(gòu)成的基本事件空間為Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a2，b1)，(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共有10個(gè)基本事件組成，且每個(gè)基本事件出現(xiàn)是等可能的．用A表示事件“任選2人，至少1名女性”， 則A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共有7個(gè)基本事件組成，故任選2人，至少1名女性觀眾的概率為P(A)＝.