高考數(shù)學(xué) 浙江專用總復(fù)習(xí)教師用書：第2章 第4講　冪函數(shù)與二次函數(shù) Word版含解析

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1、 第4講　冪函數(shù)與二次函數(shù) 最新考綱　1.了解冪函數(shù)的概念；掌握冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的圖象和性質(zhì)；2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問題. 知 識(shí) 梳 理 1.冪函數(shù) (1)冪函數(shù)的定義 一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù). (2)常見的5種冪函數(shù)的圖象 (3)常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) 特征 性質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定義域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R， 且x≠0} 值域

2、 R [0，＋∞) R [0，＋ ∞) {y|y∈R， 且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 2.二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n). 零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn). (2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 圖象 定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 單調(diào)性 在

3、上單調(diào)遞減； 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增； 在上單調(diào)遞減 對(duì)稱性 函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－對(duì)稱 診 斷 自 測(cè) 1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)函數(shù)y＝2x是冪函數(shù).(　　) (2)當(dāng)n>0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn在(0，＋∞)上是增函數(shù).(　　) (3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函數(shù).(　　) (4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)　 解析　(1)由于冪函數(shù)的解析式為f(x)＝xα，故y＝2x不是冪函數(shù)，(1)錯(cuò). (3)由于當(dāng)b＝0時(shí)，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c為偶函數(shù)，故(3)錯(cuò). (4)對(duì)

4、稱軸x＝－，當(dāng)－小于a或大于b時(shí)，最值不是，故(4)錯(cuò). 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.(20xx·全國Ⅲ卷)已知a＝2，b＝3，c＝25，則(　　) A.ba>b. 答案　A 3.已知f(x)＝x2＋px＋q滿足f(1)＝f(2)＝0，則f(－1)的值是(　　) A.5 B.－5 C.6 D.－6 解析　由f(1)＝f(2)＝0知方程x2＋px＋q＝0的兩根分別為1，2，則p＝－3，q＝2，∴f(

5、x)＝x2－3x＋2，∴f(－1)＝6. 答案　C 4.(20xx·杭州測(cè)試)若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，則f(1)＝________，若滿足f(4)＝8f(2)，則f＝________. 解析　由題意可設(shè)f(x)＝xα，則f(1)＝1，由f(4)＝8f(2)得4α＝8×2α，解得α＝3，所以f(x)＝x3，故f＝＝. 答案　1　 5.若冪函數(shù)y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為________. 解析　由解得m＝1或2. 經(jīng)檢驗(yàn)m＝1或2都適合. 答案　1或2 6.若函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，3]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取

6、值范圍是________. 解析　二次函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸是x＝1－a，由題意知1－a≥3，∴a≤－2. 答案　(－∞，－2] 考點(diǎn)一　冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【例1】 (1)(20xx·濟(jì)南診斷測(cè)試)已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點(diǎn)，則k＋α等于(　　) A. B.1 C. D.2 (2)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A. B. C.(－1，2) D. 解析　(1)由冪函數(shù)的定義知k＝1.又f＝， 所以＝，解得α＝，從而k＋α＝. (2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝x的定義域?yàn)閇0，＋∞)， 且在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

7、所以不等式等價(jià)于 解得 即≤m<2. 答案　(1)C　(2)D 規(guī)律方法　(1)可以借助冪函數(shù)的圖象理解函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性； (2)α的正負(fù)：當(dāng)α>0時(shí)，圖象過原點(diǎn)和(1，1)，在第一象限的圖象上升；當(dāng)α<0時(shí)，圖象不過原點(diǎn)，過(1，1)，在第一象限的圖象下降. (3)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 【訓(xùn)練1】 (1)冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(4，2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖象是(　　) (2)已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且

8、在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為(　　) A.－3 B.1 C.2 D.1或2 解析　(1)設(shè)f(x)＝xα(α∈R)，則4α＝2， ∴α＝，因此f(x)＝x，根據(jù)圖象的特征，C正確. (2)∵冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上是減函數(shù)， ∴∴n＝1， 又n＝1時(shí)，f(x)＝x－2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故n＝1. 答案　(1)C　(2)B 考點(diǎn)二　二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【例2】 (20xx·湖州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]. (1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求f(x)的最值； (2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f(

9、x)在區(qū)間[－4，6]上是單調(diào)函數(shù)； (3)當(dāng)a＝－1時(shí)，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間. 解　(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]， ∴f(x)在[－4，2]上單調(diào)遞減，在[2，6]上單調(diào)遞增， ∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15， 故f(x)的最大值是35. (2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對(duì)稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4， 故a的取值范圍是(－∞，－6]∪[4，＋∞). (3)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(|x|)＝x2－2|x

10、|＋3＝ 其圖象如圖所示， 又∵x∈[－4，6]，∴f(|x|)在區(qū)間[－4，－1)和[0，1)上為減函數(shù)，在區(qū)間[－1，0)和[1，6]上為增函數(shù). 規(guī)律方法　解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時(shí)要注意： (1)拋物線的開口、對(duì)稱軸位置、定義區(qū)間三者相互制約，常見的題型中這三者有兩定一不定，要注意分類討論； (2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)，事半功倍. 【訓(xùn)練2】 (1)設(shè)abc>0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　) (2)(20xx·武漢模擬)若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx

11、＋2a)(常數(shù)a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?－∞，4]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝________. 解析　(1)由A，C，D知，f(0)＝c<0， 從而由abc>0，所以ab<0，所以對(duì)稱軸x＝－>0，知A，C錯(cuò)誤，D滿足要求；由B知f(0)＝c>0， 所以ab>0，所以x＝－<0，B錯(cuò)誤. (2)由f(x)是偶函數(shù)知f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱， ∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2， 又f(x)的值域?yàn)?－∞，4]， ∴2a2＝4， 故f(x)＝－2x2＋4. 答案　(1)D　(2)－2x2＋4 考點(diǎn)三　二次函數(shù)的應(yīng)用(多維探究) 命題角度一　二次函數(shù)的恒成立

12、問題 【例3－1】 已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R. (1)若函數(shù)f(x)的最小值為f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)間； (2)在(1)的條件下，f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，試求k的取值范圍. 解　(1)由題意知 解得 所以f(x)＝x2＋2x＋1， 由f(x)＝(x＋1)2知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1]. (2)由題意知，x2＋2x＋1>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，即k

13、， 由g(x)＝＋知g(x)在區(qū)間[－3，－1]上是減函數(shù)，則g(x)min＝g(－1)＝1，所以k<1， 故k的取值范圍是(－∞，1). 規(guī)律方法　(1)對(duì)于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，若是二次函數(shù)，就隱含著a≠0，當(dāng)題目未說明是二次函數(shù)時(shí)，就要分a＝0和a≠0兩種情況討論. (2)由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，其依據(jù)是a≥f(x)?a≥f(x)max，a≤f(x)?a≤f(x)min. 【訓(xùn)練3】 (20xx·九江模擬)已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果對(duì)x∈[－3，1]，f(x)＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.

14、 解析　因?yàn)閒(x)＝x2＋2(a－2)x＋4， 對(duì)稱軸x＝－(a－2)， 對(duì)x∈[－3，1]，f(x)＞0恒成立， 所以討論對(duì)稱軸與區(qū)間[－3，1]的位置關(guān)系得： 或或 解得a∈?或1≤a＜4或－＜a＜1， 所以a的取值范圍為. 答案　 命題角度二　二次函數(shù)的零點(diǎn)問題 【例3－2】 (20xx·全國Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝f(2－x)，若函數(shù)y＝|x2－2x－3|與y＝f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則xi＝(　　) A.0 B.m C.2m D.4m 解析　由f(x)＝f(2－x)知函數(shù)f(x)

15、的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱.又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的圖象也關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以這兩函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于直線x＝1對(duì)稱. 不妨設(shè)x1

16、0xx·麗水一模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－2x，如果函數(shù)g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是________. 解析　函數(shù)g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4個(gè)零點(diǎn)可化為函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝m恰有4個(gè)交點(diǎn)，作函數(shù)y＝f(x)與y＝m的圖象如圖所示， 故m的取值范圍是(－1，0). 答案　(－1，0) [思想方法] 1.冪函數(shù)y＝xα(α∈R)圖象的特征 α>0時(shí)，圖象過原點(diǎn)和(1，1)點(diǎn)，在第一象限的部分“上升”；α<0時(shí)，圖象不過原點(diǎn)，經(jīng)過(1，1)點(diǎn)在第一象限的部分“下降”，反之也成立.

17、 2.求二次函數(shù)的解析式就是確定函數(shù)式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值.應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件選用適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)形式，用待定系數(shù)法確定相應(yīng)字母的值. 3.二次函數(shù)與一元二次不等式密切相關(guān)，借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可直觀地解決與不等式有關(guān)的問題. 4.二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱軸緊密相連，二次函數(shù)的最值問題要根據(jù)其圖象以及所給區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系確定. [易錯(cuò)防范] 1.冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn). 2.對(duì)于函數(shù)y＝

18、ax2＋bx＋c，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0，當(dāng)題目條件中未說明a≠0時(shí)，就要討論a＝0和a≠0兩種情況. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1.(20xx·鄭州外國語學(xué)校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，則使函數(shù)y＝xα的值域?yàn)镽，且為奇函數(shù)的所有α的值為(　　) A.1，3 B.－1，1 C.－1，3 D.－1，1，3 解析　因?yàn)楹瘮?shù)y＝xα為奇函數(shù)，故α的可能值為－1，1，3.又y＝x－1的值域?yàn)閧y|y≠0}，函數(shù)y＝x，y＝x3的值域都為R.所以符合要求的α的值為1，3. 答案　A 2.已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝a

19、x2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，則(　　) A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0 C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0 解析　因?yàn)閒(0)＝f(4)>f(1)，所以函數(shù)圖象應(yīng)開口向上，即a>0，且其對(duì)稱軸為x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0. 答案　A 3.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y＝xa(a≠0)和y＝ax＋的圖象可能是(　　) 解析　若a<0，由y＝xa的圖象知排除C，D選項(xiàng)，由y＝ax＋的圖象知應(yīng)選B；若a>0，y＝xa的圖象知排除A，B選項(xiàng)，但y＝ax＋的圖象均不適合，綜上選B. 答案　B 4.若函數(shù)f(x)＝x2

20、－ax－a在區(qū)間[0，2]上的最大值為1，則實(shí)數(shù)a等于(　　) A.－1 B.1 C.2 D.－2 解析　∵函數(shù)f(x)＝x2－ax－a的圖象為開口向上的拋物線， ∴函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得， ∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a， ∴或解得a＝1. 答案　B 5.若關(guān)于x的不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6) 解析　不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解等價(jià)于a<(x2－4x－2)max， 令f(x)＝x2－4

21、x－2，x∈(1，4)， 所以f(x)>，得>>，即P>R>Q. 答案　P>R>Q 7.若f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝在區(qū)間[1，2]上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是________. 解析　由f(x)＝－x2＋2ax在[1，2]上是減函數(shù)可得[1，2]?[a，＋∞)，∴a≤1. ∵y＝在(－1，＋∞)上為減函數(shù)， ∴由g(x)＝在[1，2]上是減函數(shù)可得a>0， 故0

22、案　(0，1] 8.(20xx·湖州調(diào)研)已知f(x＋1)＝x2－5x＋4. (1)f(x)的解析式為________； (2)當(dāng)x∈[0，5]時(shí)，f(x)的最大值和最小值分別是________. 解析　(1)f(x＋1)＝x2－5x＋4，令x＋1＝t，則x＝t－1， ∴f(t)＝(t－1)2－5(t－1)＋4＝t2－7t＋10，∴f(x)＝x2－7x＋10. (2)∵f(x)＝x2－7x＋10，其圖象開口向上，對(duì)稱軸x＝， ∵x∈[0，5]，∴f＝－，又f(0)＝10， f(5)＝0.∴f(x)的最大值為10，最小值為－. 答案　(1)x2－7x＋10　(2)10，－ 三

23、、解答題 9.已知冪函數(shù)f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)>f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，)， ∴＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1. ∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2. 又∵m∈N*，∴m＝1.∴f(x)＝x， 則函數(shù)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，并且在定義域上為增函數(shù). 由f(2－a)>f(a－1)得 解得1≤a<.∴a的取值范圍為. 10.已知函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)當(dāng)a＝2，x∈[－2，3]時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域； (2)若

24、函數(shù)f(x)在[－1，3]上的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值. 解　(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 對(duì)稱軸x＝－∈[－2，3]， ∴f(x)min＝f＝－－3＝－， f(x)max＝f(3)＝15，∴值域?yàn)? (2)對(duì)稱軸為x＝－. ①當(dāng)－≤1，即a≥－時(shí)， f(x)max＝f(3)＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－滿足題意； ②當(dāng)－>1，即a<－時(shí)， f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1滿足題意. 綜上可知，a＝－或－1. 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 11.(20xx·浙江卷)已知函數(shù)f(

25、x)＝x2＋bx，則“b<0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析　∵f(x)＝x2＋bx＝－，當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)min＝－. 又f(f(x))＝(f(x))2＋bf(x)＝－，當(dāng)f(x)＝－時(shí)，f(f(x))min＝－，當(dāng)－≥－時(shí)，f(f(x))可以取到最小值－，即b2－2b≥0，解得b≤0或b≥2，故“b<0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的充分不必要條件. 答案　A 12.(20xx·長沙一中期中測(cè)試)函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)

26、·x4m9－m5－1是冪函數(shù)，對(duì)任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，則f(a)＋f(b)的值(　　) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.無法判斷 解析　依題意，冪函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)， ∴ 解得m＝2，則f(x)＝x2 015. ∴函數(shù)f(x)＝x2 015在R上是奇函數(shù)，且為增函數(shù). 由a＋b>0，得a>－b， ∴f(a)>f(－b)，則f(a)＋f(b)>0. 答案　A 13.已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______. 解析　作出

27、函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖.則當(dāng)00，b∈R，c∈R). (1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1， F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值； (2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立，試求b的取值范圍. 解　(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1， 解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2. ∴F(x)＝ ∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由a＝1，c＝0，得f(x)

28、＝x2＋bx， 從而|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立等價(jià)于－1≤x2＋bx≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立， 即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立. 又－x的最小值為0，－－x的最大值為－2. ∴－2≤b≤0. 故b的取值范圍是[－2，0]. 15.(20xx·嘉興模擬)已知m∈R，函數(shù)f(x)＝－x2＋(3－2m)x＋2＋m. (1)若0

29、1≤<， 故函數(shù)f(x)在[－1，1]上為增函數(shù)， 則當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，f(1)＝4－m； 當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值f(－1)＝3m－2. 又∵0|f(－1)|， 即|f(x)|在[－1，1]上的最大值g(m)＝f(1)＝4－m. (2)由(1)知函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝，且函數(shù)開口向下， 由0，即