數(shù)學(xué)物理方程谷超豪

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1、數(shù)學(xué)物理方程谷超豪 數(shù)學(xué)物理方程谷超豪篇一：數(shù)學(xué)物理方程第二版答案(平時(shí)課后習(xí)題作業(yè)) 數(shù)學(xué)物理方程第二版答案 第一章． 波動(dòng)方程 1 方程的導(dǎo)出。定解條件 4. 絕對柔軟逐條而均勻的弦線有一端固定，在它本身重力作用下，此線處于鉛垂平衡位置，試導(dǎo)出此線的微小橫振動(dòng)方程。 解：如圖2，設(shè)弦長為l，弦的線密度為?，則x點(diǎn)處的張力T(x)為 T(x)??g(l?x) 且T(x)的方向總是沿著弦在x點(diǎn)處的切線方向。仍以u(x,t)表示弦上各點(diǎn)在時(shí)刻t沿垂直于x軸方向的位移，取弦段(x,x??x),則弦段兩端張力在u軸方向的投影

2、分別為 ?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x) 其中?(x)表示T(x)方向與x軸的夾角 又sin??tg??于是得運(yùn)動(dòng)方程 ?u ?x. ?u?2u?u ??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?g ?xx?x?t 利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得 ?2u??u ?g[(l?x)]。 ?x?x?t2 5. 驗(yàn)證u(x,y,t)? 1t2?x2?y2 在錐t?x?y0中都滿足波動(dòng)方程 222 ?2u?2u?2u1222 證：函數(shù)在錐0內(nèi)對變量t?x?y??u(x,

3、y,t)?222222?t?x?y?x?y x,y,t有 二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。且 2 3 2 ?u ??(t2?x2?y2)?t ? ? ?t 35 ??u ??(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t22 ?t ?(t 2 ?x2?y2) ? 32 ?(2t2?x2?y2) ?u ?(t2?x2?y2)?x ? 32 ?x ?2u?x 2 ?t?x ? 22 352?2222?22?y?3t?x?yx ??? ???52??u 同理 ??t2?x2?

4、y2?2?t2?x2?2y2? 2 ?y 所以 即得所證。 2 達(dá)朗貝爾公式、 波的傳抪 3.利用傳播波法，求解波動(dòng)方程的特征問題（又稱古爾沙問題） 2 ??2u2?u?2?a2t?x? ?ux?at?0??(x) ??(0)??(0)? ?u??(x).?x?at?0? 5? ?t2?x2?y22t2?2x2?y2 ? ?2u?x 2 ? ?2u?y 2 ?t?x? ? 22 5?y22 ??2t 2 ?x?y 22 ???t2. ?2u 解：u(x,t)=F(x-at)+G

5、(x+at) 令 x-at=0 得 ?(x)=F（0）+G（2x） 令 x+at=0 得 ?(x)=F（2x）+G(0) 所以 F(x)=?()-G(0). G（x）=?()-F(0). 且 F（0）+G(0)=?(0)??(0). 所以 u(x,t)=?( x2 x2 x?atx?at )+?()-?(0). 22 即為古爾沙問題的解。 8．求解波動(dòng)方程的初值問題 ??2u?2u???t2??x2?tsinx ? ?u?u?0,|t?0?sinxt?0??t? x?t tx?(t??) 解：由非齊次方程初值問題解的公式得 11

6、 sin?d???sin?d?d? u(x,t)????2x?t20x?(t??) 11 =?[cos(x?t)?cos(x?t)]???[cos(x?(t??))?cos(x?(t??))]d? 220 t t =sinxsint?sinx?sin(t??)d? ? =sinxsint?sinx[?cos(t??)?sin(t??)]t0 =tsinx 即 u(x,t)?tsinx 為所求的解。 3混合問題的分離變量法 1. 用分離變量法求下列問題的解： (1) 2 ??2u2?u?2?a2?t?x? 3?x?u? u?si

7、n,?t?0 l?t? ?u(0,t)?u(l,t)?0?? t?o ?x(1?x)(0?x?l) 解：邊界條件齊次的且是第一類的，令 u(x,t)?X(x)T(t) 得固有函數(shù)Xn(x)?sin n? x，且 l an?an? Tn(t)?Ancost?Bnsint，(n?1,2?) ll 于是 u(x,t)? ?(Ancos n?1 ? an?an?n? t?Bnsint)sinx lll 今由始值確定常數(shù)An及Bn，由始值得 3?x?n? sin??Ansinx lln?1 x(l?x)?? a

8、n?n? Bnsinx lln?1 ? 所以 A3?1,An?0,當(dāng)n?3 2n? Bn?x(l?x)sinxdx ?an?0l 2 ?an? ??ln?l2n??xcosx?sin?l??lln2?2??n? ??l2n?x??xcosx ??l??n? l 2l2xn?2l3n? ?22sinx?33cosx lln?n? 因此所求解為 ?? l 4l3 ?44(1?(?1)n) an? 3a?3?4l3 u(x,t)?cotsix? lla?4 2??2u2?u?0?2?a2?t?x?? (2

9、) ?u(0,t)?0 ? ?u(x,0)?hx,?l? 1?(?1)nan?n? sitsix ?4 llnn?1 ? ?u (l,t)?0 ?t?u (x,0)?0?t 解：邊界條件齊次的，令 u(x,t)?X(x)T(t) 得：? ?X????X?0 (1) X?(l)?0?X(0)?0, 2 及T???a?X?0(2)。 求問題(1)的非平凡解，分以下三種情形討論。 1? ??0時(shí)，方程的通解為 X(x)?C1e ??x ?C2e? ??x 由X(0)?0得c1?c2?0 由X?(l)?0得C

10、1??e ??l ?C2??e? ??l ?0 解以上方程組，得C1?0，C2?0，故??0時(shí)得不到非零解。 2? ??0時(shí)，方程的通解為X(x)?c1?c2x 由邊值X(0)?0得c1?0，再由X?(l)?0得c2?0，仍得不到非零解。 3???0時(shí)，方程的通解為 X(x)?c1cos x?c2sinx 由X(0)?0得c1?0，再由X?(l)?0得 c2 ?cos?l?0 l?0，于是 2 為了使c2?0，必須 cos ?2n?1? ???n???? (n?0,1,2?) ?2l? 且相應(yīng)地得到Xn(x)?sin

11、 2n?1 ?x (n?0,1,2?) 2l 2n?12n?1 a?t?Bnsina?t(n?0,1,2?) 2l2l 將?代入方程(2)，解得 Tn(t)?Ancos ? 于是 u(x,t)?再由始值得 n?0 ?(Ancos 2n?12n?12n?1 a?t?Bnsina?t)sin?x 2l2l2l ? 2n?1?h x?Asin?x?n??l2ln?0 ?? 2n?12n?1?0??a?Bnsin?x ?2l2ln?0? 容易驗(yàn)證?sin l ??2n?1? ?x?(n?0,1,2?)構(gòu)成區(qū)間[0,

12、l]上的正交函數(shù)系： 2l? ?2m?12n?1?0當(dāng)m?n sin?xsin?xdx??l?當(dāng)m?n2l2l?0?2 數(shù)學(xué)物理方程谷超豪篇二：數(shù)學(xué)物理方程第一章部分答案 第一章． 波動(dòng)方程 1 方程的導(dǎo)出。定解條件 1．細(xì)桿（或彈簧）受某種外界原因而產(chǎn)生縱向振動(dòng)，以u(x,t)表示靜止時(shí)在x點(diǎn)處的點(diǎn)在時(shí)刻t離開原來位置的偏移，假設(shè)振動(dòng)過程發(fā)生的張力服從虎克定律，試證明u(x,t)滿足方程 ???u????u? ???x????E? ?t??t??x??x? 其中?為桿的密度，E為楊氏模量。 證：在桿上任取一段，其中兩端于靜止時(shí)的坐標(biāo)分別為 x與x

13、??x。現(xiàn)在計(jì)算這段桿 在時(shí)刻t的相對伸長。在時(shí)刻t這段桿兩端的坐標(biāo)分別為： x?u(x,t);x??x?u(x??x,t) 其相對伸長等于令 [x??x?u(x??x,t)]?[x?u(x,t)]??x ?ux(x???x,t) ?x ?x?0，取極限得在點(diǎn)x的相對伸長為ux(x,t)。由虎克定律，張力T(x,t)等于 T(x,t)?E(x)ux(x,t) 其中E(x)是在點(diǎn)x的楊氏模量。 設(shè)桿的橫截面面積為S(x),則作用在桿段(x,x??x)兩端的力分別為 E(x)S(x)ux(x,t);E(x??x)S(x??x)ux(x??x,t).

14、于是得運(yùn)動(dòng)方程 ?(x)s(x)??x?utt(x,t)?ESux(x??x)|x??x?ESux(x)|x ? (ESux) ?x 利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得 ?(x)s(x)utt? 若s(x)?常量，則得 ?u?2u? ?(x)2=(E(x)) ?x?x?t 即得所證。 2．在桿縱向振動(dòng)時(shí)，假設(shè)(1)端點(diǎn)固定，(2)端點(diǎn)自由，(3)端點(diǎn)固定在彈性支承上，試分別導(dǎo)出這三種情況下所對應(yīng)的邊界條件。 解：(1)桿的兩端被固定在x?0,x?l兩點(diǎn)則相應(yīng)的邊界條件為 u(0,t)?0,u(l,t)?0. (2)若x?l為自由端，

15、則桿在x?l的張力T(l,t)?E(x) 的邊界條件為 ?u |x?l等于零，因此相應(yīng)?x ?u |=0 ?xx?l 同理，若x?0為自由端，則相應(yīng)的邊界條件為 ?u ∣?0 ?xx?0 (3)若x?l端固定在彈性支承上，而彈性支承固定于某點(diǎn)，且該點(diǎn)離開原來位置的 偏移由函數(shù)v(t)給出，則在x?l端支承的伸長為u(l,t)?v(t)。由虎克定律有 E ?u ∣??k[u(l,t)?v(t)] ?xx?l k?u ??u)∣x?l?f(t) 其中?? E?x 其中k為支承的剛度系數(shù)。由此得邊界條件 ( 特別地，若支

16、承固定于一定點(diǎn)上，則v(t)?0,得邊界條件 ( ?u ??u)∣x?l?0。 ?x 同理，若x?0端固定在彈性支承上，則得邊界條件 ?u ∣?k[u(0,t)?v(t)] ?xx?0?u ??u)∣x?0?f(t). 即 (?x E ?x2?ux2?2u[(1?)]??(1?)3. 試證：圓錐形樞軸的縱振動(dòng)方程為 E 2?xh?xh?t 其中h為圓錐的高(如圖1) 證：如圖，不妨設(shè)樞軸底面的半徑為1，則x 點(diǎn)處截面的半徑l為： l?1? 所以截面積s(x)??(1? x h x2 )。利用第1題，得 h x2?2u?x2?

17、u ?(x)?(1?)?[E?(1?)] h?t2?xh?x 若E(x)?E為常量，則得 ?x2?ux2?2u E[(1?)]??(1?) ?xh?xh?t2 4. 絕對柔軟逐條而均勻的弦線有一端固定，在它本身重力作用下，此線處于鉛垂平衡 位置，試導(dǎo)出此線的微小橫振動(dòng)方程。 解：如圖2，設(shè)弦長為l，弦的線密度為?，則x點(diǎn)處的張力T(x)為 T(x)??g(l?x) 且T(x)的方向總是沿著弦在x點(diǎn)處的切線方向。仍以u(x,t)表示弦上各點(diǎn)在時(shí)刻t沿垂直于x軸方向的位移，取弦段(x,x??x),則弦段兩端張力在u軸方向的投影分別為 ?g(l?x)sin?

18、(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x) 其中?(x)表示T(x)方向與x軸的夾角 又sin??tg??于是得運(yùn)動(dòng)方程 ?u ?x. ?u?2u?u ??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?g ?xx?x?t 利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得 ?2u??u ?g[(l?x)]。 2 ?x?x?t 7. 驗(yàn)證u(x,y,t)? 1t2?x2?y2 在錐t?x?y0中都滿足波動(dòng)方程 222 ?2u?2u?2u ?? ?t2?x2?y2 證：函數(shù)u(x,y,t)? 1t2?x2?y2

19、 在錐t?x?y0內(nèi)對變量x,y,t有 3 222 ??u2222 ??(t?x?y)?t 二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。且?t ?2u?t2 35 ? ??(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t2 ?32 ?(t 2 ?x2?y2) ? ?(2t2?x2?y2) ?u ?(t2?x2?y2)?x ? 32 ?x 35???u ?t2?x2?y22?3t2?x2?y22x2 22 ?x ???? ???5??2u 同理 ??t2?x2?y2?2?t2?x2?2y2? 2 ?y 所以

20、 即得所證。 2 達(dá)朗貝爾公式、 波的傳抪 1. 證明方程 22 ???x??u?1?x??2u ?h?0常數(shù)? ??1????2?1??2 ?x???h??x??a?h??t 5 ? ?t2?x2?y22t2?2x2?y2 ? ?2u?x 2 ? ?2u?y 2 ?t?x? ? 22 5?y22 ??2t 2 ?x?y 22 ???t2. ?2u 的通解可以寫成 u? F?x?at??G?x?at? h?x ?u ???x?. ?t 其中F,G為任意的單變量

21、可微函數(shù),并由此求解它的初值問題: t?0:u???x?, 解：令?h?x?u?v則 ?v? ?h?x??u?u??v,?h?x?2?u??h?x???u?? ?x ?x ?x ? ?x? ??v?u?2v2?u2?u[(h?x)??(u?)?(h?x)?(h?x)?(h?x)(u?2) ?x?x?x?x?x?x ?2u?2v又 ?h?x?2?2 ?t?t 代入原方程，得 ?2v1?2v?h?x?2?2?h?x?2 ?xa?t ?2v1?2v?即 ?x2a2?t2 由波動(dòng)方程通解表達(dá)式得 v?x,t??F?x?at??

22、G?x?at? 所以 u?為原方程的通解。 由初始條件得 F?x?at??G?x?at? h?x1 ?F?x??G?x??h?x1 ??x???aF/?x??aG/?x? h?x ??x?? (1) ?? 1 ????d??c所以 F?x??G?x??????h? ax0 由(1),(2)兩式解出 x (2) 11c ????F?x???h?x???x????h??d?? ?22ax2 o x 11c??????h??d?? G?x???h?x???x?? ?22ax2 o x 所以 u(x,t)

23、? 1 [(h?x?at)?(x?at)?(h?x?at)?(x?at)] 2(h?x) + x?at1 ( h??)?(?)d?. ?x?at2a(h?x) 即為初值問題的解散。 ２．問初始條件?(x)與?(x)滿足怎樣的條件時(shí)，齊次波動(dòng)方程初值問題的解僅由右傳播波組成？ 解：波動(dòng)方程的通解為 u=F(x-at)+G(x+at) 其中F，G由初始條件?(x)與?(x)決定。初值問題的解僅由右傳播組成，必須且只須對 于任何x, t有G(x+at)?常數(shù). 即對任何x, G(x)?C0 又 G（x）=?(x)? 121xC ?(?

24、)d?? ?x02a2a 數(shù)學(xué)物理方程谷超豪篇三：數(shù)學(xué)物理方程課程教學(xué)大綱 《數(shù)學(xué)物理方程》課程教學(xué)大綱 一．《實(shí)變函數(shù)》課程說明 （一）課程代碼：08130022 （二）課程英語名稱：Mathematics and Physical Equation (三) 開課對象：信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)本科生（四）課程性質(zhì)： 數(shù)學(xué)物理方程指從物理學(xué)及其他各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)所產(chǎn)生的偏微分(有時(shí)也包括積分方程、微分積分方程等)。它們反映了有關(guān)的未知變量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和與空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等方面的基本方程都屬于數(shù)學(xué)物理方程的范圍。 （五）教學(xué)

25、目的： 通過本課程的教學(xué)使學(xué)生獲得有關(guān)偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三個(gè)典型方程定解問題的解法，為后繼課程進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識面提供了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。（六）教學(xué)內(nèi)容： 本課程主要包括波動(dòng)方程、傳導(dǎo)方程、調(diào)和方程、二階線性偏微分方程的分類、一階偏微分方程組等幾個(gè)部分。通過教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)使學(xué)生達(dá)到各章中所提的基本要求。習(xí)題課是重要的教學(xué)環(huán)節(jié)，教師要予以重視。 （七）學(xué)時(shí)數(shù)、學(xué)分?jǐn)?shù)及學(xué)時(shí)數(shù)具體分配 學(xué)時(shí)數(shù)：72學(xué)時(shí) 學(xué)分?jǐn)?shù)：4學(xué)分 (八)教學(xué)方式:以教師講解為主的課堂教學(xué)方式 (九)考核方式和成績記載說明: 考核方式為考試。嚴(yán)格考核學(xué)生出勤情況，達(dá)到學(xué)記管理的曠課量取消考試

26、資格。綜合成績根據(jù)平時(shí)成績和期末成績評定，平時(shí)成績占30％，期末成績占70％。 二．講授大綱與各章的基本要求 第一章波動(dòng)方程 教學(xué)要點(diǎn)： 通過本章的教學(xué)使學(xué)生初步了解數(shù)理方程方法及特點(diǎn)，掌握方程的解法，及所表示的物理意義。 1． 使學(xué)生了解波動(dòng)方程的導(dǎo)出方法。 2． 領(lǐng)會定解條件及意義。 3． 熟練掌握初邊值問題的分離變量法解方程。 4． 能解高維波動(dòng)方程的柯西問題。 5． 明確波的傳播與衰減的意義。 6． 用能量不等式確定方程解的唯一性和穩(wěn)定性。 教學(xué)時(shí)數(shù)：20學(xué)時(shí) 教學(xué)內(nèi)容： 第一節(jié) 方程的導(dǎo)出、定解條件 第二節(jié) 達(dá)朗貝爾公式、波的傳播 第三節(jié) 初邊值問題的分離

27、變量法 第四節(jié) 高維波動(dòng)方程的柯西問題 第五節(jié) 波的傳導(dǎo)與衰減 第六節(jié) 能量不等式、波動(dòng)方程解的唯一性和穩(wěn)定性 考核要求： 第一節(jié) 方程的導(dǎo)出、定解條件（領(lǐng)會與應(yīng)用） 第二節(jié) 達(dá)朗貝爾公式、波的傳播 （領(lǐng)會） 第三節(jié) 初邊值問題的分離變量法 （領(lǐng)會與應(yīng)用） 第四節(jié) 高維波動(dòng)方程的柯西問題 （領(lǐng)會與應(yīng)用） 第五節(jié) 波的傳導(dǎo)與衰減 （領(lǐng)會） 第六節(jié) 能量不等式、波動(dòng)方程解的唯一性和穩(wěn)定性 （領(lǐng)會與應(yīng)用） 第二章熱傳導(dǎo)方程 教學(xué)要點(diǎn)： 通過本章的教學(xué)使學(xué)生初步了解通過物理原理建立熱傳導(dǎo)方程，能用分離變量法解初邊值問題，用傅立葉變換對柯西問題求解，用極值原理確定定

28、解問題解的唯一性和穩(wěn)定性。 教學(xué)時(shí)數(shù)：15學(xué)時(shí) 教學(xué)內(nèi)容： 第一節(jié) 熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出 第二節(jié) 初邊值問題的分離變量法 第三節(jié) 柯西問題 第四節(jié) 極值原理、定解問題解的唯一性和穩(wěn)定性考核要求： 第一節(jié) 熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的導(dǎo)出 （領(lǐng)會） 第二節(jié) 初邊值問題的分離變量法 （領(lǐng)會與應(yīng)用） 第三節(jié) 柯西問題 （領(lǐng)會與應(yīng)用） 第四節(jié) 極值原理、定解問題解的唯一性和穩(wěn)定性 （領(lǐng)會與應(yīng)用） 第三章調(diào)和方程 教學(xué)要點(diǎn)： 通過本章的教學(xué)使學(xué)生能夠建立調(diào)和方程，明確定解條件，熟練掌握格林公式及其應(yīng)用，了解格林函數(shù)，及用強(qiáng)極值原理判定第二邊值問題解的唯一性。

29、教學(xué)時(shí)數(shù)：15學(xué)時(shí) 教學(xué)內(nèi)容： 第一節(jié) 建立方程、定解條件 第二節(jié) 格林公式及其應(yīng)用 第三節(jié) 格林函數(shù) 第四節(jié) 強(qiáng)極值原理、第二邊值問題解的唯一性 考核要求： 第一節(jié) 建立方程、定解條件 （應(yīng)用） 第二節(jié) 格林公式及其應(yīng)用 （領(lǐng)會與應(yīng)用） 第三節(jié) 格林函數(shù) （領(lǐng)會） 第四節(jié) 強(qiáng)極值原理、第二邊值問題解的唯一性 （領(lǐng)會與應(yīng)用） 第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié) 教學(xué)要點(diǎn): 通過本章的教學(xué)使學(xué)生初步掌握二階線性方程的分類方法，二階線性方程的特征理論，三類方程的特點(diǎn)。 教學(xué)時(shí)數(shù)：12學(xué)時(shí) 教學(xué)內(nèi)容： 第一節(jié) 二階線性方程的分類 第二節(jié) 二階線性方程的特征理

30、論 第三節(jié) 三類方程的比較 考核要求： 第一節(jié) 二階線性方程的分類 （識記與領(lǐng)會） 第二節(jié) 二階線性方程的特征理論 （識記與領(lǐng)會） 第三節(jié) 三類方程的比較 （識記與領(lǐng)會） 第五章 積分論 教學(xué)要點(diǎn): 通過本章的教學(xué)使學(xué)生初步了解一階偏微分方程組的概念及特征理論，明確兩個(gè)自變量的線性雙曲型方程組的柯西問題及定解問題，掌握二級數(shù)解法。 教學(xué)時(shí)數(shù)：10學(xué)時(shí) 教學(xué)內(nèi)容： 第一節(jié) 引言 1.一階偏微分方程組的例子 2.一階方程組與高階方程的關(guān)系， 第二節(jié) 兩個(gè)自變量領(lǐng)子的一階線性偏微分方程的特征理論. 第三節(jié) 兩個(gè)自變量的線性雙曲型方程組的柯西問題 第四節(jié) 兩個(gè)自變量的線

31、性雙曲型方程組的其它定解問題 第五節(jié) 二級數(shù)解法 (應(yīng)用)考核要求： 第一節(jié) 引言 1.一階偏微分方程組的例子 2.一階方程組與高階方程的關(guān)系，(領(lǐng)會) 第二節(jié) 兩個(gè)自變量領(lǐng)子的一階線性偏微分方程的特征理論. (識記與領(lǐng)會) 第三節(jié) 兩個(gè)自變量的線性雙曲型方程組的柯西問題 (識記與領(lǐng)會) 第四節(jié) 兩個(gè)自變量的線性雙曲型方程組的其它定解問題 (識記與領(lǐng)會) 三.推薦教材和參考數(shù)目 1.《數(shù)學(xué)物理方程》，谷超豪等編，第二版，高等教育出版社，2002 2．《數(shù)學(xué)物理方程》，吉洪諾夫等編，黃克顧譯,第二版，高等教育出版社，1961 3．《數(shù)學(xué)物理方法》，南京工學(xué)院數(shù)學(xué)教研組編，高等教育出版社， 1982 4．《高等數(shù)學(xué)》，四川大學(xué)數(shù)學(xué)系編，第四版，人民教育出版社，1979