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1、立體幾何立體幾何知識網絡要點梳理知識網絡要點梳理1.棱柱、棱錐和棱臺的結構特征如何?請?zhí)钕铝锌崭?(1)棱柱:有兩個平面(底面)互相平行;其余各面都是平行四邊形;每相鄰兩個平行四邊形的公共邊互相平行.(2)棱錐:有一個面(底面)是多邊形;其余各面(側面)是有一個公共頂點的三角形.(3)棱臺:上下底面互相平行,且是相似圖形;各側棱延長線相交于一點.知識網絡要點梳理2.圓柱、圓錐、圓臺和球是如何形成的?提示:這四種幾何體都是旋轉體.圓柱、圓錐、圓臺和球可以看成分別以矩形的一邊,直角三角形的一直角邊,直角梯形中垂直于底邊的腰,一個半圓的直徑所在的直線為旋轉軸,將矩形、直角三角形、直角梯形、半圓分別旋
2、轉一周而形成的曲面圍成的幾何體.知識網絡要點梳理3.斜二測畫法中建系原則是什么?作圖要領又如何?提示:(1)建系原則在已知圖中建立直角坐標系,理論上在任何位置建立坐標系都行,但實際作圖時,一般建立特殊的直角坐標系,盡量運用原有直線或圖形的對稱直線為坐標軸,圖形的對稱點為原點或利用原有互相垂直的直線為坐標軸等.(2)作圖要領在已知圖形的xOy平面內與x軸垂直的線段,在直觀圖中均與x軸成45或135角;在直觀圖中,平行于x軸或z軸的線段長度不變;平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话?知識網絡要點梳理4.三視圖所表達的意義如何?畫法規(guī)則又如何?提示:(1)三視圖表達的意義:主、俯視圖都反映物體的長度“
3、長對正”;主、左視圖都反映物體的高度“高平齊”;俯、左視圖都反映物體的寬度“寬相等”.(2)三視圖的畫法規(guī)則:畫三視圖時,能看見的輪廓線和棱用實線表示,不能看見的輪廓線和棱用虛線表示.知識網絡要點梳理5.空間幾何體的表面積和體積公式是什么?請完成下表:(1)表面積注:直棱柱、正棱錐、正棱臺是多面體中特殊的幾何體,它們的側面積公式分別為 其中h為直棱柱的高,h是正棱錐和正棱臺的斜高.知識網絡要點梳理(2)體積 6.在空間中,兩條直線的位置關系有哪些?提示:平行、相交和異面.知識網絡要點梳理7.平面的基本性質和推論是什么?請完成下表:(1)基本性質1知識網絡要點梳理(2)基本性質2 知識網絡要點梳
4、理(3)基本性質3 知識網絡要點梳理(4)推論 知識網絡要點梳理8.直線與平面平行的判定與性質是什么?請完成下表: 知識網絡要點梳理9.平面與平面平行的判定和性質(1)判定定理文字語言:如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.符號語言:a,b,ab=P,a,b.圖形語言:如圖所示.(2)性質定理文字語言:如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行.符號語言:,=a,=bab.圖形語言:如圖所示.作用:證明兩直線平行.知識網絡要點梳理10.直線與平面垂直的判定及性質(1)判定定理:如果一條直線與平面內的兩條相交直線垂直,則這條直線與這個平面垂直.(2)推論
5、1:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于平面,那么另一條直線也垂直于這個平面.(3)推論2:如果兩條直線垂直于同一個平面,那么這兩條直線平行.(4)性質:如果一條直線垂直于一個平面,那么它就和平面內的任意一條直線垂直.知識網絡要點梳理11.面面垂直的判定及性質(1)判定定理:如果一個平面過另一個平面的一條垂線,則這兩個平面互相垂直.(2)性質定理:如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內垂直于它們的交線的直線與另一個平面垂直.知識網絡要點梳理思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“”,錯誤的畫“”.(1)三角形的直觀圖一定是三角形. ()(2)若一幾何體的三視圖中有兩個圓形,則該幾何
6、體一定為球體. ()(3)把邊長為4和2的矩形卷成一個圓柱的側面,則這個圓柱的體積為 . ()(4)經過直線外一點有且只有一條直線和已知直線垂直. ()(5)經過直線外一點有且只有一個平面和已知直線垂直. ()(6)如果兩個平面,滿足,且直線a,b,則直線a與直線b可能不平行. ()知識網絡要點梳理(7)如果兩個平面,滿足,且直線a,=l,則有al成立. ()(8)兩條異面直線的夾角可以是鈍角. ()(9)已知直線a與平面,=l,a,a,a在和內的射影分別為b,c,則b和c的位置關系一定相交. ()(10)如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點,沿AE,AF,EF把正方形折成一
7、個四面體,使B,C,D三點重合,重合后的點記為P,P點在AEF內的射影為O,則O為AEF的重心. ()知識網絡要點梳理答案:(1)(2)(3)(4)(5) (6)(7)(8)(9)(10)專題歸納高考體驗專題一三視圖及其應用【例1】 在一個幾何體的三視圖中,主視圖和俯視圖如圖所示,則相應的左視圖可以為()專題歸納高考體驗解析:由題目所給的幾何體的主視圖和俯視圖,可知該幾何體為半圓錐和三棱錐的組合體,如圖所示,可知左視圖為等腰三角形,且輪廓線為實線,故選D.答案:D專題歸納高考體驗反思感悟三視圖在高考中幾乎每年必考,一般以選擇題、填空題的形式出現.考查方向主要有兩個:一是考查相關的識圖,其中包含
8、由三視圖還原幾何體問題,三視圖與直觀圖中各個數據的內在聯系;二是借助三視圖考查幾何體的體積和面積,這要求考生不僅要學會識圖,還原幾何體,同時還要會用面積和體積公式解決幾何體的度量問題.專題歸納高考體驗變式訓練變式訓練1某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐最長棱的棱長為()專題歸納高考體驗解析:四棱錐的直觀圖如圖所示.由三視圖可知,SB平面ABCD,SD是四棱錐最長的棱,答案:C 專題歸納高考體驗專題二幾何體的表面積與體積的計算【例2】 (1)若所有棱長均為2的正三棱柱內接于一個球,則該球的表面積為.(2)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),其中主視圖與左視圖相同,求該幾何體的體積.專題歸納高
9、考體驗(1)解析:根據對稱性可知球心P在正三棱柱上、下底面中心連線的中點處.如圖,M是AC的中點,O2,O1分別是上、下底面的中心,專題歸納高考體驗(2)解:由三視圖知,該幾何體是由圓柱、圓臺、半球組合而成的,易知圓柱的底面半徑為1,高為2,圓臺的上、下底半徑分別為1,4,高為4,半球的半徑為4.所以V圓柱=122=2(cm3),專題歸納高考體驗反思感悟1.空間幾何體的表面積與體積的計算,通常以幾何體為載體與球進行交匯考查,或蘊含在兩個幾何體的“接”或“切”形態(tài)中,以小題形式出現,屬低中檔題.2.求幾何體的表面積及體積問題,可以多角度、多方位地考慮,熟記公式是關鍵所在.3.由幾何體的三視圖求表
10、面積或體積時,要注意主視圖的高是幾何體的高,但不一定是側面的高.4.根據幾何體的三視圖求其表面積與體積的三步法:(1)根據給出的三視圖確定該幾何體,并畫出直觀圖;(2)由三視圖中的大小標示確定該幾何體的各個度量;(3)套用相應的面積公式與體積公式計算求解.專題歸納高考體驗變式訓練變式訓練2(1)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于()專題歸納高考體驗(2)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為 m3.專題歸納高考體驗解析:(1)由三視圖可知該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱,其表面積為專題歸納高考體驗專題三空間線面位置關系的判斷與證明【例3】如圖所示,在四棱錐P
11、-ABCD中,底面ABCD是正方形,E,F分別為PC,BD的中點,側面PAD底面ABCD,且PA=PD= AD.求證:(1)EF平面PAD;(2)平面PAB平面PCD.專題歸納高考體驗證明:(1)連接AC,則F是AC的中點,E為PC的中點,在CPA中,EFPA.又PA平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD.(2)平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,CDAD,CD平面PAD.CDPA.PAD是等腰直角三角形,且APD=90,即PAPD.又CDPD=D,PA平面PCD.PA平面PAB,平面PAB平面PCD.專題歸納高考體驗反思感悟1.空間線面位置關系的判斷與證明是高考的熱點.
12、考查方式主要有兩種:一是有關線面位置關系的組合判斷,多以選擇題形式出現,與命題真假判斷聯系在一起,常常用符號語言形式表述;二是平行與垂直關系的證明,以解答題的形式出現,主要以多面體為載體進行考查.2.解決空間線面位置關系的判斷問題常用以下方法:(1)根據空間線面垂直、平行關系的判定定理和性質定理逐項判斷來解決問題;(2)必要時可以借助空間幾何模型,如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關系,并結合有關定理來進行判斷.(3)熟練掌握立體幾何的三種語言符號語言、文字語言以及圖形語言的相互轉換,是解決此類問題的關鍵.專題歸納高考體驗3.解決平行、垂直關系的證明問題,關鍵是熟悉相關的判定定理與性質定理
13、,注意二者的交替運用.專題歸納高考體驗變式訓練變式訓練3一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請將字母F,G,H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由);(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系,并證明你的結論;(3)證明:直線DF平面BEG.專題歸納高考體驗(1)解:點F,G,H的位置如圖所示.(2)解:平面BEG平面ACH.證明如下:因為ABCD-EFGH為正方體,所以BCFG,BC=FG,又FGEH,FG=EH,所以BCEH,BC=EH,于是BCHE為平行四邊形.所以BECH.又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBG
14、=B,所以平面BEG平面ACH.專題歸納高考體驗(3)證明:連接FH.因為ABCD-EFGH為正方體,所以DH平面EFGH.因為EG平面EFGH,所以DHEG.又EGFH,EGFH=O,所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD,所以DFEG.同理DFBG.又EGBG=G,所以DF平面BEG.專題歸納高考體驗專題四折疊與展開問題【例4】 如圖所示,在圓錐SO中,底面半徑r=1,母線l=4,M為母線SA上的一個點,且SM=x,從點M拉一根繩子,圍繞圓錐側面轉到點A,求:(1)繩子的最短長度的平方f(x);(2)繩子最短時,頂點到繩子的最短距離;(3)f(x)的最大值.專題歸納高考體驗解:將圓錐的側
15、面沿SA展開在平面上,如圖,則該展開圖為扇形,且弧AA的長度L就是O的周長,所以L=2r=2.(1)由題意知,繩長的最小值為展開圖中線段AM的長度, 所以f(x)=AM2=x2+16(0 x4). 專題歸納高考體驗(2)繩子最短時,在展開圖中作SRAM,垂足為R,則SR的長度為頂點S到繩子的最短距離.(3)因為f(x)=x2+16在0,4上是增加的,所以f(x)的最大值為f(4)=32.專題歸納高考體驗求證:(1)EF平面ADB;(2)平面CDG平面ADG.專題歸納高考體驗證明:(1)E,F分別是BC,CD的中點,即E,F分別是BC,CD的中點,EF為DBC的中位線.EFDB.又EF平面ADB
16、,DB平面ADB,EF平面ADB.(2)在梯形ABCD中,在DGC中,DG2+GC2=DC2,DGGC,即在四棱錐D-ABCG中,GCDG,GCAG.AGDG=G,GC平面ADG.又GC平面CDG,平面CDG平面ADG.專題歸納高考體驗反思感悟1.把一個平面圖形按某種要求折起,轉化為空間圖形,進而研究圖形在位置關系和數量關系上的變化,這就是折疊問題.在解決這類問題時,要求既會由平面圖形想象出空間形體,又會準確地用空間圖形表示出空間物體;既會觀察、分析平面圖形中各點、線、面在折疊前后的相互關系,又會對圖形進行轉化.解決折疊問題,要注意折疊前后的變量與不變量,折疊前后同一半平面內的數量關系與位置關
17、系均不發(fā)生改變.2.常見的幾何體中,除了球的表面無法展開在一個平面內,其余幾何體的表面展開后,均為一個平面圖形,由此產生的表面展開圖將空間問題化歸為平面問題,轉化過程中一般采用“化曲為直”“化折為直”的方法.專題歸納高考體驗變式訓練變式訓練4如圖(1),在邊長為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC上的點,AD=AE,F是BC的中點,AF與DE交于點G.將ABF沿AF折起,得到如圖(2)所示的三棱錐A-BCF,其中BC= .(1)證明:DE平面BCF;(2)證明:CF平面ABF;(3)當AD= 時,求三棱錐F-DEG的體積VF-DEG.專題歸納高考體驗(1)證明:在等邊三角形ABC中,
18、 DEBC.DE平面BCF,BC平面BCF,DE平面BCF.(2)證明:在等邊三角形ABC中,F是BC的中點,BC=1,BC2=BF2+CF2,CFBF.BFAF=F,CF平面ABF.專題歸納高考體驗(3)解:由(1)可知GECF,結合(2)可得GE平面DFG. 專題歸納高考體驗變式訓練變式訓練5如圖所示,在圓錐SO中,母線長為2,底面半徑為 ,一只蟲子從底面圓周上一點A出發(fā)沿圓錐表面爬行一周后又回到A點,則蟲子所爬過的最短路程是多少?解:如圖,將圓錐的側面沿母線SA展開成扇形,由條件易知扇形的圓心角為90,從而最短路程為2 .專題歸納高考體驗考點一:直觀圖與三視圖1.(2016天津高考,文3
19、)將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,則該幾何體的側(左)視圖為()專題歸納高考體驗解析:由題意得該長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐,如下圖所示:易知其左視圖為B項中圖.故選B.答案:B專題歸納高考體驗2.(2015課標全國高考,理6)一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()專題歸納高考體驗解析:由題意知該正方體截去了一個三棱錐,如圖所示,設正方體棱長答案:D 專題歸納高考體驗3.(2014課標全國高考,文8)如圖,網格紙的各小格都是正方形,粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖,則這個幾
20、何體是()A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱專題歸納高考體驗解析:由所給三視圖可知該幾何體是一個三棱柱(如圖).答案:B專題歸納高考體驗4.(2014課標全國高考,理6)如圖,網格紙上正方形小格的邊長為1(表示1 cm),圖中粗線畫出的是某零件的三視圖,該零件由一個底面半徑為3 cm,高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到,則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()專題歸納高考體驗解析:由零件的三視圖可知,該幾何體為兩個圓柱組合而成,如圖所示.切削掉部分的體積V1=326-224-322=20(cm3),原來毛坯體積V2=326=54(cm3).答案:C 專題歸納高考體驗5.(2014課標全
21、國高考,理12)如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長的棱的長度為()專題歸納高考體驗解析:如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4.取B1B的中點G,即三棱錐G-CC1D1為滿足要求的幾何體,其中最長棱為答案:B 專題歸納高考體驗6.(2013課標全國高考,文11)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.16+8B.8+8C.16+16D.8+16專題歸納高考體驗解析:該幾何體為一個半圓柱與一個長方體組成的一個組合體.V半圓柱= 224=8,V長方體=422=16.所以所求體積為16+8.故選A.答案:A專題歸納高
22、考體驗7.(2016北京高考,文11)某四棱柱的三視圖如圖所示,則該四棱柱的體積為.解析:由三視圖可知,四棱柱高h為1,底面為等腰梯形,且底面面積 專題歸納高考體驗考點二:幾何體的表面積、體積8.(2016山東高考,文5)一個由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如下圖所示,則該幾何體的體積為()專題歸納高考體驗解析:由三視圖可知,四棱錐為底面邊長為1的正方形,高為1. 設球的半徑為R,因為四棱錐的底面是半球底面的內接正方形, 答案:C 專題歸納高考體驗9.(2016課標全國甲高考,理6)下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A.20B.24 C.28D.32 專題
23、歸納高考體驗解析:由題意可知,該幾何體由同底面的一個圓柱和一個圓錐構成,圓柱的側面積為S1=224=16,圓錐的側面積為該幾何體的表面積為S=S1+S2+S3=28,故選C.答案:C專題歸納高考體驗10.(2016課標全國甲高考,文4)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為()解析:設正方體的棱長為a,由a3=8,得a=2.由題意可知,正方體的體對角線為球的直徑,答案:A 專題歸納高考體驗11.(2015課標全國高考,理9)已知A,B是球O的球面上兩點,AOB=90,C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36B.64 C.144D.2
24、56解析:由AOB面積確定,若三棱錐O-ABC的底面OAB的高最大,則得R=6,故S球=4R2=144.答案:C專題歸納高考體驗考點三:平行關系與垂直關系12.(2016課標全國甲高考,文19)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,點E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF的位置.(1)證明:ACHD;專題歸納高考體驗解:(1)由已知得ACBD,AD=CD. 故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以,OD平面ABC.專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗13.(2016
25、課標全國乙高考,文18)如圖,已知正三棱錐P-ABC的側面是直角三角形,PA=6.頂點P在平面ABC內的正投影為點D,D在平面PAB內的正投影為點E,連接PE并延長交AB于點G.(1)證明:G是AB的中點;(2)在圖中作出點E在平面PAC內的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.專題歸納高考體驗解:(1)因為P在平面ABC內的正投影為D,所以ABPD.因為D在平面PAB內的正投影為E,所以ABDE.所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,從而G是AB的中點.(2)在平面PAB內,過點E作PB的平行線交PA于點F,F即為E在平面PAC內的正投影.理由如下:由已知
26、可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC.因此EF平面PAC,即點F為E在平面PAC內的正投影.連接CG,專題歸納高考體驗因為P在平面ABC內的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB的中點,所以D在CG上,由題設可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,專題歸納高考體驗14.(2015課標全國高考,文19)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點E,F的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);(
27、2)求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值.專題歸納高考體驗解:(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:(2)作EMAB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因為EHGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.專題歸納高考體驗15.(2015課標全國高考,文18)如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,BE平面ABCD.(1)證明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱錐E-ACD的體積為 ,求該三棱錐的側面積.專題歸納高考體驗解:(1)因為四邊形ABCD為菱形,所以ACBD.因為BE平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面A
28、EC,所以平面AEC平面BED.(2)設AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,專題歸納高考體驗故x=2. 專題歸納高考體驗16.(2014課標全國高考,文19)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側面BB1C1C為菱形,B1C的中點為O,且AO平面BB1C1C.(1)證明:B1CAB;(2)若ACAB1,CBB1=60,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.專題歸納高考體驗解:(1)連接BC1,則O為B1C與BC1的交點.因為側面BB1C1C為菱形,所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C,所以B1CAO,故B1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B1CAB.(2)作ODBC,垂
29、足為D,連接AD.作OHAD,垂足為H.由于BCAO,BCOD,故BC平面AOD,所以OHBC.又OHAD,所以OH平面ABC.因為CBB1=60,所以CBB1為等邊三角形,專題歸納高考體驗專題歸納高考體驗17.(2014課標全國高考,文18)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,E為PD的中點.(1)證明:PB平面AEC;專題歸納高考體驗解:(1)設BD與AC的交點為O,連接EO.因為ABCD為矩形,所以O為BD的中點.又E為PD的中點,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.作AHPB交PB于H,由題設知BC平面PAB,所以BCAH.故
30、AH平面PBC.專題歸納高考體驗18.(2013課標全國高考,文19)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60.(1)證明:ABA1C;(2)若AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.專題歸納高考體驗(1)證明:取AB的中點O,連接OC,OA1,A1B.因為CA=CB,所以OCAB.由于AB=AA1,BAA1=60,故AA1B為等邊三角形,所以OA1AB.因為OCOA1=O,所以 AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.專題歸納高考體驗(2)解:由題設知ABC與AA1B都是邊長為2的等邊三角形,所以因為OCAB=O,所以OA1平面ABC,OA1為三棱柱ABC-A1B1C1的高.又ABC的面積SABC= ,故三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=SABCOA1=3.
高中數學 第一章 立體幾何課件 新人教B版必修2
