山東省濱州市中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第5章 四邊形 第18講 特殊的平行四邊形課件

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1、 第五章四邊形第五章四邊形 第第18講特殊的平行四邊形講特殊的平行四邊形考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理過關(guān)過關(guān)考點(diǎn)考點(diǎn)1 1 矩形矩形 6 6年年2 2考考考點(diǎn)考點(diǎn)2 2 菱形菱形 6 6年年5 5考考考點(diǎn)考點(diǎn)3 3 正方形正方形拓展拓展 (1)正方形的對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；(2)邊長(zhǎng)為a的正方形的內(nèi)切圓半徑為 ，外接圓半徑為2a2a考點(diǎn)考點(diǎn)4 4 中點(diǎn)四邊形中點(diǎn)四邊形 6 6年年1 1考考(1)任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形(2)矩形(對(duì)角線相等的四邊形)的中點(diǎn)四邊形是菱形(3)菱形(對(duì)角線垂直的四邊形)的中點(diǎn)四邊形是矩形(4)正方形(對(duì)角線垂直且相等的四邊形)的中點(diǎn)四邊形是正方

2、形提示提示 中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形的邊沒有關(guān)系，只與對(duì)角線是否相等垂直有關(guān)典型例題典型例題運(yùn)用運(yùn)用類型類型1 1 矩形的判定矩形的判定【例1】 如圖，矩形ABCD中，AB2，BC5，E，P分別在AD，BC上，且DEBP1.(1)判斷BEC的形狀，并說明理由？(2)判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形？并證明你的判斷(3)求四邊形EFPH的面積思路分析：(1)根據(jù)矩形性質(zhì)得出CD2，由勾股定理求出CE和BE，求出CE2BE2的值，求出BC2，根據(jù)勾股定理的逆定理即可求出；(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定，推出四邊形DEBP和AECP是平行四邊形，推出EHFP，EFHP，推出四邊形EFPH

3、是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定即可推出；(3)根據(jù)三角形的面積公式求出CF，求出EF，根據(jù)勾股定理求出PF，根據(jù)矩形面積公式求出即可自主解答：(1)BEC是直角三角形理由如下：四邊形ABCD是矩形，ADCABP90，ADBC5，CDAB2.由勾股定理，得CE同理，BE2 ，CE2BE252025.BC25225，CE2BE2BC2.BEC90.BEC是直角三角形5(2)四邊形EFPH為矩形證明如下：四邊形ABCD是矩形，ADBC，ADBC.DEBP，四邊形DEBP是平行四邊形BEDP.AECP.四邊形AECP是平行四邊形APCE.四邊形EFPH是平行四邊形BEC90，平行四邊形EFPH是矩形(3

4、)在RtPCD中，CFPD，由三角形的面積公式，得PDCFPCCD，技法點(diǎn)撥技法點(diǎn)撥 (1)判定一個(gè)平行四邊形是矩形時(shí)，只需增加一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等即可；(2)判定一個(gè)任意四邊形是矩形，一是證有三個(gè)角是直角，二是先證明它是平行四邊形，進(jìn)而再證明它是矩形；(3)運(yùn)用矩形的性質(zhì)時(shí)，要注意矩形的對(duì)角線相等且平分這個(gè)條件；(4)與高有關(guān)的題目，不要忘記等積法類型類型2 2 菱形的性質(zhì)與判定菱形的性質(zhì)與判定【例2】2016濰坊中考如圖，在菱形ABCD中，AB2，BAD60，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，DFBC于點(diǎn)F.(1)如圖1，連接AC分別交DE，DF于點(diǎn)M，N，求證：MN AC；(2)如圖2，將ED

5、F以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，其兩邊DE，DF分別與直線AB，BC相交于點(diǎn)G，P，連接GP，當(dāng)DGP的面積等于3 時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的大小并指明旋轉(zhuǎn)方向313思路分析：(1)連接BD，證明ABD為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三線合一得到AEEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；(2)分EDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可變式運(yùn)用 2017廣東中考如圖所示，已知四邊形ABCD，ADEF都是菱形，BADFAD，BAD為銳角(1)求證：ADBF；(2)若BFBC，求ADC的度數(shù)解：(1)證明：如圖1，連接DB，DF.四邊形ABCD，ADEF都是菱形，ABBCCDDA，ADDEEFFA.

6、在BAD與FAD中，BADFAD.DBDF.點(diǎn)D在線段BF的垂直平分線上ABAF，點(diǎn)A在線段BF的垂直平分線上AD是線段BF的垂直平分線ADBF.(2)如圖2，設(shè)ADBF于點(diǎn)H，作DGBC于點(diǎn)G，則四邊形BGDH是矩形，DGBH BF.BFBC，BCCD，DG CD.在RtCDG中，CGD90，DG2(1)CD，C30.BCAD，ADC180C150.2121技法點(diǎn)撥 (1)判定一個(gè)平行四邊形是菱形時(shí)，只需增加一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直即可；(2)判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，一是證明四條邊相等，二是先證明它是平行四邊形，進(jìn)而再證明它是菱形；(3)運(yùn)用菱形的性質(zhì)時(shí)，要注意菱形的對(duì)角線垂直這個(gè)條件；(4

7、)求菱形的面積時(shí)，注意運(yùn)用菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半；(5)菱形對(duì)角線所在的直線是菱形的對(duì)稱軸，往往運(yùn)用這一特性，求線段和的最小值類型類型3 3 正方形性質(zhì)的分析應(yīng)用正方形性質(zhì)的分析應(yīng)用【例3】2017杭州中考如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上(不與點(diǎn)B，D重合)，GEDC于點(diǎn)E，GFBC于點(diǎn)F，連接AG.(1)寫出線段AG，GE，GF長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AGF105，求線段BG的長(zhǎng)思路分析：(1)結(jié)論：AG2GE2GF2.連接CG，只要證明GAGC，四邊形EGFC是矩形，推出GECF，在RtGFC中利用勾股定理即可證明；(2)作BN

8、AG于點(diǎn)N，在BN上截取一點(diǎn)M，使得AMBM.設(shè)ANx.易證AMBM2x，MN x.在RtABN中，根據(jù)AB2AN2BN2，即可求得x，推出BN的值，再根據(jù)BG 即可解決問題3自主解答：(1)結(jié)論：AG2GE2GF2.理由：如圖，連接CG.四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)A，C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱點(diǎn)G在BD上，GAGC.GEDC于點(diǎn)E，GFBC于點(diǎn)F，GECECFCFG90.四邊形EGFC是矩形CFGE.在RtGFC中，CG2GF2CF2，AG2GF2GE2.(2)如圖，作BNAG于點(diǎn)N，在BN上截取一點(diǎn)M，使得AMBM，設(shè)ANx.AGF105，F(xiàn)BGFGBABG45，AGB60，GBN30，ABMM

9、AB15.AMN30.技法點(diǎn)撥 (1)判定一個(gè)菱形是正方形時(shí)，只需增加一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等即可；判定一個(gè)矩形是正方形時(shí)，只需增加一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直即可；(2)判定一個(gè)四邊形是正方形時(shí)，一是證明四條邊相等且四個(gè)角也相等，二是先證明它是矩形或菱形，進(jìn)而再證明它是正方形；(3)運(yùn)用正方形的性質(zhì)時(shí)，要注意正方形的對(duì)角線相互平分、相等且垂直這個(gè)條件；(4)正方形對(duì)角線所在的直線是正方形的對(duì)稱軸，和菱形一樣，往往運(yùn)用這一特性，求線段和的最小值類型類型4 4 中點(diǎn)四邊形的分析中點(diǎn)四邊形的分析【例4】若順次連接四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)，得到的圖形是一個(gè)矩形，則四邊形ABCD一定是( )A矩形B菱形C

10、對(duì)角線相等的四邊形D對(duì)角線互相垂直的四邊形DD如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理，得EHFGBD，EFHGAC.四邊形EFGH是矩形，即EFFG，ACBD.六年真題六年真題全練全練命題點(diǎn)命題點(diǎn)1 1 中點(diǎn)四邊形中點(diǎn)四邊形12015濱州，8,3分順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是( )A鄰邊不相等的平行四邊形B矩形C正方形D菱形D因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，根據(jù)三角形中位線定理，順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形猜押預(yù)測(cè) 1.如圖，在菱形ABCD中，B60，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，CE，AF相交于點(diǎn)G，則四邊形AGCD各邊中點(diǎn)連線是()A平行四邊

11、形B菱形C矩形 D正方形C如圖，連接AC，GD.四邊形ABCD是菱形，ABBCCDAD.B60，ABC是等邊三角形ACBBAC60.E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)GACGCA30.GAGC.四邊形AGCD是箏形ACGD，ACGD.M，N，O，P分別是四邊形AGCD各邊中點(diǎn)，OPMNAC，OPMN AC，ONPMDG，ONPM GD.MNOP，MNOP.四邊形MNOP是平行四邊形ACGD，且ACGD，MNPM，MNPM，四邊形MNOP是矩形212122012濱州，11,3分菱形的周長(zhǎng)為8cm，高為1cm，則該菱形兩鄰角度數(shù)比為()A31 B41C51 D61命題點(diǎn)命題點(diǎn)2 2 菱形菱形C如圖所示，

12、根據(jù)已知可得到菱形的邊長(zhǎng)為2cm，AE1cm，從而可得到高所對(duì)的角為30，相鄰的角為150，則該菱形兩鄰角度數(shù)比為51.3.2015濱州，14,4分如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為15，sinBAC ，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)為5342017濱州，22,10分如圖，在 ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F，再分別以點(diǎn)B，F(xiàn)為圓心，大于 BF的相同長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接EF，則所得四邊形ABEF是菱形(1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證：四邊形ABEF是菱形；(2)若菱形ABEF的周長(zhǎng)為16，AE4 ，求C的大小213解：(1)由作圖過程可知，ABAF，A

13、E平分BAD，BAEEAF，四邊形ABCD為平行四邊形，BCAD，AEBEAF.BAEAEB.ABBE.BEAF.AFBE，四邊形ABEF是平行四邊形又ABBE，四邊形ABEF是菱形(2)如圖，連接BF，交AE于點(diǎn)G.52016濱州，23,10分如圖，BD是ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接ED，DG.(1)請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由；(2)若ABC30，C45，ED2 ，點(diǎn)H是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求HGHC的最小值10解：(1)四邊形EBGD是菱形理由：EG垂直平分BD，BEDE，BGDG，EBDEDB.EBDDBC，EDFGBF.在EFD和

14、GFB中EFDGFB(ASA)，DEBG，BEDEDGBG，四邊形EBGD是菱形(2)如圖，作EMBC于點(diǎn)M，DNBC于點(diǎn)N，連接EC交BD于點(diǎn)H，連接HG，此時(shí)HGHC最小猜押預(yù)測(cè) 2.如圖，在菱形ABCD中，AB4cm，ADC120，點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)由A，C兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB，CB方向向點(diǎn)B勻速移動(dòng)(到點(diǎn)B為止)，點(diǎn)E的速度為1cm/s，點(diǎn)F的速度為2cm/s，經(jīng)過t秒時(shí)DEF為等邊三角形，則t的值為()D如圖，連接BD.四邊形ABCD是菱形，ABAD，ADB ADC60.ABD是等邊三角形ADBD.又DEF是等邊三角形，EDFDEF60.又ADB60，ADEBDF.在ADE和BDF中 AD

15、EBDF.AEBF.AEt，CF2t，BFBCCF42t.t42t.t ，2134猜押預(yù)測(cè) 3.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DEAC，且DE AC，連接CE，OE，連接AE交OD于點(diǎn)F.(1)求證：OECD；(2)若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，ABC60，求AE的長(zhǎng)21解：(1)證明：在菱形ABCD中，OC AC.又DE AC，DEOC.DEAC，四邊形OCED是平行四邊形ACBD，平行四邊形OCED是矩形OECD.(2)在菱形ABCD中，ABC60，ABC是等邊三角形2121得分要領(lǐng)得分要領(lǐng) (1)熟練掌握菱形的性質(zhì)和判定；(2)明確菱形中存在直角三角形和等腰三角形并

16、掌握相關(guān)性質(zhì)命題點(diǎn)命題點(diǎn)3 3 矩形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)62017濱州，16,4分如圖，將矩形ABCD沿GH對(duì)折，點(diǎn)C落在Q處，點(diǎn)D落在AB邊上的E處，EQ與BC相交于點(diǎn)F，若AD8，AB6，AE4，則EBF周長(zhǎng)的大小為8設(shè)AHa，則DHADAH8a.在RtAEH中，EAH90，AE4，AHa，EHDH8a.EH2AE2AH2，即(8a)242a2.解得a3.BFEBEF90，BEFAEH90，BFEAEH.又EAHFBE90，EBFHAE.猜押預(yù)測(cè) 4.如圖，在 ABCD中，AEBC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC至F點(diǎn)使CFBE，連接AF，DE，DF.(1)求證：四邊形AEFD是矩形；(2)若AB6，DE8，BF10，求AE的長(zhǎng)解：(1)證明：CFBE，CFECBEEC，即EFBC.在 ABCD中，ADBC且ADBC，ADEF且ADEF.四邊形AEFD是平行四邊形AEBC，AEF90.四邊形AEFD是矩形(2)四邊形AEFD是矩形，DE8，AFDE8.AB6，BF10，AB2AF26282100BF2.BAF90.AEBF，得分要領(lǐng) (1)掌握矩形的性質(zhì)和判定；(2)明確矩形中存在的直角三角形和等腰三角形；(3)會(huì)解直角三角形并熟悉等積法的運(yùn)用