數(shù)學(xué)第二章 方程（組）與不等式（組）2.2 一元二次方程及其應(yīng)用（試卷部分）

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1、2.2一元二次方程及其應(yīng)用中考數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué) (湖南專用)A A組組2014201820142018年湖南中考題組年湖南中考題組五年中考考點(diǎn)一一元二次方程及其解法考點(diǎn)一一元二次方程及其解法1.(2015湖南衡陽(yáng),8,3分)若關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個(gè)根為-1,則另一個(gè)根為()A.-2B.2C.4D.-3答案答案A把x=-1代入x2+3x+a=0,可得1-3+a=0,解得a=2.原方程為x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2.故選A.2.(2018湖南郴州,13,3分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+kx-6=0有一個(gè)根為-3,則方程的另一個(gè)根為.答案答案2解析解析解法一:因?yàn)殛P(guān)于

2、x的一元二次方程x2+kx-6=0有一個(gè)根為-3,所以將x=-3代入原方程,求得k=1,解一元二次方程得另一個(gè)根為2.解法二:由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得,兩根之積為-6,原方程的一個(gè)根是-3,所以另一個(gè)根為2.3.(2014湖南岳陽(yáng),10,4分)方程x2-3x+2=0的根是.答案答案1或2解析解析將原式因式分解,得(x-1)(x-2)=0,解得x1=1,x2=2.4.(2017湖南湘潭,22,8分)多項(xiàng)式乘法:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,將該式從右到左使用,即可得到“十字相乘法”進(jìn)行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).示例:分解因式:x2+

3、5x+6=x2+(2+3)x+23=(x+2)(x+3).(1)嘗試:分解因式:x2+6x+8=(x+)(x+);(2)應(yīng)用:請(qǐng)用上述方法解方程:x2-3x-4=0.解析解析(1)x2+6x+8=x2+(2+4)x+24=(x+2)(x+4).(2)x2-3x-4=0,(x+1)(x-4)=0,則x+1=0或x-4=0,解得x=-1或x=4.思路分析思路分析(1)類比題干中因式分解的方法求解即可;(2)利用十字相乘法將左邊因式分解后求解.考點(diǎn)二一元二次方程根的判別式考點(diǎn)二一元二次方程根的判別式, ,根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系1.(2018湖南婁底,5,3分)關(guān)于x的一元二次方程x2-(k+3

4、)x+k=0的根的情況是()A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.不能確定答案答案A由題意得=-(k+3)2-41k=k2+2k+9=(k+1)2+8,(k+1)20,(k+1)2+80,即0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選A.2.(2017湖南懷化,7,4分)若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的兩個(gè)根,則x1x2的值是()A.2B.-2C.4D.-3答案答案Dx1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的兩個(gè)根,x1x2=-3.故選D.3.(2017湖南益陽(yáng),6,3分)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根為x1=1,x2=-1,那么下列結(jié)論一

5、定成立的是()A.b2-4ac0B.b2-4ac=0C.b2-4ac0,故選A.4.(2018湖南常德,13,3分)若關(guān)于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則b的值可能是(只寫一個(gè)).答案答案6(答案不唯一)解析解析關(guān)于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,=b2-4230,解得b2.故答案可以為6.(答案不唯一)66解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵本題考查了根的判別式,牢記“當(dāng)0時(shí),一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.5.(2016湖南岳陽(yáng),22,8分)已知關(guān)于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.(1)求證:方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2

6、)已知方程的一個(gè)根為x=0,求代數(shù)式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化簡(jiǎn)再求值).解析解析(1)證明:=-(2m+1)2-4m(m+1)=10,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)x=0是方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0的一個(gè)根,0-(2m+1)0+m(m+1)=0,解得m=0或m=-1.(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5,當(dāng)m=0時(shí),3m2+3m+5=302+30+5=5;當(dāng)m=-1時(shí),3m2+3m+5=3(-1)2+3(-1)+5=3-3+5=5.綜上,(2m-1)2+(3+m)(3-m)

7、+7m-5的值是5.評(píng)析評(píng)析本題主要考查一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解法,屬于中等難度題.6.(2014湖南株洲,21,6分)已知關(guān)于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分別是ABC的三邊長(zhǎng).(1)如果x=-1是方程的一個(gè)根,試判斷ABC的形狀,并說(shuō)明理由;(2)如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,試判斷ABC的形狀,并說(shuō)明理由;(3)如果ABC是等邊三角形,試求出這個(gè)一元二次方程的根.解析解析(1)ABC是等腰三角形.理由:將x=-1代入原方程得a+c-2b+a-c=0,即可得a=b,故ABC是等腰三角形.(2)ABC是直角三角形.理由:由題意可知=(2b

8、)2-4(a+c)(a-c)=0,即4b2-4(a2-c2)=0,可得b2+c2=a2,故ABC是直角三角形.(3)因?yàn)锳BC是等邊三角形,所以a=b=c0,故原方程可化為2ax2+2ax=0,解得x1=0,x2=-1.考點(diǎn)三一元二次方程的應(yīng)用考點(diǎn)三一元二次方程的應(yīng)用1.(2016湖南衡陽(yáng),9,3分)隨著居民經(jīng)濟(jì)收入的不斷提高以及汽車業(yè)的快速發(fā)展,家用汽車已越來(lái)越多地進(jìn)入普通家庭.抽樣調(diào)查顯示,截止至2015年底某市汽車擁有量為16.9萬(wàn)輛.已知2013年底該市汽車擁有量為10萬(wàn)輛.設(shè)2013年底至2015年底該市汽車擁有量的年平均增長(zhǎng)率為x.根據(jù)題意列方程得()A.10(1+x)2=16.9

9、B.10(1+2x)=16.9C.10(1-x)2=16.9D.10(1-2x)=16.9答案答案A2013年底該市汽車擁有量為10萬(wàn)輛,則2014年底該市汽車擁有量為10(1+x)萬(wàn)輛,2015年底該市汽車擁有量為10(1+x)2萬(wàn)輛,故可得方程10(1+x)2=16.9,故選A.思路分析思路分析理解增長(zhǎng)率的含義,2015年為16.9萬(wàn)輛,是在2013年10萬(wàn)輛的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)兩年的結(jié)果,故可列方程為10(1+x)2=16.9.評(píng)析評(píng)析本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用,熟悉相關(guān)的實(shí)際背景有助于解決這類問(wèn)題,屬容易題.2.(2016湖南永州,24,10分)某種商品的標(biāo)價(jià)為400元/件,經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)

10、后的價(jià)格為324元/件,并且兩次降價(jià)的百分率相同.(1)求該種商品每次降價(jià)的百分率;(2)若該種商品進(jìn)價(jià)為300元/件,兩次降價(jià)共售出此種商品100件,為使兩次降價(jià)銷售的總利潤(rùn)不少于3210元.問(wèn)第一次降價(jià)后至少要售出該種商品多少件?解析解析(1)設(shè)該種商品每次降價(jià)的百分率為x,依題意得400(1-x)2=324,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合題意,舍去).答:該種商品每次降價(jià)的百分率為10%.(2)設(shè)第一次降價(jià)后售出該種商品m件,則第二次降價(jià)后售出該種商品(100-m)件,第一次降價(jià)后的單件利潤(rùn)為400(1-10%)-300=60(元);第二次降價(jià)后的單件利潤(rùn)為324-300=

11、24(元).依題意得60m+24(100-m)3210,解得m22.5.m為整數(shù),m的最小值為23.答:第一次降價(jià)后至少要售出該種商品23件.B B組組2014201820142018年全國(guó)中考題組年全國(guó)中考題組考點(diǎn)一一元二次方程及其解法考點(diǎn)一一元二次方程及其解法1.(2015山西,5,3分)我們解一元二次方程3x2-6x=0時(shí),可以運(yùn)用因式分解法,將此方程化為3x(x-2)=0,從而得到兩個(gè)一元一次方程:3x=0或x-2=0,進(jìn)而得到原方程的解為x1=0,x2=2.這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是()A.轉(zhuǎn)化思想B.函數(shù)思想C.數(shù)形結(jié)合思想D.公理化思想答案答案A將高次方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為低次方程問(wèn)題求解

12、,將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題求解,將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題求解,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想,故選A.2.(2015廣西柳州,17,3分)若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一個(gè)根,則m的值為.答案答案-3解析解析將x=1代入原方程得1+2+m=0,解得m=-3.故答案為-3.評(píng)析評(píng)析本題主要考查的是方程的解(根)的定義,將方程的解(根)代入方程得到關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)二一元二次方程根的判別式考點(diǎn)二一元二次方程根的判別式, ,根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系1.(2017四川綿陽(yáng),7,3分)關(guān)于x的方程2x2+mx+n=0的兩個(gè)根是-2和1,則nm的值為()A.-8B.8C.16D.-16答案答案

13、C由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得解得m=2,n=-4,故nm=(-4)2=16,故選C.2 1,22 1,2mn 2.(2017甘肅蘭州,6,4分)如果一元二次方程2x2+3x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.mB.mC.m=D.m=98899889答案答案C因?yàn)橐辉畏匠?x2+3x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以b2-4ac=9-8m=0,解得m=,故選C.98思路分析思路分析一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則判別式=0,列出關(guān)于m的方程,解方程即可.方法規(guī)律方法規(guī)律對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),當(dāng)b2-4ac0時(shí),一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

14、;當(dāng)b2-4ac=0時(shí),一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)b2-4ac0時(shí),一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.3.(2017內(nèi)蒙古呼和浩特,5,3分)關(guān)于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù),則a的值為()A.2B.0C.1D.2或0答案答案B由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-(a2-2a),又互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0,-(a2-2a)=0,解得a=0或2.當(dāng)a=2時(shí),原方程為x2+1=0,無(wú)解;當(dāng)a=0時(shí),原方程為x2-1=0,符合題意,故a=0.易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示本題易忽視當(dāng)a=2時(shí),原方程無(wú)解這一情況,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.4.(2016廣西桂林,10,3分)若

15、關(guān)于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是()A.k5 B.k5答案答案B關(guān)于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即解得k0.故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)由題意可知,a0,=b2-4a=0.答案不唯一,如:當(dāng)b=2,a=1時(shí),方程為x2+2x+1=0,(x+1)2=0,x1=x2=-1.考點(diǎn)三一元二次方程的應(yīng)用考點(diǎn)三一元二次方程的應(yīng)用1.(2017甘肅蘭州,10,4分)王叔叔從市場(chǎng)上買了一塊長(zhǎng)80cm,寬70cm的矩形鐵皮,準(zhǔn)備制作一個(gè)工具箱.如圖,他將矩形鐵皮的四個(gè)角各剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為xcm的正方形后,剩余的部分剛

16、好能圍成一個(gè)底面積為3000cm2的無(wú)蓋長(zhǎng)方體工具箱.根據(jù)題意可列方程為()A.(80-x)(70-x)=3000B.8070-4x2=3000C.(80-2x)(70-2x)=3000D.8070-4x2-(70+80)x=3000答案答案C長(zhǎng)方體工具箱的底面是一個(gè)長(zhǎng)為(80-2x)cm,寬為(70-2x)cm的矩形,由題意可得方程(80-2x)(70-2x)=3000.思路分析思路分析用含x的代數(shù)式分別表示出長(zhǎng)方體底面的長(zhǎng)和寬,然后根據(jù)“面積=長(zhǎng)寬”列方程.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是找出題目中的相等關(guān)系,并能用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相等關(guān)系中的相關(guān)量.2.

17、(2015遼寧鐵嶺,9,3分)某商品經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià),銷售單價(jià)由原來(lái)200元降到162元.設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,根據(jù)題意可列方程為()A.200(1-x)2=162B.200(1+x)2=162C.162(1+x)2=200D.162(1-x)2=200答案答案A由題意可列方程為200(1-x)2=162.故選A.評(píng)析評(píng)析此題考查一元二次方程的應(yīng)用,基本的數(shù)量關(guān)系:商品原價(jià)(1-平均每次降價(jià)的百分率)2=現(xiàn)在的價(jià)格.3.(2015內(nèi)蒙古呼倫貝爾興安盟,10,3分)學(xué)校要組織足球比賽,賽制為單循環(huán)形式(每?jī)申?duì)之間賽一場(chǎng)).計(jì)劃安排21場(chǎng)比較,應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)球隊(duì)參賽?設(shè)邀請(qǐng)x個(gè)球隊(duì)參賽.根據(jù)題

18、意,下面所列方程正確的是()A.x2=21B.x(x-1)=21C.x2=21D.x(x-1)=211212答案答案B邀請(qǐng)x個(gè)球隊(duì),每個(gè)球隊(duì)都要賽(x-1)場(chǎng),但兩隊(duì)之間只比賽一場(chǎng),由題意得x(x-1)=21.故選B.12C C組教師專用題組組教師專用題組考點(diǎn)一一元二次方程及其解法考點(diǎn)一一元二次方程及其解法1.(2015甘肅蘭州,6,4分)一元二次方程x2-8x-1=0配方后可變形為()A.(x+4)2=17B.(x+4)2=15C.(x-4)2=17D.(x-4)2=15答案答案Cx2-8x-1=0變形得x2-8x=1,x2-8x+16=1+16,(x-4)2=17,故選C.2.(2015黑

19、龍江大慶,16,3分)方程3(x-5)2=2(x-5)的根是.答案答案x1=5,x2=173解析解析將原方程變形得3(x-5)2-2(x-5)=0,分解因式得(x-5)3(x-5)-2=0,可得x-5=0或3x-17=0,解得x1=5,x2=.故答案為x1=5,x2=.173173評(píng)析評(píng)析此題考查了解一元二次方程的方法,熟練掌握因式分解法是解本題的關(guān)鍵.考點(diǎn)二一元二次方程根的判別式考點(diǎn)二一元二次方程根的判別式, ,根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系1.(2018福建,10,4分)已知關(guān)于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,下列判斷正確的是()A.1一定不是關(guān)于x

20、的方程x2+bx+a=0的根B.0一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根C.1和-1都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根D.1和-1不都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根答案答案D由=(2b)2-4(a+1)2=0得b=(a+1),因?yàn)閍+10,所以b0.當(dāng)b=-(a+1)時(shí),x=1是方程x2+bx+a=0的根;a+10,a可以取0,故x=0可能是方程x2+bx+a=0的根;當(dāng)b=a+1時(shí),x=-1是方程x2+bx+a=0的根.因?yàn)閎=-(a+1)和b=a+1不能同時(shí)成立,所以x=1和x=-1不能同時(shí)為方程x2+bx+a=0的根,故選D.2.(2017江西,5,3分)已知一元二次方程2

21、x2-5x+1=0的兩個(gè)根為x1,x2,下列結(jié)論正確的是()A.x1+x2=-B.x1x2=1C.x1,x2都是有理數(shù)D.x1,x2都是正數(shù)52答案答案D根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=0,x1x2=0,則x10,x20,故選D.52123.(2017上海,2,4分)下列方程中,沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是()A.x2-2x=0B.x2-2x-1=0C.x2-2x+1=0D.x2-2x+2=0答案答案DA項(xiàng),=(-2)2-410=40;B項(xiàng),=(-2)2-41(-1)=80;C項(xiàng),=(-2)2-411=0;D項(xiàng),=(-2)2-412=-40,D項(xiàng)中的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,故選D.思路分析思路分析對(duì)于

22、一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),=b2-4ac,當(dāng)0時(shí),方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;當(dāng)0時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根,所以應(yīng)先算出各選項(xiàng)中方程的判別式,再進(jìn)行判斷.4.(2017內(nèi)蒙古包頭,8,3分)若關(guān)于x的不等式x-1的解集為x1,則關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情況是()A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.無(wú)法確定2a答案答案C解不等式得x+1,根據(jù)題意得+1=1,解得a=0.所以方程可化為x2+1=0,所以=-40,所以該一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故選B.6.(2015湖南株洲,8,3分)有兩個(gè)一元二次方程M:ax2+bx+c=0和N:cx2+bx+a

23、=0,其中ac0,ac.下列四個(gè)結(jié)論中,錯(cuò)誤的是()A.如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,那么方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.如果方程M的兩根符號(hào)相同,那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同C.如果5是方程M的一個(gè)根,那么是方程N(yùn)的一個(gè)根D.如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根,那么這個(gè)根必是x=115答案答案D如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,那么=b2-4ac=0,所以方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,故A項(xiàng)不符合題意;如果方程M的兩根符號(hào)相同,那么=b2-4ac0,0,即0,所以方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同,故B項(xiàng)不符合題意;如果5是方程M的一個(gè)根,那么25a+5b+c=0,兩邊同除以25,得c+b+a=0,所以是方程N(yùn)的一

24、個(gè)根,故C項(xiàng)不符合題意;如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根,那么ax2+bx+c=cx2+bx+a,即(a-c)x2=a-c,又由ac得x2=1,解得x=1,故D項(xiàng)符合題意.故選D.caac12515157.(2015河北,12,2分)若關(guān)于x的方程x2+2x+a=0不存在實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是()A.a1C.a1D.a1答案答案B由題意知=4-4a1,故選B.8.(2015湖南懷化,7,4分)設(shè)x1,x2是方程x2+5x-3=0的兩個(gè)根,則+的值是()A.19B.25C.31D.3021x22x答案答案C由題意知x1+x2=-5,x1x2=-3,則+=(x1+x2)2-2x1x2=(-5)2

25、-2(-3)=31.故選C.21x22x思路分析思路分析由根與系數(shù)關(guān)系分別表示x1+x2,x1x2的值,再將所求代數(shù)式恒等變形.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵將+恒等變形為(x1+x2)2-2x1x2,轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積的表達(dá)式.21x22x9.(2015湖南張家界,6,3分)若關(guān)于x的一元二次方程kx2-4x+3=0有實(shí)數(shù)根,則k的非負(fù)整數(shù)值是()A.1B.0,1C.1,2D.1,2,3答案答案A由題意可得k0且(-4)2-43k0,解得k且k0,所以k的非負(fù)整數(shù)值是1.故選A.43思路分析思路分析由一元二次方程的定義及根的判別式分別列出關(guān)于k的不等式,求解確定k值.易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示忽略方程為一元二

26、次方程的隱含條件:二次項(xiàng)系數(shù)不為0,即k0,求得k,錯(cuò)選B.4310.(2016湖南長(zhǎng)沙,14,3分)若關(guān)于x的一元二次方程x2-4x-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.答案答案m-4解析解析一元二次方程x2-4x-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,0,即b2-4ac=(-4)2-41(-m)=16+4m0,解得m-4.11.(2017江蘇南京,12,2分)已知關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根為-3和-1,則p=,q=.答案答案4;3解析解析因?yàn)榉匠蘹2+px+q=0的兩根為-3和-1,所以p=-(-3-1)=4,q=(-3)(-1)=3.12.(2016湖北黃石,12,3分)關(guān)

27、于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0的兩實(shí)數(shù)根之積為負(fù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.答案答案m12解析解析設(shè)x1、x2為方程x2+2x-2m+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,由已知得即解得m.故答案為m.120,0,xx44( 21)0,210,mm 1212評(píng)析評(píng)析本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及解一元一次不等式組,解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于m的一元一次不等式組.本題屬于基礎(chǔ)題,難度不大.13.(2015內(nèi)蒙古赤峰,10,3分)若關(guān)于x的一元二次方程x2-(a+5)x+8a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為2和b,則ab=.答案答案4解析解析關(guān)于x的一元二次方程x2-(a+5)x+8a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是2,b

28、,由根與系數(shù)的關(guān)系,得解得ab=14=4.故答案是4.25,28 ,baba1,4,ab14.(2017北京,21,5分)關(guān)于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.(1)求證:方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;(2)若方程有一個(gè)根小于1,求k的取值范圍.解析解析(1)證明:依題意,得=-(k+3)2-4(2k+2)=(k-1)2.(k-1)20,方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(2)由求根公式,得x=,x1=2,x2=k+1.方程有一個(gè)根小于1,k+11,k0,即k的取值范圍是k0.每件的售價(jià)為18萬(wàn)元,每件的成本y(萬(wàn)元)是基礎(chǔ)價(jià)與浮動(dòng)價(jià)的和,其中基礎(chǔ)價(jià)保持不變,浮動(dòng)價(jià)與月需求量x(件)成反比,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研

29、發(fā)現(xiàn),月需求量x與月份n(n為整數(shù),1n12)符合關(guān)系式x=2n2-2kn+9(k+3)(k為常數(shù)),且得到了下表中的數(shù)據(jù).月份n(月)12成本y(萬(wàn)元/件)1112需求量x(件/月)120100(1)求y與x滿足的關(guān)系式,請(qǐng)說(shuō)明一件產(chǎn)品的利潤(rùn)能否是12萬(wàn)元;(2)求k,并推斷是否存在某個(gè)月既無(wú)盈利也不虧損;(3)在這一年12個(gè)月中,若第m個(gè)月和第(m+1)個(gè)月的利潤(rùn)相差最大,求m.解析解析(1)由題意設(shè)y=a+,由表中數(shù)據(jù),得解得y=6+.(3分)由題意,若12=18-,則=0,x0,0.不可能.(5分)(2)將n=1,x=120代入x=2n2-2kn+9(k+3),得120=2-2k+9k

30、+27.解得k=13,將n=2,x=100代入x=2n2-26n+144也符合.k=13.(6分)由題意,得18=6+,求得x=50.bx11,12012.100baba6,600.ab600 x6006x600 x600 x600 x50=2n2-26n+144,即n2-13n+47=0.=(-13)2-41470,方程無(wú)實(shí)根.不存在.(9分)(3)第m個(gè)月的利潤(rùn)W=x(18-y)=18x-x=12(x-50)=24(m2-13m+47),第(m+1)個(gè)月的利潤(rùn)W=24(m+1)2-13(m+1)+47=24(m2-11m+35).若WW,W-W=48(6-m),m取最小1,W-W=240最

31、大.若W-B.k-且k1C.k0,且k-10,k的取值范圍是k-且k1.故選B.182.(2018湖南永州東安模擬,7)已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是()A.m1 B.m-1C.m-1且m0D.m-1且m0答案答案D關(guān)于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,解得m-1且m0.0,440,mm思路分析思路分析根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零結(jié)合根的判別式0即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組,解之即可.易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示忽略一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)非零這一隱含條件,錯(cuò)選B.3.(2017湖南長(zhǎng)沙三模,9)若一元二次方程x2+2x+m=0有實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍

32、是()A.m-1B.m1C.m1答案答案B一元二次方程x2+2x+m=0有實(shí)數(shù)根,4-4m0,m1,故選B.4.(2017湖南長(zhǎng)沙一模,8)關(guān)于x的方程x2-mx-1=0的根的情況是()A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.不能確定答案答案A由題得=(-m)2-41(-1)=m2+4,m20,m2+40,即0,原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選A.5.(2016湖南株洲石峰模擬,8)若一元二次方程x2+2x+m+1=0有實(shí)數(shù)根,則()A.m的最小值是1B.m的最小值是-1C.m的最大值是0D.m的最大值是2答案答案C一元二次方程x2+2x+m+1=0有實(shí)數(shù)根,=22-4

33、(m+1)0,解得m0.故選C.6.(2016湖南永州一模,12)已知一元二次方程x2+2x-5=0的兩根為x1,x2,則x1+x2=.答案答案-2解析解析由根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2=-2.7.(2018湖南湘西一中模擬,20)關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2.(1)求m的取值范圍;(2)若3(x1+x2)-x1x2-10=0,求m的值.解析解析(1)關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,=(-3)2-4(m-1)=13-4m0,解得m.即m的取值范圍為m.(2)由題意得x1+x2=3,x1x2=m-1,3(x1+x2)-x1x2-10

34、=33-(m-1)-10=0,解得m=0.當(dāng)3(x1+x2)-x1x2-10=0時(shí),m的值為0.1341348.(2016湖南湘潭二模)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍;(2)當(dāng)k取最大整數(shù)值時(shí),求該方程的解.解析解析(1)關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,=22-4k0,解得k1.(2)k30)步,則寬為(60-x)步,根據(jù)題意得x(60-x)=864,整理得x2-60 x+864=0,解得x=36或x=24(舍去),x-(60-x)=12.故選A.思路分析思路分析設(shè)矩形田地的長(zhǎng)為x(x30)步,則寬為(60-x)

35、步,由矩形的面積=長(zhǎng)寬,即可得出關(guān)于x的一元二次方程,解之即可得出x的值,將其代入x-(60-x)中,即可得出結(jié)論.2.(2017湖南婁底一模,6)某種品牌運(yùn)動(dòng)服經(jīng)過(guò)兩次降價(jià),每件零售價(jià)由560元降為315元,已知兩次降價(jià)的百分率相同,求每次降價(jià)的百分率.設(shè)每次降價(jià)的百分率為x,下面所列方程中正確的是()A.560(1+x)2=315B.560(1-x)2=315C.560(1-2x)2=315D.560(1-x2)=315答案答案B第一次降價(jià)后的售價(jià)是560(1-x)元,第二次降價(jià)后的售價(jià)是560(1-x)2元.故選B.3.(2016湖南岳陽(yáng)十二校聯(lián)考)學(xué)校去年年底的綠化面積為5000平方米

36、,預(yù)計(jì)到明年年底增加到7200平方米,求這兩年的年平均增長(zhǎng)率.解析解析設(shè)這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意得,5000(1+x)2=7200,即(1+x)2=1.44,開(kāi)方得,1+x=1.2或1+x=-1.2,解得x=0.2=20%或x=-2.2(舍去).答:這兩年的年平均增長(zhǎng)率為20%.B B組組2016201820162018年模擬年模擬提升題組提升題組(時(shí)間時(shí)間:20:20分鐘分值分鐘分值:50:50分分) )一、選擇題(每小題3分,共15分)1.(2018湖南永州冷水灘一模,4)若關(guān)于x的一元二次方程x2+(k+3)x+2=0的一個(gè)根是-1,則另一個(gè)根是()A.1B.0C.2D.-2答

37、案答案D設(shè)原方程的另一個(gè)根是t,根據(jù)題意得-1t=2,解得t=-2,即方程的另一個(gè)根是-2.故選D.2.(2017湖南婁底3月模擬,11)關(guān)于x的方程x2-ax+2a=0的兩根的平方和是5,則a的值是()A.-1或5B.1C.5D.-1答案答案D設(shè)原方程的兩根分別為x1,x2,則x1+x2=a,x1x2=2a,+=5,(x1+x2)2-2x1x2=5,a2-4a-5=0,a1=5,a2=-1,又由題意知=a2-8a0,即a8或a0,a=-1.故選D.21x22x3.(2017湖南婁底3月模擬,2)關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2+x+|a|-1=0的一個(gè)根是0,則實(shí)數(shù)a的值為()A.-1B.

38、0C.1D.-1或1答案答案A把x=0代入原方程得|a|-1=0,a=1,又由題知a-10,即a1,a=-1.故選A.思路分析思路分析先把x=0代入原方程求出a的值,然后根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)不能為0,把a(bǔ)=1舍去.易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示忽略一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0的條件,錯(cuò)選D.4.(2016湖南懷化模擬,10)下列關(guān)于方程x2+x-1=0的說(shuō)法中正確的是()A.該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且它們互為相反數(shù)C.該方程有一根為D.該方程有一根為152512答案答案DA項(xiàng),=12+410,方程x2+x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B項(xiàng),方程兩根的和為-1,它們

39、不互為相反數(shù),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;C項(xiàng),把x=代入x2+x-1=0,等號(hào)左右兩邊不相等,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;D項(xiàng),把x=代入x2+x-1=0,等號(hào)左右兩邊相等,故本選項(xiàng)正確.故選D.1525125.(2016湖南常德模擬,7)某等腰三角形的邊長(zhǎng)分別為a,b,2,且a,b是關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的兩根,則n的值為()A.9B.10C.9或10D.8或10答案答案B該三角形是等腰三角形,當(dāng)a=2,或b=2時(shí),a,b是關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的兩根,把x=2代入x2-6x+n-1=0得,22-62+n-1=0,解得n=9.當(dāng)n=9時(shí),方程的兩根是2和4,而邊長(zhǎng)分別為2,4,

40、2的三邊不能構(gòu)成三角形,故n=9不合題意;當(dāng)a=b時(shí),方程x2-6x+n-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,=(-6)2-4(n-1)=0,解得n=10.當(dāng)n=10時(shí),方程的兩根是3和3,邊長(zhǎng)分別為3,3,2的三邊能構(gòu)成三角形,故n=10符合題意.故選B.思路分析思路分析先確定等腰三角形中a、b的值,再由a、b為方程的根,確定n的值.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵分類討論等腰三角形的腰的情況并結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求未知字母的值.二、填空題(每小題4分,共8分)6.(2018湖南湘潭模擬,12)已知關(guān)于x的方程x2+6x+k=0的兩個(gè)根分別是x1、x2,且+=3,則k的值為.11x21x答案答案-2解析解析由題意得x1

41、+x2=-6,x1x2=k,又+=3,則=3,解得k=-2.11x21x1212xxx x6k思路分析思路分析利用根與系數(shù)的關(guān)系(即韋達(dá)定理)求解.7.(2016湖南長(zhǎng)沙模擬,14)已知關(guān)于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1、x2是此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,現(xiàn)給出三個(gè)結(jié)論:x1x2;x1x2ab;+0,x1x2,故正確;x1x2=ab-1a2+b2,即+a2+b2,故錯(cuò)誤.綜上所述,正確結(jié)論的序號(hào)是.21x22x21x22x三、解答題(共27分)8.(2018湖南祁陽(yáng)三模,23)隨著某市養(yǎng)老機(jī)構(gòu)(養(yǎng)老機(jī)構(gòu)指社會(huì)福利院、養(yǎng)老院、社區(qū)養(yǎng)老中心等)建設(shè)穩(wěn)步推進(jìn),擁有的養(yǎng)老床位不斷增加.(1)該

42、市的養(yǎng)老床位數(shù)從2014年底的2萬(wàn)個(gè)增長(zhǎng)到2016年底的2.88萬(wàn)個(gè),求該市這兩年(從2014年底到2016年底)擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長(zhǎng)率;(2)若該市某社區(qū)今年準(zhǔn)備新建一養(yǎng)老中心,其中規(guī)劃建造三類養(yǎng)老專用房間共100間,這三類養(yǎng)老專用房間分別為單人間(1個(gè)養(yǎng)老床位),雙人間(2個(gè)養(yǎng)老床位),三人間(3個(gè)養(yǎng)老床位),因?qū)嶋H需要,單人間房間數(shù)在10至30之間(包括10和30),且雙人間的房間數(shù)是單人間的2倍,設(shè)規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為t.若該養(yǎng)老中心建成后可提供養(yǎng)老床位200個(gè),求t的值;問(wèn)該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位多少個(gè)?最少提供養(yǎng)老床位多少個(gè)?解析解析(1)設(shè)該市這兩年(從201

43、4年底到2016年底)擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長(zhǎng)率為x,由題意可列出方程:2(1+x)2=2.88,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合題意,舍去).答:該市這兩年(從2014年底到2016年底)擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長(zhǎng)率為20%.(2)規(guī)劃建造單人間的房間數(shù)為t(10t30),則建造雙人間的房間數(shù)為2t,三人間的房間數(shù)為100-3t,由題意得t+4t+3(100-3t)=200,解得t=25.答:t的值是25.設(shè)該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老床位y個(gè),由題意得y=t+4t+3(100-3t)=-4t+300(10t30),k=-40,解得k-.所以k的取值范圍是k-.(2)方程的兩根同號(hào),-k0,即k-,k可以取-2或-1.不妨取k=-2,當(dāng)k=-2時(shí),原方程為x2-3x+2=0,即(x-1)(x-2)=0,解得x1=1,x2=2.949494解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵(1)正確理解根的判別式的意義;(2)將方程的兩根同號(hào)這一條件轉(zhuǎn)化成兩根之積大于0,即-k0.