【名校資料】高考數(shù)學理一輪資源庫第八章 第1講空間幾何體及其表面積與體積

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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學學習資料◆+◆◆ 第八章 立體幾何 第1講 空間幾何體及其表面積與體積 一、填空題 1.已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示,俯視圖是邊長為2的正三角形,那么該三棱錐的側(cè)視圖可能為________. 解析 這個空間幾何體的直觀圖如圖所示,由題知這個空間幾何體的側(cè)視圖的底面邊長是,故其側(cè)視圖只可能是②中的圖形. 答案 ② 2.在正方體上任意選擇4個頂點,它們可能是如下各種幾何形體的四個頂點,這些幾何形體是________(寫出所有正確結(jié)論的編號). ①矩形;②不是矩形的平行四邊形;③有三個面為等腰直角三角形,有一個面為等邊三角形的四面體;④每

2、個面都是等邊三角形的四面體;⑤每個面都是直角三角形的四面體. 解析?、亠@然可能;②不可能;③取一個頂點處的三條棱,連接各棱端點構成的四面體;④取正方體中對面上的兩條異面對角線的四個端點構成的幾何體;⑤正方體ABCD -A1B1C1D1中,三棱錐D1-DBC滿足條件. 答案?、佗邰堍? 3.在三棱錐S-ABC中,面SAB,SBC,SAC都是以S為直角頂點的等腰直角三角形,且AB=BC=CA=2,則三棱錐S-ABC的表面積是________. 解析 設側(cè)棱長為a,則a=2,a=,側(cè)面積為3××a2=3,底面積為×22=,表面積為3+. 答案 3+ 4.在直觀圖(如圖所示)中,四邊形O′A

3、′B′C′為菱形且邊長為2 cm,則在xOy坐標系中,四邊形ABCO為________,面積為________cm2. 解析 由斜二測畫法的特點,知該平面圖形的直觀圖的原圖,即在xOy坐標系中,四邊形ABCO是一個長為4 cm,寬為2 cm的矩形,所以四邊形ABCO的面積為8 cm2. 答案 矩形 8 5. 如圖所示,已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成,則該多面體的體積是________. 解析 由題知該多面體為正四棱錐,底面邊長為1,側(cè)棱長為1,斜高為,連接頂點和底面中心即為高,可求得高為,所以體積V=×1×1×=. 答案  6. 如

4、圖所示,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為a,∠A1AB=∠A1AC=60°,則其全面積為________. 解析 如題圖,過B作BD⊥AA1于D,連接CD,則△BAD≌△CAD,所以∠ADB=∠ADC=90°,所以AD⊥CD,AD⊥BD, 所以△BCD為垂直于側(cè)棱AA1的截面. 又因為∠BAD=60°,AB=a,所以BD=a. 所以△BDC的周長為(+1)a,從而S側(cè)=(+1)a2,S底=×a2sin 60°=a2.故S全=S側(cè)+2S底=a2. 答案 a2 7.正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為2,點M是BC的中點,點P是平面ABCD內(nèi)的一個動點,且滿足PM=2,P

5、到直線A1D1的距離為,則點P的軌跡是________. 解析 由PM=2,知點P在以M為圓心,2為半徑的圓上.又由P到直線A1D1的距離為,知點P在與BC平行且過AB中點的直線上,故點P的軌跡是它們的交點,即為兩點. 答案 兩個點 8.已知矩形ABCD的面積為8,當矩形ABCD周長最小時,沿對角線AC把△ACD折起,則三棱錐D-ABC的外接球表面積等于________. 解析 設矩形的兩鄰邊長度分別為a,b,則ab=8,此時2a+2b≥4=8,當且僅當a=b=2時等號成立.此時四邊形ABCD為正方形,其中心到四個頂點的距離相等,均為2,無論怎樣折疊,其四個頂點都在一個半徑為2的球面

6、上,這個球的表面積是4π×22=16π. 答案 16π 9.已知點P,A,B,C是球O表面上的四個點,且PA、PB、PC兩兩成60°角,PA=PB=PC=1 cm,則球的表面積為________cm2. 解析 如圖,取AB的中點M,連接PM、CM,過P作棱錐的高PN,則垂足N必在CM上,連接AN.棱錐的四個側(cè)面都是邊長為1的正三角形,故可得CM=PM=,從而CN=CM=,在Rt△PCN中,可求得PN=,連接AO,則AN=CN=,設AO=PO=R,則在Rt△OAN中,有R2=2+2,解得R=.∴球的表面積S=4πR2=(cm2). 答案 π 10.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾

7、何體的表面積和體積分別為________,__________. 解析 由三視圖可知,該幾何體的下部是一底邊長為2,高為4的長方體,上部為一球,球的直徑等于正方形的邊長.所以長方體的表面積為S1=2×2×2+4×2×4=40,長方體的體積為V1=2×2×4=16, 球的表面積和體積分別為S2=4×π×12=4π,V2=×π×13=, 故該幾何體的表面積為S=S1+S2=40+4π, 該幾何體的體積為V=V1+V2=16+. 答案 40+4π;16+π 二、解答題 11. 如圖,四邊形ABCD為正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD. (1)證明:PQ⊥

8、平面DCQ; (2)求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值. (1)證明 由條件知四邊形PDAQ為直角梯形. 因為QA⊥平面ABCD, 所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交線為AD. 又四邊形ABCD為正方形,DC⊥AD, 所以DC⊥平面PDAQ,可得PQ⊥DC. 在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD,則PQ⊥QD. 又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ. (2)解 設AB=a. 由題設知AQ為棱錐Q-ABCD的高, 所以棱錐Q-ABCD的體積V1=a3. 由(1)知PQ為棱錐P-DCQ的高,而PQ=a,△DCQ的面積為a2,所以棱錐P-DCQ的體積V

9、2=a3. 故棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值為1. 12.如圖,把邊長為2的正六邊形ABCDEF沿對角線BE折起,使AC=. (1)求證:平面ABEF⊥平面BCDE; (2)求五面體ABCDEF的體積. 解 設原正六邊形中,AC∩BE=O,OF∩BE=O′,由正六邊形的幾何性質(zhì)可知OA=OC=,AC⊥BE,DF⊥BE. (1)證明:在五面體ABCDE中,OA2+OC2=6=AC2, ∴OA⊥OC, 又OA⊥OB,∴OA⊥平面BCDE.∵OA?平面ABEF, ∴平面ABEF⊥平面BCDE. (2)由BE⊥OA,BE⊥OC知BE⊥平面AOC,同理BE⊥

10、平面FO′D,∴平面AOC∥平面FO′D,故AOC-FO′D是側(cè)棱長(高)為2的直三棱柱,且三棱錐B-AOC和E-FO′D為大小相同的三棱錐, ∴VABCDEF=2VB-AOC+VAOC-FO′D =2×××()2×1+×()2×2=4. 13. 如圖所示,在平行四邊形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD. (1)求證:AB⊥DE; (2)求三棱錐E-ABD的側(cè)面積. (1)證明 在△ABD中,因為AB=2,AD=4,∠DAB=60°, 所以BD==2, 所以AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD.

11、又因為平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,AB?平面ABD,所以AB⊥平面EBD. 又因為DE?平面EBD,所以AB⊥DE. (2)解 由(1)知AB⊥BD,因為CD∥AB, 所以CD⊥BD,從而DE⊥BD, 在Rt△DBE中,由DB=2,DE=DC=AB=2, 得S△BDE=DB·DE=2. 又因為AB⊥平面EBD,BE?平面EBD, 所以AB⊥BE.因為BE=BC=AD=4, 所以S△ABE=AB·BE=4, 因為DE⊥BD,平面EBD⊥平面ABD, 所以ED⊥平面ABD,而AD?平面ABD,所以ED⊥AD, 所以S△ADE=AD·DE=4. 綜上

12、,三棱錐E-ABD的側(cè)面積S=8+2. 14.如圖(1)所示,在直角梯形ABEF中(圖中數(shù)字表示線段的長度),將直角梯形DCEF沿CD折起,使平面DCEF⊥平面ABCD,連結(jié)部分線段后圍成一個空間幾何體,如圖(2)所示. (1)求證:BE∥平面ADF; (2)求三棱錐F-BCE的體積. (1)證明 法一  取DF的中點G,連結(jié)AG,EG, ∵CE綉DF,∴EG綉CD. 又∵AB綉CD,∴EG綉AB. ∴四邊形ABEG為平行四邊形. ∴BE∥AG. 又∵BE?平面ADF,AG?平面ADF, ∴BE∥平面ADF. 法二 由題圖(1)可知BC∥AD,CE∥DF,折疊之后平

13、行關系不變.∵BC∥AD,BC?平面ADF,AD?平面ADF, ∴BC∥平面ADF.同理CE∥平面ADF. ∵BC∩CE=C,BC、CE?平面BCE, ∴平面BCE∥平面ADF. ∵BE?平面BCE,BE?平面ADF, ∴BE∥平面ADF. (2)解 法一 ∵VF-BCE=VB-CEF, 由題圖(1),可知BC⊥CD, 又∵平面DCEF⊥平面ABCD,平面DCEF∩平面ABCD= CD,BC?平面ABCD, ∴BC⊥平面DCEF. 由題圖(1)可知,DC=CE=1,S△CEF=CE×DC=, ∴VF-BCE=VBvCEF=×BC×S△CEF=. 法二 由題圖(1),可

14、知CD⊥BC,CD⊥CE,∵BC∩CE=C, ∴CD⊥平面BCE. ∵DF∥CE,點F到平面BCE的距離等于點D到平面BCE的距離為1,由題圖(1),可知BC=CE=1,S△BCE=BC×CE=,∴VF-BCE=×CD×S△BCE=. 法三 如圖所示,過E作EH⊥FC, 垂足為H,由圖可知BC⊥CD,∵平面DCEF⊥平面ABCD,平面DCEF∩平面ABCD=CD,BC⊥DC,BC?平面ABCD, ∴BC⊥平面DCEF. 又∵EH?平面DCEF,∴BC⊥EH, ∴EH⊥平面BCF. 由BC⊥FC,F(xiàn)C==, S△BCF=BC×CF=, 在△CEF中,由等面積法可得EH=, ∴VF-BCE=VE-BCF=×EH×S△BCF=. 高考數(shù)學復習精品 高考數(shù)學復習精品

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