【名校資料】高考數(shù)學理一輪資源庫 第9章學案48
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學案48 直線、圓的位置關系
導學目標: 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓、圓與圓的位置關系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.在學習過程中,體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.
自主梳理
1.直線與圓的位置關系
位置關系有三種:________、________、________.
判斷直線與圓的位置關系常見的有兩種方法:
①代數(shù)法:利用判別式Δ,即直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組消去x或y整理成一元二次方程后,計算判別式Δ=b2-4ac
②幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系:
d 2、_______,d=r?________,d>r?________.
2.圓的切線方程
若圓的方程為x2+y2=r2,點P(x0,y0)在圓上,則過P點且與圓x2+y2=r2相切的切線方程為______________________.
注:點P必須在圓x2+y2=r2上.
經過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上點P(x0,y0)的切線方程為________________________.
3.計算直線被圓截得的弦長的常用方法
(1)幾何方法
運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構成直角三角形計算.
(2)代數(shù)方法
運用韋達定理及弦長公式
AB=|xA-x 3、B|=.
說明:圓的弦長、弦心距的計算常用幾何方法.
4.圓與圓的位置關系
(1)圓與圓的位置關系可分為五種:________、________、________、________、________.
判斷圓與圓的位置關系常用方法:
(幾何法)設兩圓圓心分別為O1、O2,半徑為r1、r2 (r1≠r2),則O1O2>r1+r2________;O1O2=r1+r2________;|r1-r2| 4、1y+F1=0和x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,則與兩圓共交點的圓系方程為____________________________________________________________,其中λ為λ≠-1的任意常數(shù),因此圓系不包括第二個圓.
當λ=-1時,為兩圓公共弦所在的直線,方程為(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
自我檢測
1.(2010·江西)直線y=kx+3與圓(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N兩點,若MN≥2,則k的取值范圍是________.
2.圓x2+y2-4x=0在點P(1,)處的切線方程為______________ 5、.
3.圓C1:x2+y2+2x+2y-2=0與圓C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切線有________條.
4.過點(0,1)的直線與x2+y2=4相交于A、B兩點,則AB的最小值為________.
5.若P(2,-1)為圓C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中點,則直線AB的方程是______________.
探究點一 直線與圓的位置關系
例1 已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等,求此切線的方程;
(2)從圓C外一點P(x1,y1)向該圓引一條切線,切點為M,O為坐標原點,且有PM= 6、PO,求使得PM取得最小值時點P的坐標.
變式遷移1 從圓C:(x-1)2+(y-1)2=1外一點P(2,3)向該圓引切線,求切線的方程及過兩切點的直線方程.
探究點二 圓的弦長、中點弦問題
例2 已知點P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直線l過點P且被圓C截得的線段長為4,求l的方程;
(2)求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程.
變式遷移2 已知圓C:x2+y2-6x-8y+21=0和直線kx-y-4k+3=0.
(1)證明:不論k取何值,直線 7、和圓總有兩個不同交點;
(2)求當k取什么值時,直線被圓截得的弦最短,并求這條最短弦的長.
探究點三 圓與圓的位置關系
例3 已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圓C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m為何值時,
(1)圓C1與圓C2相外切;(2)圓C1與圓C2內含.
變式遷移3 已知⊙A:x2+y2+2x+2y-2=0,⊙B:x2+y2-2ax-2by+a2-1=0.當a,b變化時,若⊙B始終平分⊙A的周長,求:
(1)⊙B的圓心B的軌跡方程;
(2)⊙B的半徑最小時圓的方 8、程.
探究點四 綜合應用
例4 已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0.問在圓C上是否存在兩點A、B關于直線y=kx-1對稱,且以AB為直徑的圓經過原點?若存在,寫出直線AB的方程;若不存在,說明理由.
變式遷移4 已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M、N兩點.
(1)求實數(shù)k的取值范圍;
(2)若O為坐標原點,且·=12,求k的值.
1.求切線方程時,若知道切點,可直接利用公式;若過圓外一點求切線,一般運用圓心到直線的距 9、離等于半徑來求,但注意有兩條.
2.解決與弦長有關的問題時,注意運用由半徑、弦心距、弦長的一半構成的直角三角形,也可以運用弦長公式.這就是通常所說的“幾何法”和“代數(shù)法”.
3.判斷兩圓的位置關系,從圓心距和兩圓半徑的關系入手.
(滿分:90分)
一、填空題(每小題6分,共48分)
1.直線l:y-1=k(x-1)和圓x2+y2-2y=0的位置關系是________.
2.直線x-y+m=0與圓x2+y2-2x-2=0相切,則實數(shù)m=______________.
3.過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長為________.
4.若圓(x 10、-3)2+(y+5)2=r2上有且僅有兩個點到直線4x-3y-2=0的距離為1,則半徑r的取值范圍是______________.
5.若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的長為2,則a=________.
6.已知點A是圓C:x2+y2+ax+4y-5=0上任意一點,A點關于直線x+2y-1=0的對稱點也在圓C上,則實數(shù)a=________.
7.設直線3x+4y-5=0與圓C1:x2+y2=4交于A,B兩點,若圓C2的圓心在線段AB上,且圓C2與圓C1相切,切點在圓C1的劣弧上,則圓C2的半徑的最大值是________.
8.(2010·全國Ⅰ改編)已 11、知圓O的半徑為1,PA、PB為該圓的兩條切線,A、B為兩切點,那么·的最小值為____________.
二、解答題(共42分)
9.(14分)圓x2+y2=8內一點P(-1,2),過點P的直線l的傾斜角為α,直線l交圓于A、B兩點.
(1)當α=時,求AB的長;
(2)當弦AB被點P平分時,求直線l的方程.
10.(14分)自點A(-3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光線l所在直線的方程.
11.(14分)已知兩圓x2+y2-2 12、x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求:
(1)m取何值時兩圓外切?
(2)m取何值時兩圓內切?
(3)m=45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.
學案48 直線、圓的位置關系
答案
自主梳理
1.相切 相交 相離?、傧嘟弧∠嗲小∠嚯x?、谙嘟弧∠嗲小∠嚯x 2.x0x+y0y=r2 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 4.(1)外離 外切 相交 內切 內含 外離 外切 相交 內切 內含 (2)(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
自我檢測
1. 2.x 13、-y+2=0 3.2 4.2
5.x-y-3=0
課堂活動區(qū)
例1 解題導引 (1)過點P作圓的切線有三種類型:
當P在圓外時,有2條切線;
當P在圓上時,有1條切線;
當P在圓內時,不存在.
(2)利用待定系數(shù)法設圓的切線方程時,一定要注意直線方程的存在性,有時要進行恰當分類.
(3)切線長的求法:
過圓C外一點P作圓C的切線,切點為M,半徑為R,
則PM=.
解 (1)將圓C配方得(x+1)2+(y-2)2=2.
①當直線在兩坐標軸上的截距為零時,設直線方程為y=kx,
由=,解得k=2±,得y=(2±)x.
②當直線在兩坐標軸上的截距不為零時,
設直線方程為 14、x+y-a=0,
由=,
得|a-1|=2,即a=-1,或a=3.
∴直線方程為x+y+1=0,或x+y-3=0.
綜上,圓的切線方程為y=(2+)x,或y=(2-)x,
或x+y+1=0,或x+y-3=0.
(2)由PO=PM,
得x+y=(x1+1)2+(y1-2)2-2,
整理得2x1-4y1+3=0.
即點P在直線l:2x-4y+3=0上.
當PM取最小值時,即OP取得最小值,直線OP⊥l,
∴直線OP的方程為2x+y=0.
解方程組得點P的坐標為.
變式遷移1 解 設圓切線方程為y-3=k(x-2),
即kx-y+3-2k=0,∴1=,
∴k=,另一條斜 15、率不存在,方程為x=2.
∴切線方程為x=2和3x-4y+6=0.
圓心C為(1,1),∴kPC==2,
∴過兩切點的直線斜率為-,又x=2與圓交于(2,1),
∴過切點的直線為x+2y-4=0.
例2 解題導引 (1)有關圓的弦長的求法:
已知直線的斜率為k,直線與圓C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,點C到l的距離為d,圓的半徑為r.
方法一 代數(shù)法:弦長AB=|x2-x1|
=·;
方法二 幾何法:弦長AB=2.
(2)有關弦的中點問題:
圓心與弦的中點連線和已知直線垂直,利用這條性質可確定某些等量關系.
解 (1)
如圖所示,AB=4,取AB的 16、中點D,連結CD,則CD⊥AB,連結AC、BC,
則AD=2,AC=4,
在Rt△ACD中,可得CD=2.
當直線l的斜率存在時,設所求直線的斜率為k,則直線的方程為y-5=kx,
即kx-y+5=0.
由點C到直線AB的距離公式,得=2,
解得k=.
當k=時,直線l的方程為3x-4y+20=0.
又直線l的斜率不存在時,也滿足題意,
此時方程為x=0.
∴所求直線的方程為3x-4y+20=0或x=0.
(2)設過P點的圓C的弦的中點為D(x,y),
則CD⊥PD,即·=0,
(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,
化簡得所求軌跡方程為x2+y2+2x-11y+ 17、30=0.
變式遷移2 (1)證明 由kx-y-4k+3=0,
得(x-4)k-y+3=0.
∴直線kx-y-4k+3=0過定點P(4,3).
由x2+y2-6x-8y+21=0,
即(x-3)2+(y-4)2=4,
又(4-3)2+(3-4)2=2<4.
∴直線和圓總有兩個不同的交點.
(2)解 kPC==-1.
可以證明與PC垂直的直線被圓所截得的弦AB最短,因此過P點斜率為1的直線即為所求,其方程為y-3=x-4,即x-y-1=0.PC==,
∴AB=2=2.
例3 解題導引 圓和圓的位置關系,從交點個數(shù)也就是方程組解的個數(shù)來判斷,有時得不到確切的結論,通常還是從圓 18、心距d與兩圓半徑和、差的關系入手.
解 對于圓C1與圓C2的方程,經配方后
C1:(x-m)2+(y+2)2=9;
C2:(x+1)2+(y-m)2=4.
(1)如果C1與C2外切,
則有=3+2.
(m+1)2+(m+2)2=25.
m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.
(2)如果C1與C2內含,
則有<3-2.
(m+1)2+(m+2)2<1,m2+3m+2<0,
得-2 19、2-1=0. ①
依題意,公共弦應為⊙A的直徑,
將(-1,-1)代入①得a2+2a+2b+5=0. ②
設圓B的圓心為(x,y),∵,
∴其軌跡方程為x2+2x+2y+5=0.
(2)⊙B方程可化為(x-a)2+(y-b)2=1+b2.
由②得b=-[(a+1)2+4]≤-2,∴b2≥4,b2+1≥5.
當a=-1,b=-2時,⊙B半徑最小,
∴⊙B方程為(x+1)2+(y+2)2=5.
例4 解題導引 這是一道探索存在性問題,應先假設存在圓上兩點關于直線對稱,由垂徑定理可知圓心應在直線上,以AB為直徑的圓經過原點O,應聯(lián)想直徑所對的圓周角為直角利用斜率或向量來解決 20、.因此能否將問題合理地轉換是解題的關鍵.
解 圓C的方程可化為(x-1)2+(y+2)2=9,
圓心為C(1,-2).
假設在圓C上存在兩點A、B,則圓心C(1,-2)在直線y=kx-1上,即k=-1.于是可知,kAB=1.
設lAB:y=x+b,代入圓C的方程,
整理得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,
Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0,b2+6b-9<0,
解得-3-3
21、1+b)(x2+b)=0,
∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,
∴b2+4b-4-b2-b+b2=0,化簡得b2+3b-4=0,
解得b=-4或b=1,均滿足Δ>0.
即直線AB的方程為x-y-4=0,或x-y+1=0.
變式遷移4 解 (1)∵直線l過點A(0,1)且斜率為k,
∴直線l的方程為y=kx+1.
將其代入圓C:(x-2)2+(y-3)2=1,
得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.①
由題意:Δ=[-4(1+k)]2-4×(1+k2)×7>0,
得 22、=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8=12
?k=1(經檢驗符合題意),∴k=1.
課后練習區(qū)
1.相交 2.-3或
3.2
解析
如圖所示,
x2+y2-4y=0?x2+(y-2)2=4,
∴A(0,2),OA=2,A到直線l:y=x的距離是AN=1,
∴ON=,∴弦長OJ=2.
4.(4,6) 5.1 6.-10
7.1
解析 圓C1的圓心C1(0,0)到直線3x+4y-5=0的距離為=1,圓C1的半徑為2,弧上的點到直線3x+4y-5=0距離最大為2-1=1,因此圓C2的半徑最大為1.
8.-3+2
解析 設∠APB=2θ,則∠APO=∠B 23、PO=θ,
·=()2·cos 2θ=cos 2θ
=·(1-2sin2θ)=+2sin2θ-3≥2-3,
當且僅當=2sin2θ,即sin2θ=時取等號.
9.解 (1)當α=時,kAB=-1,
直線AB的方程為y-2=-(x+1),即x+y-1=0.(3分)
故圓心(0,0)到AB的距離d==,
從而弦長AB=2 =.(7分)
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=-2,y1+y2=4.由
兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,
即-2(x1-x2)+4(y1-y2)=0,
∴kAB==.(12分)
∴直線 24、l的方程為y-2=(x+1),
即x-2y+5=0.(14分)
10.
解 已知圓C:x2+y2-4x-4y+7=0關于x軸對稱的圓為C1:(x-2)2+(y+2)2=1,其圓心C1的坐標為(2,-2),半徑為1,由光的反射定律知,入射光線所在直線方程與圓C1相切.(4分)
設l的方程為y-3=k(x+3),則
=1,(10分)
即12k2+25k+12=0.∴k1=-,k2=-.
則l的方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
(14分)
11.解 兩圓的標準方程分別為
(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,
圓心分別為M(1,3),N(5,6),半徑分別為和.
(1)當兩圓外切時,=+.
解得m=25+10.(4分)
(2)當兩圓內切時,因定圓的半徑小于兩圓圓心間距離,故只有-=5.
解得m=25-10.(8分)
(3)兩圓的公共弦所在直線的方程為
(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,
即4x+3y-23=0.(12分)
由圓的半徑、弦長、弦心距間的關系,不難求得公共弦的長為
2× =2.(14分)
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