高中數(shù)學(xué) 第6章 推理與證明課堂講義配套課件 湘教版選修22

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1、章末復(fù)習(xí)章末復(fù)習(xí)1歸納和類(lèi)比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測(cè)未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進(jìn)一步證明2演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性3直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類(lèi)基本證明方法直接證明的兩類(lèi)基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常把它們結(jié)合起來(lái)使用，間接證法的一種方法是反證法

2、，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法4數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題證明時(shí)，它的兩個(gè)步驟缺一不可它的第一步(歸納奠基)nn0時(shí)結(jié)論成立第二步(歸納遞推)假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，推得nk1時(shí)結(jié)論也成立數(shù)學(xué)歸納法原理建立在歸納公理的基礎(chǔ)上，它可用有限的步驟(兩步)證明出無(wú)限的命題成立5歸納、猜想、證明探索性命題是近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此類(lèi)問(wèn)題未給出問(wèn)題結(jié)論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結(jié)論的問(wèn)題稱(chēng)為探求規(guī)律性問(wèn)題，它的解題思想是：從給出的條件出發(fā)，通過(guò)觀察、試驗(yàn)、歸納、猜想，探索出結(jié)論，然后再對(duì)歸納、猜想的結(jié)論進(jìn)行證明.題型一歸納推理和類(lèi)比推理歸納推理和

3、類(lèi)比推理是常用的合情推理，兩種推理的結(jié)論“合情”但不一定“合理”，其正確性都有待嚴(yán)格證明盡管如此，合情推理在探索新知識(shí)方面有著極其重要的作用運(yùn)用合情推理時(shí)，要認(rèn)識(shí)到觀察、歸納、類(lèi)比、猜想、證明是相互聯(lián)系的在解決問(wèn)題時(shí)，可以先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的特點(diǎn)，形成解決問(wèn)題的初步思路，然后用歸納、類(lèi)比的方法進(jìn)行探索、猜想，最后用邏輯推理方法進(jìn)行驗(yàn)證例1觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10()A28 B76C123 D199答案C解析記anbnf(n)，則f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通過(guò)觀察

4、不難發(fā)現(xiàn)f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，則f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.跟蹤演練1自然數(shù)按下表的規(guī)律排列則上起第2 007行，左起第2 008列的數(shù)為()A2 0072 B2 0082C2 0062 007 D2 0072 008答案D解析經(jīng)觀察可得這個(gè)自然數(shù)表的排列特點(diǎn)：第一列的每個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在行數(shù)的平方，即第n行的第1個(gè)數(shù)為n2；第一行第n個(gè)數(shù)為(n1)21；第n行從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞減1；第n列從第

5、1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞增1.故上起第2 007行，左起第2 008列的數(shù)，應(yīng)是第2 008列的第2 007個(gè)數(shù)，即為(2 0081)212 0062 0072 008.題型二直接證明由近三年的高考題可以看出，直接證明的考查中，各種題型均有體現(xiàn)，尤其是解答題，幾年來(lái)一直是考查證明方法的熱點(diǎn)與重點(diǎn)綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的思維方式如果從解題的切入點(diǎn)的角度細(xì)分，直接證明方法可具體分為：比較法、代換法、放縮法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)法等，應(yīng)用綜合法證明問(wèn)題時(shí)，必須首先想到從哪里開(kāi)始起步，分析法就可以幫助我們克服這種困難，在實(shí)際證明問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法結(jié)合

6、起來(lái)使用跟蹤演練2如圖，在四面體BACD中，CBCD，ADBD，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，求證：(1)直線EF平面ACD；(2)平面EFC平面BCD.證明(1)要證直線EF平面ACD，只需證EFAD且EF 平面ACD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，所以EF是ABD的中位線，所以EFAD，所以直線EF平面ACD.題型三反證法如果一個(gè)命題的結(jié)論難以直接證明時(shí)，可以考慮反證法通過(guò)反設(shè)已知條件，經(jīng)過(guò)邏輯推理，得出矛盾，從而肯定原結(jié)論成立反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到，在高考題中也經(jīng)常體現(xiàn)，它所反映出的“正難則反”的解決問(wèn)題的思想方法更為重要反證法主要

7、證明：否定性、唯一性命題；至多、至少型問(wèn)題；幾何問(wèn)題例3如圖所示，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB、DF的中點(diǎn)(1)若平面ABCD平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線圖(1)圖(2)(2)證明假設(shè)直線ME與BN共面，則AB平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN，兩正方形不共面，AB 平面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF，而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，ABEN.又ABCDEF，ENEF，這與ENEFE矛盾，故假設(shè)不成立ME與BN不共面，即它們是異面直線30，且(x1

8、)2(y1)2(z1)20，abc0，這與abc0矛盾，因此假設(shè)不成立，a，b，c中至少有一個(gè)大于0.題型四數(shù)學(xué)歸納法1數(shù)學(xué)歸納法事實(shí)上是一種完全歸納的證明方法，它適用于與自然數(shù)有關(guān)的問(wèn)題兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論缺一不可，否則結(jié)論不成立；在證明遞推步驟時(shí)，必須使用歸納假設(shè)，必須進(jìn)行恒等變換2探索性命題是近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此類(lèi)問(wèn)題未給出問(wèn)題的結(jié)論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結(jié)論，它的解題思路是：從給出條件出發(fā)，通過(guò)觀察、試驗(yàn)、歸納、猜想、探索出結(jié)論，然后再對(duì)歸納，猜想的結(jié)論進(jìn)行證明1歸納和類(lèi)比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者

9、都能由已知推測(cè)未知，都能用于猜想，推理的結(jié)論不一定為真，有待進(jìn)一步證明2演繹推理與合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式也是公理化體系所采用的推理形式，另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的可靠性3直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類(lèi)基本證明方法直接證明的兩類(lèi)基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常把它們結(jié)合起來(lái)使用，間接證法的一種方法是反證法，反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法4數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題證明時(shí)，它的兩個(gè)步驟缺一不可它的第一步(歸納奠基)nn0時(shí)結(jié)論成立第二步(歸納遞推)假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，推得nk1時(shí)結(jié)論也成立數(shù)學(xué)歸納法原理建立在歸納公理的基礎(chǔ)上，它可用有限的步驟(兩步)證明出無(wú)限的命題成立再見(jiàn)再見(jiàn)